高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式
是解决计算问题的工具; 2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、
正切公式)进行变换,“角”的变换是三角恒等变换的核心; 3.以选择、填空题的形式出现或隐含于
解答题中,难度一般为中档偏下.
【真题体验】
1.(2021·全国乙卷)cos 2 π
12－cos 25 π
12 ＝( )
A.1
2
B.√3
3
C.√2
2
D.√3
2
答案 D
解析 因为cos 5 π
12 ＝sin (
π
2 −5 π
12)＝sin π
12,
所以cos 2 π
12－cos 25 π
12 ＝cos 2 π
12－sin 2 π
12＝cos (2× π
12)＝cos π
6 ＝√3
2 .故选D.
2.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos α
2 ＝√5
5 ,则sin (α −π
4)＝( )
A.√2
10
B.√2
5
C.3√2
10
D.7√2
10
答案 D
解析 由题得cos α＝2cos 2α
2 －1
＝2×1
5－1＝－3
5,
因为0<α<π,所以sin α＝√1−co s
2α ＝4
5,
所以sin (α −π
4)＝√2
2 (sin α－cos α)
＝√2
2 × 7
5 ＝7√2
10 .
3.(2024·全国甲卷)已知
cos α
cos α −sin α ＝√3,则tan (α ＋π
4)＝( )
A.2√3＋1
B.2√3－1
C.√3
2
D.1－√3
答案 B
解析 根据题意有cos α −sin α
cos α
＝√3
3 ,
即1－tan α＝√3
3 ,所以tan α＝1－√3
3 ,
所以tan (α ＋π
4)＝tan α ＋1
1−tan α
＝
2−√3
3
√3
3
＝2√3－1.
4.(2025·北京卷)已知α,β∈[0,2π],且sin(α＋β)＝sin(α－β),cos(α＋β)≠cos(α－β),写出满足条件的
一组α＝ ,β＝ .
答案 π
2 (答案不唯一) π
6 (答案不唯一)
解析 因为sin(α＋β)＝sin(α－β),
cos(α＋β)≠cos(α－β),
所以α＋β,α－β 的终边关于y 轴对称,且不与y 轴重合,故α＋β＋α－β＝π＋2kπ,k∈Z 且α＋β≠π
2
＋lπ,l∈Z,即α＝π
2 ＋kπ,k∈Z,
故取α＝π
2 ,β＝π
6 可满足题设要求.
5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 为第一象限角,β 为第三象限角,tan α＋tan β＝4,tan αtan β＝√2＋1,则
sin(α＋β)＝ .
答案 －2√2
3
解析 由题知tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1−tan α·tan β
＝
4
1−√2−1＝－2√2,
即sin(α＋β)＝－2√2cos(α＋β),
又sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝1,
可得sin(α＋β)＝±2√2
3 .
由2kπ<α<2kπ＋π
2 ,k∈Z,
2mπ＋π<β<2mπ＋3 π
2 ,m∈Z,
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π,
k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0,所以α＋β 是第四象限角,
故sin(α＋β)＝－2√2
3 .
【热点突破】
热点一 化简问题
三看原则
一看角:通过看角之间的差别与联系,可把角进行合理转化;
二看函数名称:如果函数名称不同,那么可利用公式将函数名称进行转化,常见的有“切化弦”;
三看结构特征:通过看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式要升
幂”等.
例1 (1)
2cos 65°cos 15°
tan 15°cos 10°＋sin 10°的值为( )
A.2＋√3
2
B.1
2
C.2−√3
2
D.3
2
(2)(2025·广安段测)计算
√1＋cos 36°
(6 sin
218°＋cos 72°＋2sin
236°−4)·cos 54°＝ .
答案 (1)A (2)－2√2
3
解析 (1)
2cos 65° cos 15°
tan 15° cos 10°＋sin 10°
＝
2cos 65° co s
215°
sin 15°cos 10°＋sin 10°cos 15°
＝sin 25°(1＋cos 30°)
sin 25°
＝2＋√3
2
.
(2)
√1＋cos 36°
(6 sin
218°＋cos 72°＋2sin
236°−4)·cos 54°
＝
√1＋2co s
218°−1
(6 sin
218°＋cos 72°−cos 72°−3)·cos(90°−36°)
＝
√2cos 18°
(6 sin
218°−3)·sin 36°
＝
√2cos 18°
−3cos 36°·sin 36° ＝√2cos 18°
−3
2 sin 72°
＝
√2cos 18°
−3
2 cos 18°＝－2√2
3 .
规律方法 三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找
式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)化简:
2sin(π −α )＋sin 2α
co s
2 α
2
＝ ;
(2)(2025·广东部分名校模拟)
tan 80°−tan 20°
1＋
1
2cos 20°
的值为 .
答案 (1)4sin α (2)2√3
解析 (1)
2sin(π −α )＋sin 2α
co s
2 α
2
＝
2sin α ＋2sin α cos α
1
2 (1＋cos α )
＝4 sin α(1＋cos α )
1＋cos α
＝4sin α.
(2)tan 80°－tan 20°
＝tan(80°－20°)(1＋tan 80°·tan 20°)
＝√3(1＋sin 80° sin 20°
cos 80° cos 20°)
＝√3(1＋cos 10° sin 20°
sin 10° cos 20°)
＝√3(1＋2co s
210°
cos 20° )
＝√3(1＋1＋cos 20°
cos 20° )
＝√3(2＋
1
cos 20°),
所以
tan 80°−tan 20°
1＋
1
2cos 20°
＝2√3.
热点二 求值问题
求三角函数值的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子;
(2)观察条件与所求式子之间的联系,从函数名称及角入手;
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
例2 (1)(2025·岳阳调研)已知cos(α ＋π
6)＝√3
3 ,则sin(2α −π
6)等于( )
A.－2
3
B.2
3
C.－1
3
D.1
3
(2)(2025·兰州诊断)已知α∈(
π
2 ,π),β∈(0, π
2),若sin(α＋β)＝1
3,cos β＝√3
3 ,则cos α＝ .
答案 (1)D (2)－√6
9
解析 (1)sin (2α −π
6)＝sin[2(α ＋π
6)−π
2]
＝－cos 2(α ＋π
6)＝1－2cos 2(α ＋π
6)
＝1－2×1
3 ＝1
3.
(2)由α∈(
π
2 ,π),β∈(0, π
2),
得α＋β∈(
π
2 , 3 π
2 ),
而sin(α＋β)＝1
3,故α＋β∈(
π
2 ,π),
∴cos(α＋β)＝－√1−sin
2(α ＋β)＝－2√2
3 ,
由cos β＝√3
3 ,β∈(0, π
2),
可得sin β＝√6
3 ,
则cos α＝cos [(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－2√2
3
× √3
3 ＋1
3 × √6
3 ＝－√6
9 .
规律方法 1.注意观察条件与所求之间关系:如函数名的差异,角之间的关系.
2.注意根据角的范围确定三角函数值的范围.
训练2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m,tan αtan β＝2,则cos(α－β)＝( )
A.－3m
B.－m
3
C.m
3
D.3m
(2)(2025·泰安模拟)若cos (
π
2 ＋2α)－4sin 2α＝－2,则tan 2α＝( )
A.－2
B.－1
2
C.2
D.1
2
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由cos(α＋β)＝m 得
cos αcos β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2 得sin α sin β
cos α cos β ＝2,②
由①②得{
cos α cos β ＝−m,
sin α sin β ＝−2m,
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m,故选A.
(2)法一 由cos (
π
2 ＋2α)－4sin 2α＝－2,
得－sin 2α－4sin 2α＝－2,
即2sin α cos α ＋4 sin
2α
sin
2α ＋co s
2α
＝2,
由题易知,cos α≠0,
故2tan α ＋4tan
2α
tan
2α ＋1
＝2,
所以2tan α＋4tan 2α＝2tan 2α＋2,
所以tan α＝1－tan 2α,则tan 2α＝2tan α
1−tan
2α ＝2.
法二 因为cos (
π
2 ＋2α)＝－sin 2α,
所以－sin 2α－4sin 2α＝－2,
即sin 2α＋2(1－cos 2α)＝2,
所以sin 2α－2cos 2α＝0,
所以tan 2α＝sin 2α
cos 2α ＝2(cos 2α≠0).故选C.
热点三 求角问题
求角问题的解题策略
(1)求相关角的某一个三角函数值.
(2)由求得的三角函数值求角,如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小,应根据已知角的范围
和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计,以排除多余的解.
例3 (1)(2025·九江二模)已知α,β ∈(0, π
2),cos(α－β)＝5
6,tan α·tan β＝1
4,则α＋β＝ .
(2)已知α∈(
π
4 , π
2),且4cos α－tan (
π
2 −α)＝√3,则α＝ .
答案 (1)π
3 (2)5 π
18
解析 (1)因为cos(α－β)＝5
6,
tan α·tan β＝1
4 ,
所以{
cos α cos β ＋sin α sin β ＝5
6 ,
sin α sin β
cos α cos β ＝1
4 ,
解得{
cos α cos β ＝2
3 ,
sin α sin β ＝1
6 ,
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
2,
又α,β∈(0, π
2),所以α＋β∈(0,π),
所以α＋β＝π
3 .
(2)4cos α－tan (
π
2 −α)＝4cos α－
sin (
π
2 −α)
cos (
π
2 −α)
＝4cos α－cos α
sin α ＝4 cos α sin α −cos α
sin α
＝2sin 2α −cos α
sin α
＝√3,
所以2sin 2α＝√3sin α＋cos α＝2sin (α ＋π
6).
因为α∈(
π
4 , π
2),
所以2α∈(
π
2 ,π),α＋π
6 ∈(
5 π
12 , 2π
3 ),
则2α＝α＋π
6 或2α＋α＋π
6 ＝π,
得α＝π
6 (舍去)或α＝5 π
18 .
易错提醒 求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
训练3 (1)(2025·盐城模拟)已知tan(β－α)＝1
2,tan α＝－1
7,α,β∈(0,π),则2β－α 的值是( )
A.－π
4
B.π
4
C.3 π
4
D.－3 π
4
(2)(2025·长春摸底)若α,β∈(
π
2 ,π),且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β,则下列结论正确的是(
)
A.2α＋β＝5 π
2
B.2α－β＝3 π
4
C.α＋β＝7 π
4
D.α－β＝π
2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)法一 因为tan(β－α)＝1
2,
tan α＝－1
7<0,α,β∈(0,π),
所以α∈(
π
2 ,π),tan β＝tan [(β－α)＋α]
＝
1
2 −1
7
1−1
2 ×(−1
7)
＝1
3∈(0,1),
可知β∈(0, π
4),则2β－α∈(－π,0),
又因为tan 2β＝
2tan β
1−tan
2 β
＝
2× 1
3
1−(
1
3)
2 ＝3
4 ,
所以tan(2β－α)＝tan 2 β −tan α
1＋tan 2 β·tan α
＝
3
4 −(−1
7)
1＋3
4 ×(−1
7)
＝1,
所以2β－α＝－3 π
4 .故选D.
法二 因为tan(β－α)＝1
2,
tan α＝－1
7<0,α,β∈(0,π),
所以α∈(
π
2 ,π),tan β＝tan [(β－α)＋α]
＝
1
2 −1
7
1−1
2 ×(−1
7)
＝1
3∈(0,1),
可知β∈(0, π
4),则2β－α∈(－π,0),
所以tan(2β－α)＝tan [(β－α)＋β]
＝tan( β −α )＋tan β
1−tan( β −α )·tan β ＝
1
2 ＋1
3
1−1
2 × 1
3
＝1,
所以2β－α＝－3 π
4 .故选D.
(2)因为α,β∈(
π
2 ,π),所以sin α≠0.
由(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β,
可得2sin 2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β,
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β),
所以cos(α＋β)＝cos (
π
2 −α),
因为α,β∈(
π
2 ,π),所以π<α＋β<2π,
且－π
2 <π
2 －α<0,
根据函数y＝cos x 的图象易知α＋β＝π
2 －α＋2π,
则2α＋β＝5 π
2 .
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·山东名校联考)已知sin(
π
6 ＋α)＝√2
3 ,则cos(2α ＋4 π
3 )的值为( )
A.5
9
B.－5
9
C.1
3
D.－1
3
答案 B
解析 cos(2α ＋4 π
3 )＝cos(2α ＋π
3 ＋π)
＝－cos(2α ＋π
3)＝2sin 2(α ＋π
6)－1＝－5
9.
2.(2025·河南名校联考)已知α∈(0, π
4),cos(2α ＋3 π
2 )＝8
17,则tan α＝( )
A.1
4
B.1
2
C.2
D.4
答案 A
解析 由cos (2α ＋3 π
2 )＝8
17得sin 2α＝8
17,
所以2sin αcos α＝8
17,
则2sin α cos α
sin
2α ＋co s
2α
＝8
17,即2tan α
1＋tan
2α
＝8
17,
解得tan α＝4 或tan α＝1
4.
又α∈(0, π
4),所以0<tan α<1,所以tan α＝1
4.
3.(2025·宁波调研)已知sin(
2π
7 ＋α)＝1
5,那么tan(
3 π
14 −α)＝( )
A.－1
5
B.±2√6
C.2√6
5
D.2√6
答案 B
解析 因为sin (
2π
7 ＋α)＝1
5,
所以cos(
3 π
14 −α)＝cos[
π
2 −(
2
7 π ＋α)]
＝sin(
2
7 π ＋α)＝1
5,
则sin(
3 π
14 −α)＝±√
1−co s
2(
3 π
14 −α)＝±2√6
5 ,
所以tan(
3 π
14 −α)＝
sin (
3 π
14 −α)
cos (
3 π
14 −α)
＝±2√6.
4.sin 20°(√3＋tan 50°)＝( )
A.1
2
B.2
C.√3
D.1
答案 D
解析 原式＝sin 20°(sin 50°＋√3cos 50°)
cos 50°
＝2sin 20° sin(50°＋60°)
cos 50°
＝2sin 20°sin(90°＋20°)
cos(90°−40°)
＝2sin 20°cos 20°
sin 40°
＝sin 40°
sin 40°＝1.
5.(2025·河北名校大联考)若tan(α ＋π
4)＝－3,tan β＝3,则cos(α −β)
sin(α ＋β)＝( )
A.－1
B.7
5
C.3
5
D.4
5
答案 B
解析 由tan(α ＋π
4)＝－3,
得tan α ＋1
1−tan α ＝－3,
解得tan α＝2,又tan β＝3,易知cos α,cos β 均不为0,
所以cos(α −β)
sin(α ＋β) ＝cos α cos β ＋sin α sin β
sin α cos β ＋cos α sin β
＝1＋tan α tan β
tan α ＋tan β ＝1＋2×3
2＋3
＝7
5.故选B.
6.已知cos(α ＋π
12)＋cos(α ＋7 π
12)＝1
5,则cos(2α ＋2π
3 )＝( )
A.－23
25
B.23
25
C.－24
25
D.24
25
答案 C
解析 因为cos(α ＋π
12)＋cos(α ＋7 π
12)＝1
5,
所以cos(α ＋π
12)－sin(α ＋π
12)＝1
5.
两边平方得1－sin(2α ＋π
6)＝1
25,
则sin(2α ＋π
6)＝24
25,
故cos(2α ＋2π
3 )＝cos(2α ＋π
6 ＋π
2)
＝－sin(2α ＋π
6)＝－24
25.
7.计算:√2· sin 40°·sin 80°
cos 40°＋cos 60°＝( )
A.－√2
2
B.－1
2
C.√2
2
D.1
2
答案 C
解析 因为sin 40°·sin 80°
cos 40°＋cos 60°
＝
sin(60°−20°)·sin(60°＋20°)
cos 40°＋1
2
＝(
√3
2 cos 20°)
2
−(
1
2 sin 20°)
2
3
2 −2sin
220°
＝
3
4 co s
220°−1
4 sin
220°
2(
3
4 −sin
220°)
＝
3
4 −sin
220°
2(
3
4 −sin
220°)
＝1
2,
所以原式＝√2
2 .
8.(2025·池州模拟)已知角α,β∈(0,π),tan(α＋β)＝1
2,cos β＝7√2
10 ,则角2α＋β＝( )
A.9 π
4
B.3 π
4
C.5 π
4
D.π
4
答案 D
解析 ∵β∈(0,π),cos β＝7√2
10 ,
∴β∈(0, π
2),sin β＝√2
10 ,tan β＝1
7,
由tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1−tan α tan β ＝
tan α ＋1
7
1−1
7 tan α
＝1
2,
解得tan α＝1
3,∴α∈(0, π
4),且0<α＋β<π
4 ,
∴tan(2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]
＝tan(α ＋β)＋tan α
1−tan(α ＋β)·tan α ＝
1
2 ＋1
3
1−1
2 × 1
3
＝1,
∵2α＋β∈(0, π
2),∴2α＋β＝π
4 .
二、多选题
9.已知α∈(
π
2 ,π),且cos 2α－cos 2α＝1
5,则( )
A.tan α＝－1
2
B.sin 2α＝4
5
C.cos 2α＝3
5
D.tan 2α＝－3
4
答案 AC
解析 cos 2α－cos 2α＝cos 2α－(cos 2α－sin 2α)＝sin 2α＝1
5,
因为α∈(
π
2 ,π),
所以sin α＝√5
5 ,cos α＝－√1−sin
2α＝－2√5
5 ,
所以tan α＝sin α
cos α ＝－1
2,
sin 2α＝2sin αcos α＝－4
5 ,
cos 2α＝1－2sin 2α＝3
5,
tan 2α＝sin 2α
cos 2α ＝－4
3 .
故选AC.
10.若α 为第一象限角,cos (α −π
8)＝1
3,则( )
A.sin (
5 π
8 −α)＝－1
3
B.cos (α ＋7 π
8 )＝－1
3
C.sin (
13 π
8
−α)＝－2√2
3
D.tan (
π
8 −α)＝－2√2
答案 BD
解析 由题意得2kπ<α<π
2 ＋2kπ,k∈Z,
则2kπ－π
8 <α－π
8 <3 π
8 ＋2kπ,k∈Z.
若角α－π
8 是第四象限角,
则cos (α −π
8)>cos π
4 ＝√2
2 >1
3,
所以α－π
8 是第一象限角,
且sin (α −π
8)＝2√2
3 .
对于A,sin(
5 π
8 −α)＝sin(
π
2 ＋π
8 −α)
＝cos(
π
8 −α)＝cos(α −π
8)＝1
3,故A 错误;
对于B,cos(α ＋7 π
8 )＝cos(α −π
8 ＋π)
＝－cos(α −π
8)＝－1
3,故B 正确;
对于C,sin(
13 π
8
−α)＝sin(
3 π
2 ＋π
8 −α)
＝－cos(
π
8 −α)＝－cos(α −π
8)＝－1
3,
故C 错误;
对于D,tan(
π
8 −α)＝－tan(α −π
8)
＝－
sin(α −π
8)
cos(α −π
8)
＝－2√2,故D 正确.
11.(2025·清远质检)已知tan α－tan β＝tan(α－β),其中α≠k π
2 (k∈Z)且β≠m π
2 (m∈Z),则下列结论
一定正确的是( )
A.sin αsin β＝0
B.sin(α－β)＝0
C.cos(α－β)＝0
D.sin 2α＋cos 2β＝1
答案 BD
解析 因为tan α－tan β＝tan(α－β),
其中α≠k π
2 (k∈Z)且β≠m π
2 (m∈Z),
所以tan α－tan β＝sin α
cos α －sin β
cos β
＝sin α cos β −sin β cos α
cos α cos β
＝sin(α −β)
cos α cos β ＝sin(α −β)
cos(α −β),
所以sin(α－β)＝0 或cos(α－β)＝cos αcos β,
即sin(α－β)＝0 或sin αsin β＝0.
因为α≠k π
2 (k∈Z)且β≠m π
2 (m∈Z),
所以sin αsin β≠0,所以sin(α－β)＝0,B 正确,A 错误;
因为sin(α－β)＝0,所以α－β＝nπ,n∈Z,
所以cos(α－β)＝±1,C 错误;
因为α－β＝nπ,n∈Z,
所以sin 2α＋cos 2β＝sin 2(nπ＋β)＋cos 2β＝sin 2β＋cos 2β＝1,D 正确.
三、填空题
12.cos 70°−cos 20°
cos 65°
＝ .
答案 －√2
解析 法一 cos 70°−cos 20°
cos 65°
＝cos(90°−20°)−cos 20°
cos 65°
＝sin 20°−cos 20°
cos(45°＋20°)
＝
sin 20°−cos 20°
cos 45°cos 20°−sin 45°sin 20°
＝－√2.
法二 cos 70°−cos 20°
cos 65°
＝sin 20°−cos 20°
cos 65°
＝−√2cos(45°＋20°)
cos 65°
＝－√2.
13.(2025·成都诊断)已知cos(α＋2β)＝5
6,tan(α＋β)tan β＝－4,写出符合条件的一个角α 的值为
.
答案 2π
3 (答案不唯一)
解析 cos(α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]
＝cos(α＋β)cos β－sin(α＋β)sin β＝5
6,
tan(α＋β)tan β＝－4,
即sin(α ＋β)sin β
cos(α ＋β)cos β ＝－4,
故sin(α＋β)sin β＝－4cos(α＋β)cos β,
故5cos(α＋β)cos β＝5
6,
即cos(α＋β)cos β＝1
6,
则sin(α＋β)sin β＝－4cos(α＋β)cos β＝－2
3,
则cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝1
6 －2
3＝－1
2,
可取α＝2π
3 .
14.(2025·南昌调研)已知cos(
π
4 −α)＝3
5,sin(
5 π
4 ＋β)＝－12
13,其中α∈(
π
4 , 3 π
4 ),β∈(0, π
4),则
tan α
tan β ＝ .
答案 －17
解析 由α∈(
π
4 , 3 π
4 ),得π
4 －α∈(−π
2 ,0),
因为cos(
π
4 −α)＝3
5,
所以sin(
π
4 −α)＝－4
5,
所以cos α＝cos [
π
4 −(
π
4 −α)]
＝cos(
π
4 −α)cos π
4 ＋sin (
π
4 −α)sin π
4
＝－√2
10 ,
所以sin α＝7√2
10 ,
所以tan α＝－7.
由β∈(0, π
4),得5 π
4 ＋β∈(
5 π
4 , 3 π
2 ),
因为sin (
5 π
4 ＋β)＝－12
13,
所以cos (
5 π
4 ＋β)＝－5
13,
所以sin β＝sin[(
5 π
4 ＋β)−5 π
4 ]
＝sin(
5 π
4 ＋β)cos 5 π
4 －cos(
5 π
4 ＋β)·sin 5 π
4
＝7√2
26 ,
所以cos β＝17√2
26 ,
所以tan β＝7
17,所以tan α
tan β ＝－17
