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专题02 解三角形
1．在①ac =√3，②c sin A =3，③c =√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且sin A =√3sin B，C = π
6
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bsin A −√3a=0．
（I）求角B 的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
3．在平面四边形ABCD中，∠ADC =90
∘，∠A = 45
∘，AB =2，BD =5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC =2√2，求BC.
4．△ABC 的内角A 、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC 的面积为
a
2
3sin A
(1)求sin BsinC;
(2)若6cos BcosC =1,a=3,求△ABC 的周长.
5．在△ABC中，内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos B+C
2
=asin B.
1
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(1)求A；
(2)若a=√19，⃑BA ⋅⃑AC =3，AD 是△ABC的中线，求AD 的长.
6．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c．已知 a=2√2,b=5,c =√13．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin A的值；
（Ⅲ）求sin(2 A + π
4)的值．
7．在锐角三角形ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，且满足
2csin B =√5|⃗CD|.
(1)求cosC的值；
(2)若b=√3,a=3ccosB，求ABC的周长.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A =π
4
，BD =CD，AD =2.
(1)若BD = √5
3 b，求c；
(2)若a=2√2，求△ABC的面积.
9．已知f (x)=sinωx(ω>0)，其图象相邻对称轴间的距离为π
2
，若将其图象向左平移5π
12
个单位得到函
2
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数y = g(x)的图象.
(1)求函数y = g(x)的解析式及图象的对称中心；
(2)在钝角△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若f(
B
2)= g(
A
2 −π
6 )，求2c
b +
5
cos A 的取值范
围.
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=6，
2sin ( A +C)+2bsin(B+C )=7√3．
(1)求角B的大小；
(2)若⃗AC =3⃗DC，BD =√37，求c 的值．
11．如图，在△ABC中，AB = AC = √3
3 BC，点D在AB延长线上，且AD = 5
2 BD．
(1)求sin ∠ACD
sin ∠BCD
；
(2)若△ABC面积为√3，求CD．
12．在①(2b−c)cos A =acosC，②asin B =√3bcos A，③acosC +√3c sin A =b+c，这三个条件中
3
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任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若b=2，D为AB 的中点，求CD 的取值范围．
13．在△ABC中，内角A ,B ,C对应的边分别为a,b,c , A ≠π
2 ,sinC +sin(B−A)=√2sin2 A．
(1)求角A的取值范围；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求b的值．
①sinC = √2
2 ,c =2√3；②B = A +π
4 ,c =√3；③sin A = 1
2 ,C >B , AC边上的中线长为√3+1；
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
14．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S = √3
4 (a
2+b
2−c
2)，c =2√3．
(1)若B =π
4
，求a；
(2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为∠C的角平分线； 条件②：CD为边AB上的中线．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15．在△ABC中，B≠C，sin B+sinC =cos B+cosC．
(1)求A；
4
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(2)若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM =2 MA =2 MB，且∠AMC =90°，求tan ∠ACB．
16．已知锐角三角形ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin B+cosC = √6+√2
4
，
cos B+sinC = √6+3√2
4
.
(1)求A；
(2)若a=√3，求三角形ABC 的周长.
17．在锐角△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且2c
2=(a
2+c
2−b
2)(tan A +tan B).
(1)求角A的大小；
(2)若边a=√2，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.
18．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且a
2−b
2=accosB−1
2 bc
(1)求A；
(2)若a=6，2⃗BD =⃗DC，求线段AD长的最大值.
19．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin B = 1
3
，且_________．
在①a
2−b
2+c
2=2，②⃗AB⋅⃗BC =−1这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
(1)求ac；
5
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(2)若sin A sinC = √2
3
，求b．
20．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知c =√3，b(1+cosC )=√3c sin B.
(1)求角C的大小和边b的取值范围；
(2)如图，若O是△ABC的外心，求⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB的最大值.
21．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，c =2(acosC −b)，c
2+a
2=b
2+√3ac，b=2.
(1)求A；
(2)若M , N在线段BC上且和B ,C都不重合，∠MAN =π
3
，求△AMN面积的取值范围.
22．已知在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠A =60°.
(1)若b=8，△ABC外接圆的半径为7√3
3
，求c；
(2)若b+c =6，求△ABC周长的取值范围.
6
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23．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c sin B+C
2
=asinC.
(1)求角A 的大小；
(2)若b=2，sin B = √21
7
，求边c 及sin (2B+ A)的值.
24．在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c , A为锐角，asin B = √3
2 b.
(1)求角A；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD =CD =2BD，试判断△ABC的形状.
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
2(1+cos A)=2bcsin
2 A．
(1)判断△ABC的形状；
(2)已知D为BC上一点，则当A = 2π
3
，a=3√3，AD =√3时，D为BC的几等分点？
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=sin B.
(1)证明：b≥ac；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=1，求asin B的取值范围.
27．在△ABC 中，√3sin(B+π
6 )=−cos(B+π
6 )．
(1)求B 的值；
(2)给出以下三个条件：①a
2−b
2+c
2+3c =0；②a=√3，b=1；③S△ABC = 15√3
4
，若这三个条件中仅有
7
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两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求sin A的值；
（ii）求∠ABC 的角平分线BD 的长．
28．在锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在
横线上：①b=ccos A + 1
2 a；②sin
2C =sin
240
∘−sin 40
∘sin80
∘+sin
280
∘
(1)求出角C的大小；
(2)若角C的平分线交边AB于点D，且c =2，求|CD|的取值范围.
29．已知向量⃗m=(2√3cos x
2 ,−2sin x
2)，⃗n=(cos x
2 ,cos x
2)，函数y = f (x)=⃗m⋅⃗n.
(1)设θ∈[−π
2 ,π
2 ]，且f (θ)=√3+1，求θ的值；
(2)在△ABC中，AB =1，f (C)=√3+1，且△ABC的面积为√3
2
，求sin A +sin B的值.
30．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且满足a−3b+6bsin
2 A + B
2
=0．
(1)求证：a+3bcosC =0；
(2)求tan A的最大值．
31．在①tan A + tan B+√3=√3 tan A tan B；②(c +a−b)(sinC −sin A +sin B)=asin B；
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③√3c sin B =b(cosC +1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在
△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若△ABC的内切圆半径为√3
2 ,b= 4，求a−c．
32．设函数f (x)=2sin x cos(x−π
3 )−√3
2 ，若锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
△ABC 外接圆的半径为R，acos B−bcos A = R．
(1)若f ( A)=1，求B；
(2)求R−c
b
的取值范围．
33．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①S = √3
4 (b
2+c
2−a
2)，其中S为△ABC的面积，②a+b
sinC =
c−b
sin A −sin B ，③√3sinC +cosC = c +b
a
．
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．
(1)求角A；
(2)若D为边AB的中点，CD =2√3，求b+c的最大值．
34．在△ABC中，D是边BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍.
(1)如图1，若∠BAC =120
°，且| AD|=1，求△ACD的面积；
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(2)如图2，若点E在边AB 上，且|BC |=√3| AC |，| AE|= √3−1
2
| AB|，求tan∠BCE的值.
35．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsin A +2√3cos B =√3c．
(1)求A；
(2)设C =π
12
，D 为边BC 上一点，且∠BAD =∠CAD，求AD．
参考数据：sin 7π
12 = √6+√2
4
，sinπ
12 = √6−√2
4
．
36．在锐角三角形ABC中，sin A −sin ∠ACB = sin
2B−sin
2∠ACB
sin (∠B+∠ACB) ，AB =1．
(1)求∠B．
(2)求AB边上的高的取值范围．
37．已知在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，且
a
√3cos A =
c
sinC
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围．
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38．已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2c−a
b
+cosC = tan BsinC．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．
39．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
√3a
1+cos A =
c
sinC
.
(1)求角A 的大小；
(2)若a=√3，c−b= √6−√2
2
，求△ABC的面积.
40．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD 交AC 于点D．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求∠ABC的大小．
①2(bcosC −a)=c；②2a+c =√3bsin A +bcos A；③a+c cos∠ABC =bcosC −c．
(2)若AD =2CD，求
BD
AB+ BC
的取值范围．
11
