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专题27 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分
析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
知识储备：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即
sin A=∠A的对边
斜边
。
【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，
A、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区
分）
V2
V1
M
N
C
B
A
CH=kAC
sinα=
CH
AC =k
H
D
α
A
B
C
N
M
M
N
C
B
A
α
D
H
1）
，记
，即求BC+kAC 的最小值.
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2）构造射线AD 使得sin∠DAN=k，
，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH 最小值.
3）过B 点作BH⊥AD 交MN 于点C，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型
问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，按
下列步骤作图：①在
和
上分别截取
、
，使
．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线
交
于点F．若点P 是线段
上的一
个动点，连接
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P 作
于点Q，过点C 作
于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出
，然后利用含
的直角三角的性质得出
，则
，当
C、P、Q 三点共线，且与
垂直时，
最小，
最小值为
，利用含
的直角三角的
性质和勾股定理求出
，
，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P 作
于点Q，过点C 作
于点H，
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由题意知：
平分
，∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴当C、P、Q 三点共线，且与
垂直时，
最小，
最小值为
，
∵
，
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
即
最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含
的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形
中，对角线
交于点O，
，点
M 在线段
上，且
．点P 为线段
上的一个动点．
（1）
°；（2）
的最小值为 ．
【答案】
2
【分析】（1）由矩形的性质得到
，又由
得到
是等边三角
形，则
，即可得到答案；（2）过点P 作
于点E，过点M 作
于点F，证明
，进一求解
即可得到答案．
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【详解】解：（1）∵四边形
是矩形，∴
，
∵
，∴
，∴
是等边三角形，∴
，
∴
，故答案为：
．
（2）过点P 作
于点E，过点M 作
于点F，
在
中，由（1）知：
，∴
，∴
，
在矩形
中，
，∵
，∴
，
在
中，
，∴
，∴
的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含
的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌
握矩形的性质、含
的直角三角形的性质是解题的关键．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形
中，
，
，对角线
、
相交
于点
，点
在线段
上，且
，点
为线段
上的一个动点，则
的最小值为
．
【答案】
【分析】过
作
，由菱形
，
，得到
为
平分线，求出
，
在
中，利用
角所对的直角边等于斜边的一半，得到
，故
，求
出
的最小值即为所求最小值，当
、
、
三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过
作
，
菱形
，
，
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，
，即
为等边三角形，
，
在
中，
，
，
当
、
、
三点共线时，取得最小值，
，
，
，
在
中，
，则
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1 的正方形
中，
是边
的中点，
是对角线
上
的动点，则
的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作
于
，可得出
，从而得
的最小值，将
变形为
，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作
于
，
∵四边形
是正方形，
，
，
的最小值为0，
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∵
，∴
的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，
是等边三角形
的外接圆，其半径为4．过点B 作
于点E，点P 为线段
上一动点（点P 不与B，E 重合），则
的最小值为
．
【答案】6
【分析】过点P 作
，连接
并延长交
于点F，连接
，根据等边三角形的性质和圆内接三
角形的性质得到
，
，然后利用含
角直角三角形的性质得到
，进而
求出
，然后利用
代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P 作
，连接
并延长交
于点F，连接
∵
是等边三角形，
∴
∵
是等边三角形
的外接圆，其半径为4∴
，
，
∴
∴
∵
∴
∴
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∵
，
∴
∴
∴
的最小值为
的长度∵
是等边三角形，
，
∴
∴
的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含
角直角三角形的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x 轴
交于A、C 两点，与y 轴交于点B，若P 是x 轴上一动点，点
在y 轴上，连接
，则
的
最小值是 ．
【答案】
【分析】过
作
，过
作
．再由
得
，根据垂线段最短
可知，
的最小值为
，求出
即可．
【详解】解：连接
，过
作
，过
作
，
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令
，即
，解得
或1，
，
，
，
，
，
．
，根据垂线段最短可知，
的最小值为
，
，
，
，
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解
题的关键是将求
的最小值转化为求
的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知
中，
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C 作
，垂足为D，取
，即可说明
是等腰直角三角形，求出
，进一步求出
，继而将
转化为
，推出点D 在以
为直
径的圆上，从而可知当
为等腰直角三角形时，
最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C 作
，垂足为D，取
，
∴
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
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∴
，∴
，
∴
，
∵
，而
一定，
∴当
的面积最大时，
最大，∵
，∴点D 在以
为直径的圆上，
∴当D 平分
时，点D 到
的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时
，则
为等腰直角三角形，∴
，故答案为：
．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30 度的直角三角形的性质，圆周角定
理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为
的长．
例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点D 是
线段AB 上一动点，点H 是直线
上的一动点，动点
，连接
．
当
取最小值时，
的最小值是 ．
【答案】
【分析】作出点
，作
于点D，交x 轴于点F，此时
的最小值为
的长，利用解
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直角三角形求得
，利用待定系数法求得直线
的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作
轴于点G，此时
的最小值是
的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，∴
，
，
作点B 关于x 轴的对称点
，把点
向右平移3 个单位得到
，
作
于点D，交x 轴于点F，过点
作
交x 轴于点E，则四边形
是平行四边形，
此时，
，∴
有最小值，作
轴于点P，
则
，
，∵
，∴
，∴
，
∴
，即
，∴
，则
，设直线
的解析式为
，
则
，解得
，∴直线
的解析式为
，
联立，
，解得
，即
；过点D 作
轴于点G，
直线
与x 轴的交点为
，则
，
∴
，∴
，
∴
，
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即
的最小值是
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣
x2+x+4 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
点D 为线段AC 的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E，与y 轴交于点F．
（1）求直线BD 的解析式；（2）如图②，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF
的面积最大时，在线段BE 上找一点G，使得PG﹣
GE 的值最小，求出点G 的坐标及PG﹣
GE 的最
小值；
【答案】（1）y＝
x+1；（2）点G（
，
），最小值为
；
【分析】（1）令-
x2+x+4=0，可求出点A 和点B 的坐标，令x=0，可求出点C 的坐标，再根据点D 时AC
的中点，可求出点D 的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为
求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-
GE 的最小值，可将不共线的线
段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣
x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D 为AC 的中点，∴D（2，2），
设直线BD 的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B 和点D ，
，解得
，∴直线BD 的解析式为y＝
x+1．
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（2）如图所示，过点P 作y 轴的平行线，交BE 交于点H，
设点P 的坐标为（t，﹣
t2+t+4），则点H 为（t，
t+1），
∴PH＝﹣
t2+t+4﹣（
t+1）＝﹣
（t﹣
）
2+
，
当t＝
时，PH 最大，此时点P 为（
，
），当PH 最大时，△PDF 的面积也最大．
∵直线BD 的解析式为y＝
x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt△BFO 中，根据勾股定理，BF＝
，∴sin∠FBO＝
过点E 作x 轴的平行线与过点G 作y 轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝
EG，∴PG﹣
GE＝PG﹣MG，
当P、M、G 三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G 三点共线时，PG﹣MG 最小，此时点G 与点H 重合，
令﹣
x2+x+4＝
x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，
），∴PM＝
﹣
＝
，∴点G（
，
），
∴点G（
，
），PG﹣
GE 的最小值为
．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
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课后专项训练
1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形
的边长为5，对角线
的长为
，
为
上一动
点，则
的最小值为
A．4
B．5
C．
D．
解：如图，过点
作
于点
，过点
作
于点
，连接
交
于点
．
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四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为4，故选：
．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
，点C 的坐标是
，点
是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持
是等边三角形（点P 不在第二象限），连
接
，求得
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】C
【分析】如图1 所示，以OA 为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D 作DE⊥OA 于E，先求出点D 的
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坐标，然后证明△BAO≌△PAD 得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，当
点P 运动到y 轴时，如图2 所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3 所
示，作点A 关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，设直线PD 与x 轴的交点为H，先
求出点H 的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到
，则当G、P、F 三点共线时，
有最小值，即
有最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则OG 即为所求．
【详解】解：如图1 所示，以OA 为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D 作DE⊥OA 于E，
∵点A 的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴
，∴点D 的坐标为
；
∵△ABP 是等边三角形，△AOD 是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，
当点P 运动到y 轴时，如图2 所示，此时点P 与点C 重合，
∵△ABP 是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P 的坐标为（0，-2），设直线PD 的解析式为
，
∴
，∴
，∴直线PD 的解析式为
；
如图3 所示，作点A 关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，连接CG，设直线PD 与
x 轴的交点为H，
∴点H 的坐标为
，∴
，∴∠OCH=30°，∴
，由轴对称的性质可
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知AP=GP，∴
，
∴当G、P、F 三点共线时，
有最小值，即
有最小值，
∵A、G 两点关于直线PD 对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D 为AG 的中点，
∵点A 的坐标为（0，2），点D 的坐标为
，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG 是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G 在x 轴上，∴由勾股定理得
，
∴当点P 运动到H 点时，
有最小值，即
有最小值，最小值即为OG 的长，
∴
的最小值为
，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴
对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P 的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在
中，
，
，
，若
是
边上一动点，
则
的最小值为
A．
B．6
C．
D．3
解：过点
作射线
，使
，再过动点
作
，垂足为点
，连接
，如图所示：
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在
中，
，
，
，
当
，
，
在同一直线上，即
时，
的值最小，最小值等于垂线段
的长，
此时，
，
是等边三角形，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为3，故选：
．
4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC 中，∠A＝15°，AB＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A、
C 重合），连接BP，则
AP+PB 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：如图，
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在△ABC 内作∠MBA＝30°过点A 作AE⊥BM 于点E，BM 交AC 于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝
AP
当BP⊥AE 时，则
AP+PB＝PE+PB 的值最小，最小值是BE 的长，
在Rt△ABE 中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝
．
∴
AP+PB 的最小值是
．故选：B．
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F 分
别是边AB，BC 上的动点，连接CD，过点A 作AE⊥CD 交BC 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+
FB
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
FB 联想到给FB 构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC 补成等边△ABP，过F 作BP 的垂
线FH，故GF+
FB＝GF+FH，易得当G、F、H 成一直线时，GF+
FB 最短．又由于点G 为动点，易证
点G 在以AC 为直径的圆上，求点G 到PB 的最短距离即当点G 在点O 到BP 的垂线段上时，GQ 的长度．
【详解】延长AC 到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F 作FH⊥BP 于点H，取AC 中点O，连接OG，过
点O 作OQ⊥BP 于点Q，
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∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP 是等边三角形∴∠FBH＝30° Rt
∴
△FHB 中，FH＝
FB
∴当G、F、H 在同一直线上时，GF+
FB＝GF+FH＝GH 取得最小值
∵AE⊥CD 于点G∴∠AGC＝90°∵O 为AC 中点∴OA＝OC＝OG＝
AC
∴A、C、G 三点共圆，圆心为O，即点G 在⊙O 上运动
∴当点G 运动到OQ 上时，GH 取得最小值
Rt
∵
△OPQ 中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝
∴GH 最小值为
故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短
路径．解题关键是找到点G 运动到什么位置时，GH 最小，进而联想到找出点G 运动路径再计算．
6．（2023 上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在
中，
，
，
.
，
分别是边
，
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
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【分析】作
，连接
，过B 点作
的延长线与G 点．根据相似三角形的性质可
得
，因此
，根据两点之间线段最短可知当B、E、F 三点共线
时，
，此时
的值最小，为BF．再证四边形
是矩形，由矩形的性质可知
，
，在
中根据勾股定理可求出
的长，即可知
的最小值．
【详解】如图，作
，连接
，过B 点作
的延长线与G 点，
，且
，
，
，
．
，∴当B、E、F 三点共线时，
，此时
的值最小，为
．
，
．又
，
，∴四边形
是矩形，
，
，
，
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相
似三角形是解题的关键．
7．（2023 上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰
中，
，
．
，连接
，在
的右侧做等腰
，其中
，
，连接
E，则
的最小值为
(用含
的代数式表示)．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】过点
作
交
延长线于
，过点
作
于
，作
的垂直平分线交
于
，连接
，利用
证明
，可得
，进而可得
，则由含
度角的直
角三角形的性质得到
，
，故当
、
、
三点共线时，
为最小值，当
、
、
三点共线时，
，即
，可得
，再运用解直角三
角形即可求得答案．
【详解】解：如图，过点
作
交
延长线于
，过点
作
于
，作
的垂直平分线
交
于
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
当
、
、
三点共线时，
为最小值，
当
、
、
三点共线时，
，
，
，
与
重合，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
的垂直平分线交
于
，
，
，
，在
中，
，
即
的最小值
故答案为：
．
【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角用的推质，勾服定
理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形
中，
，对角线
、
相交
于点O，
．点E 是
的中点，若点F 是对角线
上一点，则
的最小值是
．
【答案】
【分析】过点F 作
于点G，证明
为等边三角形，推出
，则
淘宝：学思创想
，
，进而得出
，当点E、F、G
在同一条直线上时，
取最小值，证明
，根据相似三角形对应边成比例，即可求
解．
【详解】解：过点F 作
于点G，如图，
∵四边形
为矩形，∴
，
，∵
，∴
为等边三角形，
∴
，
，∴
，
．
∵
，∴
，
，∴
，
当点E、F、G 在同一条直线上时，
取最小值，
∵点E 是
的中点，∴
，则
，
∵
，∴
，∴
，∴
，解得：
，
综上：
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性
质，解题的关键是正确作出辅助线，找出
．
9．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，
，点E，F 分别在边
淘宝：学思创想
上，且
，沿直线
翻折，点A 的对应点
恰好落在对角线
上，点B 的对应点为
，
点M 为线段
上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】作
于H，作
于L，首先利用勾股定理得
的长，再根据
，求
出
的长，再利用
，得
，则当E、M、L 三点共线时，
最小，最
小值为
的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作
于H，作
于L，
在矩形
中，
，
，
，
，
，
∵沿直线
翻折，点A 的对应点
恰好落在对角线
上，∴
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴当E、M、L 三点共线时，
最小，最小值为
的长，
∴
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段
最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5 的⊙O 经过点C，CE
是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），则OD
CD
的最小值为 _____．
【答案】
【分析】作OF 平分∠AOC，交⊙O 于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF 是菱形，根据对称性可
得DF=DO．过点D 作DH⊥OC 于H，易得DH=
DC，从而有
CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短
可得：当F、D、H 三点共线时，DH+FD（即
CD+OD）最小，后在Rt△OHF 中运用三角函数即可解决问
题．
【详解】解：作OF 平分∠AOC，交⊙O 于F，连接AF、CF、DF，如图所示，
淘宝：学思创想
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=
∠AOC=
（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF 是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF 是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．
过点D 作DH⊥OC 于H，则DH =
DC，∴
CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H 三点共线时，DH+FD（即
CD+OD）最小，
∵OF=OA=5，∴
，∴
即
CD+OD 的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线
段最短、等腰三角形的性质、含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把
CD+OD 转化为
DH+FD 是解题的关键．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x
3
﹣分别交x 轴、y 轴于B、A 两点，点C（0，1）在y
轴上，点P 在x 轴上运动，则
PC＋PB 的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P 作PD⊥AB 于D，依据△AOB 是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
淘宝：学思创想
∠BPD，进而得到△BDP 是等腰直角三角形，故PD
PB，当C，P，D 在同一直线上时，CD⊥AB，
PC+PD 的最小值等于垂线段CD 的长，求得CD 的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P 作PD⊥AB 于D，∵直线y＝x
3
﹣分别交x 轴、y 轴于B、A 两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP 是等腰直角三角形，∴PD
PB，∴
PC+PB
（PC
PB）
（PC+PD），
当C，P，D 在同一直线上，即CD⊥AB 时，PC+PD 的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，
此时，△ACD 是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y 轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CD
AC＝2
，即PC+PD 的最小值为
，∴
PC+PB 的最小值为
4，故答案为：4．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形
中，
，
，点
是对角线
上的动
点，连接
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出
，再将原式变形，进而得出
最小值，进而得出答案．
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【详解】过点A 作
，过点D 作
于点H，交
于点
，
∵在矩形
中，
，∴
，∴
，则
，
∵
，
此时
最小，∴
的最小值是
．故答案为：
．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，点
是对角线AC 上的一
动点，且∠ABC=120°，则(
)的最小值是____________．
【答案】
【分析】作DE⊥AB 于E 点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE 最短，即PA+PB+PD 最小，根据菱形性
质和等边三角形的性质即可求出DE 的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，作DE⊥AB 于E 点，连接BD ∵菱形ABCD 中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，则△ABD 为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE
∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE 根据垂线段最短，此时DE 最短，即PA+PB+PD 最小
∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=
2
∴DE=
∴PA+PB+PD 最小值为
故答案为：
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．
14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边CD
上的一动点，则
的最小值等于________．
【答案】
【分析】过点P 作PQ⊥AD 于点Q，由于∠PDQ=60°，因此
，由此可知当B、P、Q 三点共线
时
有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】过点P 作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP=
PD，∴
=BP+PQ，
∴当点B、P、Q 三点共线时
有最小值，
∴
的最小值为
，故答案为：3
.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用
相关知识是解题的关键.
15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方
淘宝：学思创想
形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN．
思考探索(1)如图2，将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B′落在MN 上，折
痕为EC．①点B'在以点E 为圆心， 的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE 时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l（不过点B）折叠后，点B 的对应点B'落在正方
形ABCD 内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P 为AE 的中点，点Q 在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ 的最小值．
【答案】(1)①BE；②
(2)①3；②B'C+2PQ 的最小值为
．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出
BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=
AB=
，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，故当B′E⊥AB 时，△ABB'面积的最大，进而求
解；②证明PQ 是△AEB′的中位线，故E、B′、C 三点共线时，B'C+2PQ 取得最小值为CE，即可求解．
（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=
AB=
，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′=MN-
；故答案为：①BE；②
；
（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，
淘宝：学思创想
∴△ABB'面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB 时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积=
×AB×B′E=
×3×2=3，故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P 是AE 的中点，∴PQ 是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ=
B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C 三点共线时，B'C+2PQ 取得最小值为CE，
则CE=
，即B'C+2PQ 的最小值为
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位
线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（2023 上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线
经过点
，与x 轴交于点
，点C 为
中点，反比例函数
刚好经过点C．将直线
绕点A
沿顺时针方向旋转
得直线
，直线
与x 轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q 为射线以上一动点，当
取最小值时，求
的面积；
(3)将
沿射线
方向进行平移，得到
且
刚好落在y 轴上，已知点M 为反比例函数
上一点，点N 为y 轴上一点，若以M，N，B，
为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件
的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．
淘宝：学思创想
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
的面积为
(3)N 点坐标为
，
或
，过程见解析
【分析】（1）过点A 作
于点E，过点C 作
于点F，根据平行线分线段定理可得
，从而求得
，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）由锐角三角函数求得
，再由三角形内角和求得
，从而求得
，根
据等腰三角形的性质可得
，从而求得
，作直线
，可得
，
过点Q 作
于点H，则
，可得当D，Q，H 三点共线时，
取最小
值，此时Q 与A 重合，再利用
求解即可；
（3）由平移的性质可知
，设
，
，分类讨论：当
为对角线、
为对角
线或
为对角线时，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：过点A 作
于点E，过点C 作
于点F，
∵
，∴
，点C 为
中点，
∵
，
，∴
，
，∴
，
∴
，∴反比例函数解析式为
；
淘宝：学思创想
（2）解：∵
，
，∴
，
∵将直线
顺时针旋转
得到直线
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
作直线
，∴
，过点Q 作
于点H，∴
，
∴当D，Q，H 三点共线时，
取最小值，此时Q 与A 重合，
∴
，∴
的面积为
；
（3）解：N 点坐标为
，
或
，理由如下：由题可知
，
，
设
，
，当
为对角线时，
，解得：
，∴
，
当
为对角线时，如图，∵
，解得
，∴
，
当
为对角线时，如图，
，解得
，∴
，
综上，N 点坐标为
，
或
．
【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平
行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
淘宝：学思创想
17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
与直线
1
3
2
y
x
交于A ，B 两点，交x 轴于
D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知
(0,3)
A
，
(3,0)
C
．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan
BAC
的值；（Ⅱ）
在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ
PA
交y 轴于点Q ，问：
是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与
ACB
相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐
标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出
发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒
2 个单位的速度运动到A 后停止，
当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
解：（Ⅰ）把
(0,3)
A
，
(3,0)
C
代入
2
1
2
y
x
mx
n
，得
3
1
9
0
2
n
mx
n
，解得：
5
2
3
m
n
．抛物线的解析式为
2
1
5
3
2
2
y
x
x
联立
2
1
3
2
1
5
3
2
2
y
x
y
x
x
，解得：
0
3
x
y
或
4
1
x
y
，点B 的坐标为(4,1) ．
如图1．
(3,0)
C
，
(4,1)
B
，
(0,3)
A
，
2
20
AB
，
2
2
BC
，
2
18
AC
，
2
2
2
BC
AC
AB
，
ABC
是直角三角形，
90
ACB
，
2
1
tan
3
3 2
BC
BAC
AC
；
淘宝：学思创想
（Ⅱ）方法一：（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB
相似．
过点P 作PG
y
轴于G ，则
90
PGA
．
设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得
0
x
，则PG
x
．
PQ
PA
，
90
ACB
，
90
APQ
ACB
．
若点G 在点A 的下方，①如图2 ①，当
PAQ
CAB
时，则PAQ
CAB
∽
．
90
PGA
ACB
，
PAQ
CAB
，
PGA
BCA
∽
，
1
3
PG
BC
AG
AC
．
3
3
AG
PG
x
．
则
( ,3
3 )
P x
x
．把
( ,3
3 )
P x
x
代入
2
1
5
3
2
2
y
x
x
，得
2
1
5
3
3
3
2
2
x
x
x
，整理得：
2
0
x
x
解得：
1
0
x
（舍去），
2
1
x （舍去）．
②如图2 ②，当
PAQ
CBA
时，则PAQ
CBA
∽
．
同理可得：
1
1
3
3
AG
PG
x
，则
1
( ,3
)
3
P x
x
，
把
1
( ,3
)
3
P x
x
代入
2
1
5
3
2
2
y
x
x
，得
2
1
5
1
3
3
2
2
3
x
x
x
，
整理得：
2
13
0
3
x
x
解得：
1
0
x
（舍去），
2
13
3
x
，
13
( 3
P
，
14)
9 ；
若点G 在点A 的上方，①当
PAQ
CAB
时，则PAQ
CAB
∽
，同理可得：点P 的坐标为(11,36) ．
②当
PAQ
CBA
时，则PAQ
CBA
∽
．同理可得：点P 的坐标为
17
( 3
P
，
44)
9
．
淘宝：学思创想
综上所述：满足条件的点P 的坐标为(11,36) 、
13
( 3 ，
14)
9 、
17
( 3 ，
44)
9
；
方法二：作APQ
的“外接矩形” AQGH ，易证AHP
QGP
∽
，
AP
HP
PQ
QG
，
以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB
相似，
1
3
AP
HP
BC
PQ
QG
AC
或
3
AP
HP
AC
PQ
QG
BC
，
设
2
(2 ,2
5
3)
P
t
t
t
，
(0,3)
A
，
(2 ,3)
H
t
，
①
1
3
HP
QG
，
2
3
2
5
3
1
|
|
2
3
t
t
t
，
1
13
2
3
t
，
2
17
2
3
t
，
②
3
HP
QG
，
2
3
2
5
3
|
| 3
2
t
t
t
1
2
11
t
，
2
2
1
t ，（舍) ，
满足题意的点P 的坐标为(11,36) 、
13
( 3 ，
14)
9 、
17
( 3 ，
44)
9
；
（2）方法一：过点E 作EN
y
轴于N ，如图3．
在Rt ANE
中，
2
sin 45
2
EN
AE
AE
，即
2
AE
EN
，
点M 在整个运动中所用的时间为1
2
DE
EA
DE
EN
．
作点D 关于AC 的对称点D，连接D E
，
则有D E
DE
，D C
DC
，
45
D CA
DCA
，
90
D CD
，DE
EN
D E
EN
．根据两点之间线段最短可得：
当D、E 、N 三点共线时，DE
EN
D E
EN
最小．
此时，
90
D CD
D NO
NOC
，四边形OCD N
是矩形，
3
ND
OC
，ON
D C
DC
．对于
2
1
5
3
2
2
y
x
x
，
当
0
y
时，有
2
1
5
3
0
2
2
x
x
，解得：
1
2
x
，
2
3
x
．
(2,0)
D
，
2
OD
，
3
2
1
ON
DC
OC
OD
，
3
1
2
NE
AN
AO
ON
，点E 的坐标为(2,1) ．
淘宝：学思创想
方法二：作点D 关于AC 的对称点D，DD交AC 于点M ，显然DE
D E
，
作D N
y
轴，垂足为N ，交直线AC 于点E ，如图4，
在Rt ANE
中，
2
sin 45
2
EN
AE
AE
，即
2
AE
EN
，
当D、E 、N 三点共线时，DE
EN
D E
EN
最小，
(0,3)
A
，
(3,0)
C
，
:
3
AC
l
y
x
，
( ,
3)
M m
m
，
(2,0)
D
，
DM
AC
，
1
DM
AC
K
K
，
3
1
1
2
m
m
，
5
2
m
，
5
(2
M
，
1)
2 ，
M
为DD的中点，
(3,1)
D
，
1
Y
Y
E
D
，
(2,1)
E
．
方法三：如图，5，过A 作射线
/ /
AF
x 轴，过D 作射线
/ /
DF
y 轴，DF 与AC 交于点E ．
(0,3)
A
，
(3,0)
C
，
:
3
AC
l
y
x
．
OA
OC
，
90
AOC
，
45
ACO
，
/ /
AF
OC
，
45
FAE
．
sin 45
2
AE
EF
AE
．
当且仅当AF
DF
时，DE
EF
取得最小值，点M 在整个运动中用时最少为：
1
2
DE
AE
t
DE
EF
，
抛物线的解析式为
2
1
5
3
2
2
y
x
x
，且
(3,0)
C
，可求得D 点坐标为(2,0)
则E 点横坐标为2，将
2
x
代入
:
3
AC
l
y
x
，得
1
y ．所以
(2,1)
E
．
18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
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(1)求BD 的长；(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合）， 点F 在边AD 上，且BE=
DF，
①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE+
CF 的值是否
也最小？如果是，求CE+
CF 的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)①四边形ABEF 的面积为
；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC 是等边三角形，可得BO=
，即可求解；
（2）过点E 作AD 的垂线，分别交AD 和BC 于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=
，设BE=
，
则EN=
，从而得到EM=MN-EN=
，再由BE=
DF，可得DF=
，从而得到四边形ABEF 的
面积s= S△ABD - S△DEF
，①当CE⊥AB 时，可得点E 是△ABC 重心，从而得到
BE=CE=
BO=
，即可求解；②作CH⊥AD 于H，可得当点E 和F 分别到达点O 和点H 位置
时，CF 和CE 分别达到最小值；再由
，可得当
，即BE=
时， s 达到最
小值，从而得到此时点E 恰好在点O 的位置，而点F 也恰好在点H 位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC 与BD 的交点为O，如图，
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∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC 平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC 是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°=
=
，∴BD=2BO=
；
（2）解：如图，过点E 作AD 的垂线，分别交AD 和BC 于点M，N，
∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=
；
菱形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=
BE
∵
，∴MN=
，设BE=
，则EN=
，∴EM=MN-EN=
，
∵S 菱形ABCD= AD▪MN=
，∴S△ABD=
S 菱形ABCD=
，
∵BE=
DF，∴DF=
，∴S△DEF=
DF ▪EM=
=
，
记四边形ABEF 的面积为s，∴s= S△ABD - S△DEF =
-（
）
，
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∵点E 在BD 上，且不在端点，∴0<BE<BD，即
；
①当CE⊥AB 时，∵OB⊥AC，∴点E 是△ABC 重心，∴BE=CE=
BO=
，
此时
=
，∴当CE⊥AB 时，四边形ABEF 的面积为
；
②作CH⊥AD 于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E 和F 分别在BD 和AD 上，
∴当点E 和F 分别到达点O 和点H 位置时，CF 和CE 分别达到最小值；
在菱形ABCD 中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=
，
∵
，∴当
，即BE=
时， s 达到最小值，
∵BE=
DF，∴DF=3，此时点E 恰好在点O 的位置，而点F 也恰好在点H 位置，
∴当四边形ABEF 面积取得最小值时，CE 和CF 也恰好同时达到最小值，
∴CE+
CF 的值达到最小，其最小值为CO+
CH=
=12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直
角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解
直角三角形等知识是解题的关键．
19．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于( 1,0)
A
，
(5 0)
B ，两点，C 为
抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且
4
tan
3
CBD
，如图所示．（1）求抛物
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线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x
轴的平行线交线段BC
于点E ，
过点E 作EF
PE
交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求BCF
的面积的最大值；②连结PB ，求
3
5 PC
PB
的最小值．
【答案】（1）
2
4
16
20
9
9
9
y
x
x
；（2）①
3
2 ；②
24
5 ．
【分析】（1）先函数图象与x 轴交点求出D 点坐标，再由
4
tan
3
CBD
求出C 点坐标，用待定系数法设
交点式，将C 点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC 的解析式
4
20
3
3
y
x
，设E 坐标为
4
20
,
3
3
t
t
，则F 点坐标为
2
4
16
20
9
9
9
,
t
t
t
，进而用t 表示出BCF
的面积，由二次函数性质即
可求出最大值；
②过点P 作PG
AC
于G ，由
3
sin
5
PG
PC
ACD
PC
可得
3
5 PC
PB
PG
PB
，由此可知当
BPH 三点共线时
3
5 PC
PB
的值最小，即过点B 作BH
AC
于点H ，
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线段BH 的长就是
3
5 PC
PB
的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：
(
1)(
5)
y
a x
x
，
∵CD 是抛物线的对称轴，∴
(2
0)
D
，
，又∵
4
tan
3
CBD
，∴
tan
4
CD
BD
CBD
，即
(2
4)
C
，
，
代入抛物线的解析式，得4
(2 1)(2
5)
a
，解得
4
9
a
，
∴二次函数的解析式为
4 (
1)(
5)
9
y
x
x
或
2
4
16
20
9
9
9
y
x
x
；
（2）①设直线
BC
的解析式为
y
kx
b
，∴0
5
4
2
.
k
b
k
b
， 解得
4
3
20.
3
k
b
，
即直线BC 的解析式为
4
20
3
3
y
x
，设E 坐标为
4
20
,
3
3
t
t
，则F 点坐标为
2
4
16
20
9
9
9
,
t
t
t
，
∴
2
2
4
20
3
4
16
20
4
28
40
9
9
9
9
9
9
3
EF
t
t
t
t
t
，
∴BCF
的面积
2
1
1
4
28
40
3
2
2
9
9
9
S
EF
BD
t
t
∴
2
2
7
3
(
)
3
2
2
S
t
，
∴当
7
2
t
时，BCF
的面积最大，且最大值为
3
2 ；
②如图，连接AC ，根据图形的对称性可知
ACD
BCD
，
5
AC
BC
，∴
3
sin
5
AD
ACD
AC
，
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过点P 作PG
AC
于G ，则在Rt PCG
中，
3
sin
5
PG
PC
ACD
PC
，
∴
3
5 PC
PB
PG
PB
，再过点B 作BH
AC
于点H ，则PG
PH
BH
，
∴线段BH 的长就是
3
5 PC
PB
的最小值，∵
1
1
6 4
12
2
2
ABC
S
AB CD
，
又∵
1
5
2
2
ABC
S
AC
BH
BH
，∴
5
12
2 BH
，即
24
5
BH
，∴
3
5 PC
PB
的最小值为
24
5 ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求
法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C 点坐标，解（2）关键是由点E、F 坐标表示线
段EF 长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将
3
5 PC
PB
的最小值转化为点B 到AC
的距离．
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