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专题03 三角函数与解三角形
三角函数
1．（2023 上·浙江杭州·高三统考期中）设函数
．若
为函数
的零点，
为函数
的图象的对称轴，且
在区间
上有且只有一个极大值
点，则
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．12
【答案】A
【分析】直接利用
，
，求出
和
的表达式，进一步利用
在区间
上有且只有一个极大值点，通过分类讨论求出
的值，进而可得最大值.
【详解】由已知得
，
，，
则
，
1
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其中
，
因为
，
当
时，
当
时，
，
因为
在区间
上有且只有一个极大值点，
所以
，
解得
，
即
，
所以
，
当
时，
，此时
，此时有两个极大值点，舍去；
当
时，
，此时
，此时有一个极大值点，成立；
所以
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过条件将
和
都用整数表示出来，然后对
的值由大到小
讨论找到符合条件的结果.
2．（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）设函数
，且函数
在
恰好有5 个零点，则正实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2
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【分析】先化简为
，当
时，得到
.若函数
在
恰好有5 个零点，只需函数
在区间
上恰有5 条对称轴．结合正弦函数的图象可建立
，求解即可.
【详解】
，
令
，得
，
因为函数
在
恰好有5 个零点，
所以函数
在
上恰有5 条对称轴．
当
时，
，
令
，
则
在
上恰有5 条对称轴，如图：
所以
，解得
．
故选：B．
3
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3．（2024·浙江温州·统考一模）若函数
，
的值域为
，
则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
可得
，再由三角函数图像性质可得
，解不等式即可求得
的取值范围.
【详解】根据题意可知若
，则可得
；
显然当
时，可得
，
由
的值域为
，利用三角函数图像性质可得
，
解得
，即
的取值范围是
.
故选：D
4．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心
到水面的距离为
，
筒车的半径是
，盛水筒的初始位置为
与水平正方向的夹角为
．若筒车以角速度
沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点
所需的时间（单位：
），则（）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离
与时间的函数关系式，令
即可求解.
【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为
，时间为，
由题意可得，盛水桶到水面的距离
与时间的函数关系如下：
，
令
，即
，解得
，
又
，可得
，
，
，故C 正确；
，
，
，故D 错误；
5
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又
，解得
，故B 错误；
，解得
，故A 错误.
故选：C.
5．（2024·浙江宁波·统考一模）（多选题）函数
在区间
上为单调函数，
且图象关于直线
对称，则（）
A．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象关于y 轴对称
B．函数
在
上单调递减
C．若函数
在区间
上没有最小值，则实数
的取值范围是
D．若函数
在区间
上有且仅有2 个零点，则实数a 的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由
函数的图象与性质可判断CD.
【详解】由题意
且
，
可得
，
，
故当
时，
，
.
对A，函数
的图象向右平移
个单位长度可得
，
故函数图象关于y 轴对称，故A 正确；
对B，当
时，
，所以函数
单调递减，故B 正确；
6
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对C，当
时，
，函数
在区间
上没有最小值，则需
，即
，故C 错误；
对D，由C，函数
在区间
上有且仅有2 个零点，则
，即
，故D 错误.
故选：AB
6．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）（多选题）已知函数
，则（）
A．
B．
恰有5 个零点
C．
必有极值点
D．
在
上单调递减
【答案】BCD
【分析】代入求值判断A，根据零点定义结合余弦函数方程根判断B，利用导数研究函数的极值点、
单调性判断CD.
【详解】对于A，
，错误；
对于B，
，
令
得
，所以
或
，又
，
所以
或
或
或
或
，
解得
或
或
或
或
，即
恰有5 个零点，正确；
对于C，因为
，所以
，
7
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因为
，
，
由零点存在性定理知
在
上存在异号零点，
则
在
必有极值点，正确；
对于D，当
时，
，
，
所以
，
当
时，
，
，
所以
，
，所以
，
所以
时，所以
，所以
在
上单调递减，正确.
故选：BCD
7．（2024·浙江宁波·统考一模）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边
过点
，则
.
【答案】
【分析】由题意并结合三角函数定义、诱导公式直接计算即可.
【详解】由题意结合三角函数定义可知
，
从而由诱导公式有
.
故答案为：
.
8
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8．（2024·浙江温州·统考一模）已知
，则
（用
表示）.
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】
，
故答案为：
三角恒等变换
9．（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）已知
，且
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.
【详解】由
，得
，
而
，则
，
，因此
，
即有
，所以
.
故选：C
10．（2024·浙江台州·统考一模）若
，则
的取值可以为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.
【详解】由
，得
，即
，
9
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所以
，即
，
当
时，
.
故选：C.
11．（2023 上·浙江杭州·高三统考期中）已知
是三角形的内角，若
，则
．
【答案】
【分析】分析可知，
，利用二倍角的正弦和余弦公式化简可得出
的值.
【详解】因为
是三角形的内角，则
，
且
，即
，
所以，
，可得
，故
.
故答案为：
.
12．（2024·浙江温州·统考一模）设
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)若
，求的最小值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）首先应用余弦定理得
，
然后方法1：使用均值不等式求解的最小值；
方法2：利用已知条件
，将转化成关于
的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为
，得：
，将其代入原式中利用和差角公式即可化简
求值；
方法2：将
，
代入原式，然后利用和差角公式即可
化简求值；
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【详解】（1）由余弦定理知
，
方法1：
所以
，当
时取等，此时
为正三角形.
故的最小值为
.
方法2：
所以
，当
时取等.
故的最小值为
.
（2）方法1：因为
.
所以原式
方法2：因为
，
原式
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综上所述：
.
解三角形
13．（2024·浙江台州·统考一模）在
中，角A，
，
所对的分别为
，
，．若角A 为锐
角，
，
，则
的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一，
内的任何一个值均可）
【分析】根据题意利用余弦定理可得
，进而可得周长的取值范围.
【详解】由余弦定理可得
，
因为角A 为锐角，则
，可得
，
所以
的周长
.
故答案为：9（答案不唯一，
内的任何一个值均可）.
14．（2023 上·浙江杭州·高三统考期中）已知四边形
内接于
，若
，
，
．
(1)求线段
的长．
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
12
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(2)
．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理得
，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题知，
，所以
，
根据余弦定理
，
，
即
，
．
所以
，所以
．
所以
．
（2）因为
所以
，所以
（当且仅当
时取等号）
又
,
所以
．
15．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）在
中，角
所对的边分别是
，且
．
(1)求角
；
(2)
为边
上一点，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行角化边，结合余弦定理即可；
（2）法一，在
中，由余弦定理可求得
，在
结合余弦定理求
，在
中，应
用余弦定理即可；法二，在
，结合余弦定理求得
，在
，应用余弦
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定理求得
，再由
中结合正弦定理先求
，进而结合诱导公式求得
.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
由余弦定理可得
，
，所以
．
（2）方法一：不妨取
，则
，在
中，由余弦定理可求得
．
在
中，由余弦定理可求得
．
在
中，由余弦定理可得
．
方法二：不妨取
，则
，
在
中，
，
则
，则
，
，
，
中，
，
在
中由正弦定理可得：
，
解得：
，
又因为
，所以
．
16．（2024·浙江宁波·统考一模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
的面积.
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出
，求出
的取值范围，
可得出
，即可证得结论成立；
（2）由
可求得
的值，再利用三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）证明：因为
，由正弦定理得
，
即
，
即
，故
，
因为
、
，所以
，则
，
所以，
，所以，
或
（舍），因此
.
（2）解：因为
，
故
，
由
，因为
，故
，
所以
.
17．（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若点
在边
上，
，
，
，求
的面积.
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理，代入计算，即可得到
结果；
（2）根据题意，由
可得
，结合余弦定理列出方程，即可
求得
，再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，故
因为
，
.
（2）设
，则
，
在
中，有
.
在
中，有
.
又
，所以
，
所以有
.又
，所以
.
在
中，由余弦定理可得
.
又
，
，
，
所以有
.
联立
，解得
，所以
，
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所以
.
18．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简得
，从而求出角
；
（2）利用同角三角函数关系及两角和公式求解
，然后利用正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
.
（2）因为
，所以
.
因为
，
所以.
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