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专题02 函数的概念与基本初等函数
题型一：已知奇偶性求参数
1．（2024·四川绵阳·一模）已知
，若
为偶函数，则
．
【答案】
/0.5
【解析】函数
有意义，则
，，
解得
或
，所以函数
定义域为
，
因为
为偶函数，则有
，解得
，
1
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所以
，
，
由
，有
，
则有
，所以
.
故答案为：
2．（2024·四川遂宁·一模）已知函数
为偶函数，则实数
.
【答案】
【解析】函数
的定义域是
，定义域
关于原点对称；
，
由于
为偶函数，
得到
恒成立；
即对于
恒成立，
所以
.
故答案是：.
3．（2024·四川成都·一模）函数
是偶函数，则
.
【答案】
/
【解析】因为
，该函数的对称轴为直线
，
因为函数
为偶函数，则
，解得
.
故答案为：
.
2
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4．（2024·内蒙古包头·一模（文））已知
是奇函数，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】由函数
是奇函数，可得
，
解得
，即函数
，
又由函数
的定义域为
，且
，
所以函数
为奇函数，所以
符合题意.
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·一模（理））已知
是奇函数，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】因为
，则函数
的定义域为
，
即
是定义在
上的奇函数，则
，
则
，所以
.
经检验，当
时，
为奇函数，满足题意.
故选：D.
题型二：函数图像的识别
6．（2024·四川南充·一模（文））已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，又
在
上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，又
为奇函数，
且
在
上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D
7．（2024·四川南充·一模（理））如图1 是函数
的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换
后，得到图2 中
的部分图象，则（ ）
A．
B．
的解集为
，
4
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C．
D．方程
有4 个不相等的实数解
【答案】B
【解析】由图知，
的图象可看作将
的图象先向右平移一个单位，再把所有点的横坐
标缩短为原来的
倍，纵坐标不变得到的，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，要使
，则
，
解得
，故B 正确；
对于C，
的最小正周期为
，
，故C 错误；
对于D，
在
单调递减，且
的图象过点
和
，
函数
与函数
的图象有个交点，如图所示，
方程
有个不相等的实数解，故D 错误.
故选：B.
8．（2024·四川自贡·一模）函数
的图象可能为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，解得
,
所以函数
的定义域为
,
所以
,
所以
为偶函数，函数的图象关于
轴对称，排除选项B，
而
，排除选项C，
，排除选项A，
故选：D.
9．（2024·四川乐山·一模）函数
的图象大致为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，可得函数
的定义域为
，
且
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，排除A 项，
又由
，排除B 项，
当
时，
，排除C 项，所以选项D 符合题意.
故选：D.
10．（2024·陕西西安·一模（理））已知函数
为偶函数，满足
，且
时，
，若关于
的方程
至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知
，则
，则
，
7
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可知函数
为周期函数，最小正周期
，
又当
时，
，
可知函数
的图象如图所示，且
的值域为
，
关于
的方程
至少有两解，
可得函数
与函数
的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当
时，
，解得
，即
，
当
时，
，解得
，即
，
综上所述
，
故选：C.
11．（2024·陕西·一模（文））已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数
的图象， 知
， 而对A 选项
排除A；
对B 选项
，因为
，则
，
则
，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C 选项的解析式，
， 而根据函数
的图象， 知
， 排除 C.
故选：D.
12．（2024·四川成都·一模）已知函数
的大致图象如图所示，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，当
时，
，
无意义，故A 错误；
对于B，
，
，则
是奇函数，
当
时，
，则
；
9
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对于C，当
时，
，则
，故C 错误；
对于D，
，则
，
则
是偶函数，故D 错误，
综上，B 正确.
故选：B.
13．（2024·四川·一模）函数
的图象大致是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，
可知
为偶函数，其函数
的图象关于
轴对称，可排除C，D；
当
时，可得
，
若
时，
，则
；
若
时，可得
，则
，此时B 不符题意.
故选：A
题型三：函数的实际应用
10
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14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图，边长为1 的正方形
，其中边
在
轴上，点
与
坐标原点重合，若正方形沿
轴正向滚动，先以
为中心顺时针旋转，当
落在
轴上时，再以
为中心
顺时针旋转，如此继续，当正方形
的某个顶点落在
轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶
点
滚动时形成的曲线为
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
是周期为
的函数，
所以
.
由题意可得，当
时，点
恰好在
轴上，所以
，
所以
.
故选：A.
15．（2024·内蒙古赤峰·一模（文））在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的
图形运动一周，O、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（
）
A．
B．
11
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C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，点
在第一条边上时，
，
但点
在第二条边上运动时，
是随
的增大先减小（减到最小时
即为三角形的第二条边上的高的长
度），然后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于B，y 与x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于C，一开始
与
的关系不是线性的，C 错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D 选项应为正方形，不妨设边长为
，
点
在第一条边上时（即
时），
，
点
在第二条边上运动时（即
时），
，依然单调递增，
点
在第三条边上运动时（即
时），
，单调递减，
点
在第四条边上运动时（即
时），
，单调递减，
且已知
与
的图象关于
（其中
）对称，D 正确.
故选：D.
16．（2024·四川乐山·一模）地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，
不断提升水环境治理体系和治理能力现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献（摘自：人民网四川
频道）.为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的大渡
河河水进行净化.假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量
不超过最初的三分之一，则最少要经过多少层的过滤？（ ）（参考数据：
，
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】C
【解析】由题知，设最少要经过
层的过滤，
沙石杂质含量最初为
，
12
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则
，即
，
所以
，
故最少要经过层的过滤.
故选：C
17．（2024·四川德阳·一模）小明同学过生日时，他和好朋友小天一起分享一个质地均匀但形状不规则的
蛋糕，他们商量决定用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的判断中正确的是（ ）
A．无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份
B．只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份
C．无论从哪个位置（某个点）切一刀都不可以平均分成两份
D．至少要切两刀才可以平均分成两份
【答案】A
【解析】
如图，在形状不规则的蛋糕上任取一点
，则这一刀可转化为，
点的任意一条直线，过
点的直线将图像分为两部分，
其面积为
，
将直线以以
为旋转中心，以
轴正方向的夹角记为
，
，
得连续函数
，作辅助函数
，则
为连续函数，
13
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设
，
则
，
根据零点定理，存在一点
，使得
，
即
，
即过点
作直线，使之以
轴正方向的夹角为
，改直线即为所求；
即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.
故选：A
18．（2024·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到
个．
已知经过4 天后病毒的数量会达到原来的2 倍．且再过m 天后病毒的数量将达到原来的16 倍，则
（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】C
【解析】由题可知，，所以
，
经过
天，数量变为原来的16 倍，即
，
则有
，解得
，
故选:C.
题型四：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
19．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知定义在
上的函数
，满足不等
式
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】易知函数
在
上为单调性递增，
即可得
是
上的增函数，
14
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令
，则
是
上的增函数，
易知
，可得
,
即
的图象关于点
成中心对称，
由
可得
，
即
，由
可得
；
所以
，利用
是
上的增函数可得
，
解得
.
即
的取值范围是
.
故答案为：
20．（2024·四川达州·一模）已知函数
，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为函数
，
则
.
故答案为：
21．（2024·四川达州·一模）函数
，且
，则
的值为 .
【答案】0
【解析】令
，
定义域为
或
且
，关于原点对称，
则
，
15
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故
为奇函数，
又
，故
，
解得
.
故答案为：0
22．（2024·四川雅安·一模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】例如
，可知其定义域为
，
则
，即
为偶函数；
显然
的最大值为2；
且
的最小正周期为
；
所以
符合题意.
故答案为：
（答案不唯一）.
23．（2024·陕西·一模）已知定义在
上的函数
，满足
，且
．若
，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为定义在
上的函数
，满足
，
所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，
16
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因为
，所以
，
由
，得
，
所以
．
因为
在
上单调递减，
所以
，得
，
故选：A．
24．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数
，当
时，恒有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意可得
在区间
上单调递减，则
在区间
上恒成立.
因为
，所以
在区间
上恒成立，
而
在区间
上单调递减，
∴
，
的取值范围是
.
故选：B
25．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且周期
.若当
时，
，则
（ ）
A．4
B．16
C．
D．
【答案】B
17
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【解析】因为
.
故选：B.
26．（2024·四川·一模）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意
是奇函数，所以
，即
，
则
，
，
当
时，令
，解得
或
，
根据对称性，当
时，
，
故满足
的
的取值范围是
．
故选：C．
27．（2024·四川德阳·一模）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
18
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【解析】由函数
，
当
时，
，可得
，
要使得
在
为单调递增函数，则
恒成立，
即
在
恒成立，即
在
恒成立，可得
；
当
时，
，可得
，
要使得
在
为单调递增函数，则
恒成立，
即
在
恒成立，即
在
恒成立，可得
，
综上可得，实数
的取值范围
.
故选：D.
题型五：分段函数问题
28．（2024·四川南充·一模）已知函数
为
上的奇函数，且
，则
．
【答案】
【解析】由题意，
在
中，
，
∵
为
上的奇函数，
∴
，
故答案为：
.
19
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29．（2024·四川甘孜·一模）设函数
，则
.
【答案】3
【解析】
，
，所以
.
故答案为：3
30．（2024·四川宜宾·一模）设函数
，则
（ ）
A．8
B．9
C．22
D．26
【答案】C
【解析】
,
因为
，所以
,
所以
.
故选：
.
31．（2024·四川绵阳·一模）若
，满足对任意
，都有
成
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，满足对任意
，都有
成立，
20
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所以
在
上单调递减，则
，解得
，
即
的取值范围是
.
故选：C
32．（2024·四川成都·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】由于函数
，
所以
，
则
.
故选：B.
题型六：函数的定义域、值域、最值问题
33．（2024·四川成都·一模）与
有相同定义域的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，有
，即函数
的定义域为
，
21
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对于A 选项，函数
的定义域为
，A 不满足；
对于B 选项，函数
的定义域为
，B 不满足；
对于C 选项，对任意的
，
，即函数
的定义域为
，C 不满足；
对于D 选项，函数
的定义域为
，D 满足.
故选：D.
34．（2024·四川德阳·一模）
是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmoid 函数.则下列对该
函数图象和情质的描述中正确的是（ ）
A．
的值域是
B．
的图象不是中心对称图形
C．
在
上不单调
D．
（其中
是
的导函数
【答案】D
【解析】由函数
，定义域为
，
，
，则
，A 错误；
因为
，
所以
，所以Sigmoid 雨数的图象的对称中心为
，B 错误；
求导得：
，
，
，则Sigmoid 函数是单调增函数，C 错误；
22
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，D 正确.
故选：D
题型七：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
35．（2024·四川德阳·一模）已知函数
的定义域为
且
，
，那么（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
是函数的极大值点
D．
的最小值为
【答案】D
【解析】令
，得
，
即
，①
令
，结合
，
则
，②
结合①②可得，
用
代替
得，
，③
对于
中，
23
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取
得，把
变为
，结合
，
得
，④
联立③④，
可得
,
对于A，
，故A 错误；
对于B，
,故B 错误；
对于C,
，故C 错误；
对于D,易得最小值为
，故D 正确，
故选：D.
36．（2024·四川泸州·一模）已知
，
都是定义在
上的函数，对任意
，
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图像关于直线
对称
D．
【答案】D
【解析】对于A，令
，可得
，得
，
令
，
，代入已知等式得
，
可得
，结合
得
，
所以
，故A 错误；
对于D，因为
，令
，代入已知等式得
，
将
，
代入上式，得
，所以函数
为奇函数.
24
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令
，
，代入已知等式，得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，故D 正确；
对于B，分别令
和
，代入已知等式，得以下两个等式：
，
，
两式相加易得
，所以有
，
即
，
有
，
即
，所以
为周期函数，且周期为，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，
所以
，故B 错误；
对于C，取
，
，满足
及
，
所以
，又
，
所以函数
的图像不关于直线
对称，故C 错误；
故选：D.
37．（2024·四川乐山·一模）已知函数
定义域为R，且满足
，
，
25
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，给出以下四个命题：
①
；
②
；
③
；
④函数
的图象关于直线
对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】对于
，令
，则
，
即
，①错误；
令
，则
，即
，
而对于
，令
，则
，矛盾，
故②错误；
由题意知
，
，
令
，则
，
令
，则
，
故
，③错误；
又
可得
，
设
，则
，
即
，即函数
的图象关于直线
对称
26
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即函数
的图象关于直线
对称，④正确，
故选：B
38．（2024·四川乐山·一模）已知函数
与其导函数为
定义域均为
，且
满足
，
，
，给出以下四个命题：
①
②
③函数
的图象关于直线
对称 ④
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】对
两边同时求导：
，令
，即
，故①正确；
令
，则有
，即
，不满足
，故②错误；
由
得
，
令
，则有
，
若
，则
，所以
关于直线
对称，故③正确；
令
，则
，对方程两边同时求导可得：
，即
，
因为
，所以
，
从而得
.
当
时，
，
当
时，
，
，即
，
27
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当
时，
是以
为首项，公差为4 的等差数列，
所以，
；
当
时，
，则
，又
，
所以
，
即
，进而
得
；
综上所述，
，故④正确.
故选：D.
39．（2024·四川自贡·一模）定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则函数
在
上所有零点的和为（ ）
A．16
B．32
C．36
D．48
【答案】A
【解析】依题意，
是定义在
上的奇函数，图象关于原点对称，
由于
，所以
的图象关于
对称，
，
所以
是周期为
的周期函数.
令
，得
，
函数
的图象关于
对称，
的图象也关于点
对称，
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画出函数
和
的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有
个交点，且交点关于
对称，
所以
所有零点和为
.
故选：A
40．（2024·四川宜宾·一模）已知函数
的定义域为
的图像关于
对称，且
为奇函数，
，则下列说法正确的个数为（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，所以
，则
，
所以
对称中心为
，
又因为
的图像关于
对称，则
，
所以
，则
，
所以
的周期
，
①
，所以①正确；
②因为
，
，
对称中心为
，
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所以
，所以
，所以②正确；
③因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，所以
，所以③错误；
④因为
且
周期
，
所以
，则
的周期为
，
因为
，
，
，
，
所以
，
所以
，所以④正确.
故选：C.
41．（2024·陕西西安·一模（理））已知函数
及其导函数
的定义域均为R，记
，若
为偶函数，
，且
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，所以
，
两边同时求导得
，即
，
所以
，令
，得
，
令
，得
，又因为
，所以
，
30
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由
，所以
，所以
的周期为6，则
，
而
，所以
，所以
．
故选：B
42．（2024·陕西西安·一模（文））已知定义在
上的奇函数
满足
，则以下说法错误的
是（ ）
A．
B．
是周期函数，且2 是其一个周期
C．
D．
【答案】C
【解析】选项A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，即
，所以选项A
正确，
选项B，由
，知
是周期函数，且2 是其一个周期，所以选项B 正确，
选项C，因为
，又
，
，得到
，
所以选项C 错误，
选项D，
，所以选项D 正确，
故选：C.
43．（2024·内蒙古赤峰·一模（理））定义在
上的函数
满足：对任意
都有
，且当
时，
恒成立.下列结论中可能成立的有 .
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①
为奇函数；
②对定义域内任意
，都有
；
③对
，都有
；
④
.
【答案】①③④
【解析】对于①中，由对任意
都有
，
令
，可得
，所以
，
任取
，可得
，可得
，
所以
，所以函数
是
上的奇函数，所以①正确；
对于②中，设
，可得
，则
则有
，
因为当
时，
恒成立，且函数为
为奇函数，
所以当
时，
恒成立，可得
，
即
，即
，
在
为减函数，
又因为
为奇函数，所以函数
在
为减函数，
且当
时，
；当
时，
，
又由
，
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因为
，不妨设
，可得
，
，
所以
，即
，
所以②不正确；
对于③中，对于
，可得
，则
，
可得
，且
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，所以
，
即
，所以③正确；
对于④中，因为函数
为奇函数，
可得
，
所以
，因为
，
所以
，
所以
，所以④正确.
故答案为：①③④.
44．（2024·陕西西安·一模）函数
是定义在
上的函数，且
为偶函数，
是奇函数，
当
时，
，则
.
【答案】
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【解析】因为
为偶函数，则有
，故
的图像关于
对称，则有
①，
是奇函数，则
②，
联立①②可得：
，变形为
，所以
，则
是周期为
的周期函数，
所以
，
又当
时，
，所以
.
故答案为：
.
45．（2024·陕西咸阳·一模）函数
为偶函数，且图象关于直线
对称，
，则
．
【答案】4
【解析】由于函数
图象关于直线
对称，
，
故
，又
为偶函数，故
，
则
，
故答案为：4
46．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R 上的偶函数
满足
，当
时，
.函数
，则
与
的图象所有交点的横坐标之和为 .
【答案】4
【解析】函数
是偶函数，图象对称轴为
，则函数
的图象有对称轴
，
所以函数
的图象有对称轴
，
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，
时
，在
上单调递减且
，
定义在R 上的偶函数
满足
，
则函数
有对称轴
，又当
时，
，
在同一坐标系在
内作出
与
的图象，
由图象可得，
与
的图象有4 个交点，
又
与
的图象均有对称轴
，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
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