十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数小题
目录
题型一： 导数的概念及其几何意义.........................................................1
题型二： 导数与函数的单调性.................................................................9
题型三： 导数与函数的极值、最值.......................................................11
题型四： 导数与函数的零点...................................................................14
题型五： 导数的综合应用.......................................................................15
题型一： 导数的概念及其几何意义
1．(2023 年全国甲卷文科·第8 题)曲线
在点
处
切线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
故选：C
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第7 题)若过点
可以作曲线
的两条切线，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
．
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点,故选D．
3．(2019·全国Ⅲ·文·第6 题)已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的导数为
，由在点
处的切线方程为
，
可得
，解得
，
又切点为
，可得
，即
，故选：D．
4．(2019·全国Ⅱ·文·第10 题)曲线
在点
处的切线方程为
( )
A．
B．
C
．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，即点
在曲线
上．
则
在点
处的切线方程
为
，即
．故选C．
5．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第6 题)设函数
．若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解法1：由基本函数y=x3
，
，y=ax 的奇偶性，结合
为奇函数，易知a=1．
则
，求导数，得
，
，由点斜式得
，即
．
解法2：∵
为奇函数，
，
即
，得
．
则
，求导数，得
，
，由点斜式得
，即
．
6．(2015 高考数学北京文科·第8 题)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的
情况．
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
年
月日
年
月
日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每
千米平均耗油量为(
)
A．
升
B．
升
C．
升
D．
升
【答案】B
解析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量
升．
而这段时间内行驶的里程数
千米． 所以这段时间内，该车每100 千米平均
耗油量为
升，故选B．
7．(2016 高考数学四川文科·第10 题)设直线
分别是函数
图象上点
处的
切线，
与
垂直相交于点
，且
分别与
轴相交于点
,则
的面积的取值范围是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：设
(不妨设
)，则由导数的几何意义易得切线
的斜率分别为
由已知得
切线
的方程分
别为
，切线
的方程为
，即
．
分别令
得
又
与
的交点为
，
故选A．
8．(2016 高考数学山东文科·第10 题)若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直，则称
具有
性质．下列函数中具有
性质的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积
为负一．
当
时，
，有
，所以在函数
图象存在两点
使条件成立，故A 正确；函数
的导数值均非负，不符合题意，故选A．
9．(2015 高考数学安徽文科·第10 题)函数⃗a ⊥⃗b 的图像如图所示，则下列结论成立的
是
( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由函数f ( x)的图象可知a>0 ，令x=0⇒d>0
又f
'( x)=3ax 2+2bx +c ，可知x1, x2是f '( x)=0 的两根
由图可知x1>0, x2>0
∴{x1+x2=−
2b
3a
>0¿¿¿¿
⇒{b<0¿¿¿¿；故A 正确．
10．(2017 年高考数学浙江文理科·第7 题)函数
( )
y
f x
的导函数
( )
y
f
x
的图象如图所示,则函数
( )
y
f x
的图象可能是
(第7 题图)
A B
( )
C D
【答案】 D
【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故
选D．
(特例法)取导函数
( )
(
2)(
1)(
4)
f
x
x
x
x
,勾画原函数
( )
f x 图象．故选D．
11．(2020 年高考课标Ⅰ卷文科·第15 题)曲线
的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
______________．
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为
，
，所以切点坐标为
，
所求的切线方程为
，即
．
故答案为：
．
12．(2020 年高考课标Ⅲ卷文科·第15 题)设函数
．若
，则a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：
，
则：
，据此可得：
，
整理可得：
，解得：
．
故答案为：．
13．(2022 新高考全国II 卷·第14 题)曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】①．
②．
解析： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，
即
；
故答案为：
；
14．(2022 新高考全国I 卷·第15 题)若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】
解析：∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
15．(2019·天津·文·第11 题)曲线
在点
处的切线方程为________．
【答案】
【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将
代入导数方程得出在点
处的斜率，然
后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．
【解析】由题意，可知
，因为
．
曲线
在点
处的切线方程：
，整理得：
．故答案为：
．
16．(2019·全国Ⅰ·文·第13 题)曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】
，结合导数的几何意义曲线在点
处的
切线方程的斜率
，切线方程为
.
17．(2019·江苏·文理·第11 题)在平面直角坐标系
中，点
在曲线
上，且该曲线在点
处的切
线经过点
( 为自然对数的底数)，则点
的坐标是______.
【答案】
【解析】设切点
，因为
，所以切线的斜率
，
又切线过点
，所以
，即
，解得
，则点
的坐标是
.
18．(2018 年高考数学天津(文)·第10 题)已知函数
，
为
的导函数，则
的值
为 ．
【答案】
解析：
．
19．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第13 题)曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
解析：
，当
时，
，
曲线
在点
处的切线方程为
故答案为
．
20．(2014 高考数学江西文科·第11 题)若曲线
ln
y
x
x
P
上点
处的切线平行于直线2
1
0,
x
y
P
则点
的坐标是_______．
【答案】( , )
e e
分析:因为
ln
1
y
x
,设切点( , )
a b ,则
ln
1
2,
,
k
a
a
e
又
ln
,
b
a
a
e
( , ).
P e e
21．(2014 高考数学广东文科·第11 题)曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
解析：
，
所求切线斜是
，
切线方程是
，即
．
22．(2014 高考数学江苏·第11 题)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
y=ax 2+ b
x (a，b 为常数)过点P(2,−5)，
且该曲线在点P 处的切线与直线7 x+2 y+3=0平行，则a+b 的值是 ．
【答案】
解析：曲线
过点
，则
①，
又
，所以
②，由①、②解得
所以
．
23 ．(2015 高考数学新课标2 文科· 第16 题) 已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切,则
．
【答案】8
分析：由
可得曲线
在点
处的切线斜率为2,故切线方程为
,与
联立得
,显然
,所以由
．
24．(2015 高考数学新课标1 文科·第14 题)已知函数
的图像在点
的处的切线过点
，则
．
【答案】1
分析：∵
2
( )
3
1
f
x
ax
，∴
(1)
3
1
f
a
，即切线斜率
3
1
k
a
，
又∵
(1)
2
f
a
，∴切点为(1，
2
a
)，∵切线过(2,7)，∴
2
7
3
1
1
2
a
a
，解得a 1．
25．(2015 高考数学天津文科·第11 题)已知函数
ln ,
0,
f x
ax
x x
,其中
为实数,
f
x
为
f x 的导函数,若
1
3
f
,则
的值为 ．
【答案】3
解析：
因为
1 ln
f
x
a
x
,所以
1
3
f
a
．
26．(2015 高考数学陕西文科·第15 题)函数
在其极值点处的切线方程为____________．
【答案】
解析：
，令
，此时
函数
在其极值点处的切线方程为
27．(2017 年高考数学天津文科·第10 题)已知aR ，设函数
( )
ln
f x
ax
x
的图象在点(1，
(1)
f
)处的切线
为l，则l 在y 轴上的截距为____________．
【答案】1
【基本解法1】
(1)
f
a
，切点为(1, )
a ，
1
( )
f
x
a
x
，则切线的斜率为
(1)
1
f
a
，切线方程为：
(
1)(
1)
y
a
a
x
，令
0
x
得出
1
y ，l 在y 轴的截距为1．
28．(2017 年高考数学课标Ⅰ卷文科·第14 题)曲线
2
1
y
x
x
在(1,2) 处的切线方程为________________．
【答案】
1
y
x
【解析】设
( )
y
f x
,则
2
1
( )
2
f
x
x
x
,所以
(1)
2 1
1
f
,所以在(1,2) 处的切线方程为
2
1 (
1)
y
x
,即
1
y
x
;
29．(2016 高考数学天津文科·第10 题)已知函数
为
的导函数，则
的值
为__________．
【答案】3
解析：由题意得
则得
．
30．(2016 高考数学课标Ⅲ卷文科·第16 题)已知
为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是_____．
【答案】
【解析】当
时，
，则
．又因为
为偶函数，所
以
，所以
，则切线斜率为
，所以切线方程为
，即
．
题型二： 导数与函数的单调性
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第6 题)已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
( )．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
解析：依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．(2014 高考数学课标2 文科·第11 题)若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围
是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：∵函数
在
上单调递增，∴
恒成立。∴
恒成立，∵
，
∴
。∴选D。
3．(2015 高考数学陕西文科·第9 题)设
，则
( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
【答案】B
解析：
又
的定义域为
是关于原点对称，所以
是奇函数；
是增函数．
故答案选
4．(2016 高考数学课标Ⅰ卷文科·第12 题)若函数
在
单调递增，则a
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析一】
对
恒成立，
故
，即
恒成立，
即
对
恒成立
构造
，开口向下的二次函数
的最小值的可能值为端点值，
故只需保证
，解得
．故选C．
【解析二】用特殊值法：取
，
，
但
，不具备在
单调递增，排除A，B，D．故选C．
题型三： 导数与函数的极值、最值
1．(2021 年全国高考乙卷文科·第12 题)设
，若
为函数
的极大值点，
则
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
解析：若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
．
依题意，
为函数
的极大值点，
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
．
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
．
综上所述，
成立．
故选：D
2．(2022 年全国高考甲卷数学(文)·第8 题)当
时，函数
取得最大值
，则
(
)
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，
所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B．
3．(2014 高考数学课标2 文科·第3 题)函数
在
处导数存在，若
：
；
：
是
的极值点，则
( )
Ａ．
是
的充分必要条件Ｂ．
是
的充分条件，但不是
的必要条件
( )
Ｃ．
是
的必要条件，但不是
的充分条件Ｄ．
既不是
的充分条件，也不是
的必要条件
【答案】C
解析:∵
,而
，∴选Ｃ．
4．(2014 高考数学辽宁文科·第12 题)当x∈[−2,1]时，不等式ax 3−x2+4 x+3≥0 恒成立，则实数a 的取
值范围是
( )
A．[−5,−3]
B．
[−6,−9
8 ]
C．[−6,−2]
D．[−4,−3]
【答案】C
解析：方法一，取特殊值，排除法
令
，故排除B，
又当
时，
，成立，排除A，D，故选
C
方法二，分类讨论，分离参数法
当
时 ，显然成立 ；
当
时 ，ax 3−x2+4 x+3≥0 可化为
当
时 ，ax 3−x2+4 x+3≥0 可化为
，
令
当
时，
当
时，
，综上
，故选C
方法三，利用导数求极值，求区间端点值。
f ( x)=ax 3−x2+4 x+3≥0 对x∈[−2,1]恒成立
必要性
{f(−2)≥0¿{f(1)≥0¿¿¿¿
⇒¿{
a≤−
9
8
¿{a≥−6¿¿¿
⇒−6≤a≤−2
f '( x)=3ax 2−2 x+4 ，记
f '( x0)=3ax 0
2−2 x0+4=0⇒a=2 x0−4
3 x0
2
≤−2⇒−1≤x0≤2
3 ，
f ( x0)=ax 0
3−x0
2+4 x0+3=2 x0
2−4 x0
3
−x0
2+4 x0+3=−x0
2
3 + 8
3 x0+3≥−1
3−8
3 +3=0
综上，当
时，对x∈[−2,1]有f(x)的最小值非负， 所以，故选C
5．(2016 高考数学四川文科·第6 题)已知
为函数
的极小值点，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
解析：
，令
得
或
，易得
在
上
单调递减，在
上单调递增，故
的极小值为
，有已知得
，故选D．
题型四： 导数与函数的零点
1．(2023 年全国乙卷文科·第8 题)函数
存在3 个零点，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B．
2．(2014 高考数学课标1 文科·第12 题)已知函数C
，若P 存在唯一的零点l ，且
l
，则A 的取值范围是
( )
A．|PA|
B．
C．
D．ΔPOM
【答案】C
解析：由已知
，
，令
，得
或
，
当
时，
；
且
，
有小于零的零点，不符合题意。
当
时，
要使
有唯一的零点
且
＞0，只需
，即
，
．选C
解析：由已知
，
=
有唯一的正零点，等价于
有唯一的正零根，令
，则问题又等价于
有唯一的正零根，即
与
有
唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记
，由
，
，
，
，要使
有唯一的正零根，只需
，选C
题型五： 导数的综合应用
1．(2014 高考数学湖南文科·第9 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：令
，则
,
在(0,1)上不单调，A,B,错；
令
，则
，
在(0,1) 上单调递减，故
，即
答案为C
2．(2018 年高考数学江苏卷·第11 题)若函数
在
内有且只有一个零点，则
在
上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】–3
解析：由
得
，因为函数
在
上有且仅有一个零点且
，
所以
，因此
，
，从而函数
在
上，单调递增，在
上单调递减，所以
，
，最大值与最小值的和为
．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第16 题)已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是
_______．
【答案】
解析:由题意，
，则
，
所以点
和点
，
,所以
，所以
，所以
，
同理
,所以
．故答案为
．
