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重难点培优12 导数中的不等式证明问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 常规构造差函数型（★★★★★）................................................................................................4
题型二 同构构造函数型（★★★★★）....................................................................................................8
题型三 换元后构造函数型（★★★★★）..............................................................................................15
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）（★★★★）............................................................19
题型五 利用隐零点（★★★★★）..........................................................................................................24
题型六 利用凹凸反转（★★★★）..........................................................................................................28
题型七 含多变量型（★★★★）..............................................................................................................30
题型八 导数结合三角函数（★★★★）..................................................................................................38
题型九 导数结合数列（★★★★★）......................................................................................................45
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................51
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................51
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................69
一、导数证明不等式，核心思维如下：
1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.
2、构造函数常见思路
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函
数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x
（x＞0），当且仅当x＝1 时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x R
∈），当且仅当x＝0 时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1
＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为
左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都
不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处
f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x 的值”．
（5）同构构造函数
①积型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
②商型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
③和差型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
比如
令
，得
．
3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）先放缩再求和证明；
（2）先求和再放缩证明.
4、切线放缩放缩的结构
（1）指数函数的切线不等式
①
；②
．
（2）对数函数的切线不等式
①
；②
；③
．
（3）三角函数的切线不等式
①当
时，
；当
时，
；
②当
时，
；当
时，
．
③切线与割线相结合的形式：当
时，
．
5、基于泰勒展开的结构
（1）常见函数的泰勒展开式
①
，其中
；
②
，其中
；
③
，其中
；
④
，其中
；
⑤
；
⑥
；
⑦
；
⑧
．
（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式
①
，
，
，
②
，
，
，
③
，
，
．
二、证明不等式的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数
；
（3）利用导数研究
的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
三、不等式证明的“借式子”思维：
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方
向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不
等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.
题型一 常规构造差函数型
【技巧通法·提分快招】
证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－
g(x)；
1．证明不等式：
(1)
，
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数
，求导，结合函数单调性即可求解，
（2）构造函数
，求导，结合函数单调性即可求解，
【详解】（1）设
，
，则
．
令
，得
．
当
时，
，从而
在
内单调递增；
当
时，
，从而
在
内单调递减．
所以当
时，
在区间
上取最大值．
所以
，所以，
，
．
（2）设
，则
．令
，得
．
当
时，
，函数
在区间
上单调递增；
当
时，
，函数
在区间
上单调递减．
所以当
时，
取最小值．
所以
，所以，
．
2．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论
和
求出函数的单调区间即得.
（2）不等式可化为：
，通过平方，构造函数
，通过求导确定其单调性，
求得最值，即可求证.
【详解】（1）
，
当
时，
在
上单调递增
当
时，
，
当
，
在
单调递减，
当
，
在
单调递增．
（2）由
，
要证
，
即证
，
即证
，
令
，则
，
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，即
，
，得证．
3．（2025·山东聊城·三模）已知函数
．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
时，（i）求
的最小值；（ii）证明：
．
【答案】(1)
；
(2) ；证明见解析.
【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值
，从而可求解
的取值范围；
（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；
（ii）利用第（i）问的结论
，从而把要证明的不等式转化为
，再作差构造函数求导来
证明即可.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，
当
时，
恒成立，
当
时，
，所以此时
不恒成立，
当
时，求导得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增；
所以
，
即不等式
恒成立，等价于
，
综上，
的取值范围为
.
（2）（i）当
时，
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增；
所以
，
（ii）由
，则要证明
，只需要证明
，
构造
，则
，
所以
在
上单调递增，
即
，所以有
，
即
成立．
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的最小值；
(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围；
（3）由（2）可得
，所证不等式即可转化为
，构造函数
，求
导根据导数判断函数单调性与最值，进而得证.
【详解】（1）由已知
，
则
，
则
，
又
，
所以函数
在
处的切线方程为
，
即
；
（2）由已知
，
恒成立，
则
对
恒成立，
设
，
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
即
的最小值为
；
（3）由（2）可知
时，
，
又
，所以
，
则
时，
，
设
，
，则
，
设
，则
，
所以当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上单调递增，
即
，
所以
，
，
即
，
综上所述
.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
题型二 同构构造函数型
【技巧通法·提分快招】
1、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
2、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
3、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
1．已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出
、
的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）将所证不等式变形为
，构造函数
，
，利用导数分析该
函数的单调性，可证得
，再构造函数
，其中
，利用导数分析该函数的单调
性，结合
可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为
，则
，所以
，
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）当
时，
，
当
时，要证
，即证
，
即证
，
当
时，
，
构造函数
，其中
，则
，
即函数
在
上单调递增，
构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
因此，当
时，
，即
，
故原不等式得证.
2．已知函数
，
，
，
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
的最大值为1，证明：对任意的
，
；
(3)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
在
单调递增，在
单调递减
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，分别令
和
，即可得到对应的增区间和减区间；
（2）根据题意求出参数
，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明；
（3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可.
【详解】（1）
的定义域为
，令
得
，
令
得
，令
得
，
在
单调递增，在
单调递减.
（2）由（1）知
，
，
，要证
，即证
，
即证
，即证
，
构造函数
，则
，
令
得
，令
得
，
在
单调递增，在
单调递减，
，即
恒成之，当且仅当
时等号成立.
，
，使得
，
恒成立，故对于任意的
，
.
（3）当
时，
，若
恒式立,
即
恒式立，即
，即
恒成立，
由（2）可知
恒成立，当且仅当
时等号成立，
令
，则
恒成立，
在
单调递增，
，
使得
成立，
，
，
所以
．
3．（24-25 高三下·河南·月考）已知函数
的图象在
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义得
，即可求解；
（2）要证明
，所以需证
在
上恒成立，即证
在
上恒成
立，设
，利用导数求其单调性可得证.
【详解】（1）
，
所以
，
因为过点
的切线为
，所以
.
（2）由（1）得，
，
当
时，要证明
，即证明
，
所以需证
在
上恒成立，
即证
在
上恒成立.
设
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
令
，则
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，所以
（当且仅当
取得等号）.
又当
时，
，所以
，
即
，
所以
.
4．（24-25 高三下·黑龙江·月考）已知函数
，
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间和极值；
(3)若
，函数
，证明：当
，
.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为：
，递增区间为：
；极大值为
，无极小值
(3)证明见解析
【分析】（1）对于切线方程，需要先求出函数在该点的导数，得到切线斜率，再结合该点坐标求出切线
方程；
（2）对于函数的单调性和极值，通过求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出极值；
（3）解法一：要证
，即证明
，令函数
，
，通
过研究新函数的单调性，求解最值即可证明不等式；解法二：令
，
，设
，
，
通过求导求解最值即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
，
，
所以切线方程为
；
（2）当
时，
，
，
令
，
，
故
在
上单调递减，而
，
因此0 是
在
上的唯一零点，
即：0 是
在
上的唯一零点，
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
0
单调递
增
极大
值
单调递
减
的单调递减区间为：
；递增区间为：
，
的极大值为
，无极小值；
（3）
，
，
要证明
，即证明
，
因为
，
所以要证
，即证
，
令
，
，则证
，
设
，
，对其求导的
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取最小值
，即
，
所以当
时，
得证.
5．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两根，求a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，对
分类讨论即可求解；
（2）由（1）根据
的情况，分类讨论，当
时，由
的单调性即可求解，当
时，由单调性和
极限思想即可求解；
（3）要证
，即
，令
，只需证
即可；法一：当
时，
，显然成立；当
时，由（1）得，
，取
，即得证，法二：
令
，利用导数研究单调性即可得证.
【详解】（1）由题意有
．
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，令
，得
，
单调递增；
令
，得
，
单调递减．
综上所述，当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
在
单调递减，所以方程
最多一根，故
．
因为当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
又因为
，
，且
，
，
故要使方程
有两根，则
，
即
，得
，故a 的取值范围为
．
（3）法一：要证
，即
，
令
，则只需证
，当
时，
，上式显然成立；
现证当
时上式成立：
由（1）知，
，取
，即得
，
取
，即可得
，即得证．
法二：要证
，即
，
令
，则只需证
，令
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
由（1）知，
，则
，
故
，即
，得证，
题型三 换元后构造函数型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线的倾斜角；
(2)若
是函数
的极值点，
（i）求实数
的值；
（ii）设函数
．证明：
．
【答案】(1)
；
(2)（i）1；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小；
（2）（i）对函数求导，由已知有
求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明
在
且
上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证.
【详解】（1）由题设
，则
，故切线斜率
，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知
在
处的切线的倾斜角为
.
（2）（i）由题设
，则
，
由
，则
，故
且
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
时
，
在
上单调递增，
时
，
在
上单调递减，
所以
是函数
的极值点，故
；
（ii）
，则
且
，
当
时，
，此时
，即证
，
当
时，
，此时
，即证
，
综上，只需证明
在
且
上恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，故
得证.
2．（24-25 高三下·广东江门·月考）已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把
代入，求出函数
导数，确定函数的单调性求出最大值.
（2）求出函数
的导数，进而求出其单调区间，再分类讨论求出最小值.
（3）利用零点的定义可得
，
，作差变形并构造函数
，
利用导数探讨取值集合即可.
【详解】（1）依题意，函数
，其定义域为
，
当
时，
，求导得
，
当
时，
，
；当
时，
，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递增减，
所以
的最大值为
.
（2）函数
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，而
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
所以当
时，
；当
时，
.
（3）依题意，不妨令
，
，即
，
两式相减得
，
不等式
，
令
，则
，
令函数
，
，函数
在
上单调递增，
因此
，即
，则
，
所以
.
3．已知函数
．
(1)若
，判断
的单调性；
(2)已知
有两个零点
，
，（
）
①证明：
；
②证明：
【答案】(1)在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
(2)证明见解析；
【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性；
（2）①应用导数研究
的区间单调性和对应值域，结合零点个数及其最小值即可证；②由题设有
，设
，即有
，记
，
，则
，应用分析法将问题化为证明
，构造函数并应用导数研究函数值
符号，即可证.
【详解】（1）当
时，
，得
的定义域为
，
且
，
，
时，
单调递增，
时，
单调递减，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
（2）①由题设
且
，则
，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由
趋向于
或
时，
都趋向于
，由
有两个零点，
所以
，即
，命题得证；
②证明：由题意
，即
，
所以
，
记
，则
，
要证
，
记
，
，则
，
记
，则
，
同（1）分析得，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
下证
，由
，由于
时，
显然成立，
故只需考虑
时，
是否成立，要证
，即证
，
由
在区间
上单调递减，即证
，
即证
，即证
，
记
，
，
，
记
，
，
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
在区间
上单调递减，
又
，所以
，故
.
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）
【技巧通法·提分快招】
1、常见不等式（大题使用需要证明）
①
，
，
，
②
，
；
；
③
；
；
④
；
⑤
；
⑥
；
；
，
1．（24-25 高三下·湖南·月考）已知函数
．
(1)判断
在区间
的单调性；
(2)求
的最小值；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)
在
和
单调递增，在
和
单调递减
(2)1
(3)证明见详解
【分析】（1）求导，判断导函数在
上的正负，进而可得单调性；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值；
（3）构造函数
，利用三角函数的有界性以及（2）的结论即可判断
的单调性，
进而可知
的最值，进而可证不等式.
【详解】（1）由题可得
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
和
单调递增，在
和
单调递减.
（2）
，令
，得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
（3）当
时，令
，
则
，
因为
，所以
由（2）知
，故
，
所以
，故
在
上单调递减，
所以
，所以
．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，
为
的导函数.
(1)若函数
的图象与
的图象的交点的横坐标
，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造函数
，求导得出函数单调性，结合零点存在定理列不等式计算求解；
（2）构造函数
，利用导数证明
，再把不等式转化为
，
应用导函数得出函数单调性即可证明.
【详解】（1）因为
，
，
所以
.
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递减.
由题意知方程
在
上有根，所以
，且
，
即
解得
，
即实数
的取值范围是
.
（2）当
时，
，
.
令
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
令
，则问题转化为证当
时，
.
，令
，则
，等号不恒成立，
所以
在
上单调递减.
又因为
，所以当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减.
又因为
，所以当
时，
，
所以
，即
得证.
3．函数
，
，其中
为常数，当
时，证明：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数的范围对函数进行放缩，结合
的泰勒公式放缩证明.
【详解】由于
，
∴
即证
由
的泰勒展开式得，
，得
，
即
，即
，得证．
4．证明不等式：
．
【答案】证明见解析
【分析】设
，求出
再代入
的二阶泰勒公式，即得解.
【详解】设
，则
，
，
代入
的二阶泰勒公式，有
，
．
所以原题得证.
5．给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数叫做
的二阶导数，记作
．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
．②若
，定义
．③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那么对
于任一
有
，
我们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式．例如，
在点
处的
阶泰勒展开式为
．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰
勒展开式
；
（2）比较（1）中
与
的大小．
（3）已知
不小于其在点
处的阶泰勒展开式，证明：
．
【答案】（1）
；
；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据
在点
处的
阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令
，利用导数可求得
在
上单调递增，结合
可得
的正负，由
此可得
与
的大小关系；
（3）令
，利用导数可求得
，即
；①当
时，
、
和
都不小于其在
处的阶泰勒展开式，可直接证得不等式成立；②当
时，根据
，将不等式变为
，令
，利用导数可证得
，由此可证得不等式成立.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
，即
；
同理可得：
；
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
.
（3）令
，则
，
，
在
上单调递增，又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
在点
处的阶泰勒展开式为：
，
，
①由（2）知：当
时，
，
当
时，
；
②当
时，设
，
，
，
，
当
，由（2）可知
，所以，
，即有
；
当
时，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
．
综上所述：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确
阶泰勒展开式的具体定义；
本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在
处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩
的方法将不等式进行转化.
题型五 利用隐零点
1．（24-25 高三上·云南丽江·月考）设函数
其中
(1)若曲线
在点
处切线的倾斜角为
，求
的值;
(2)已知导函数
在区间
上存在零点，证明:当
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
，直接计算即可；
（2）求导，假设零点，得到
，并得到函数
的单调性，并求得
，然后构建函数
求导判断即可.
【详解】（1）
，故
，
，故
.
（2）
，即
，存在唯一零点，
设零点为
，故
，即
，
若
，则
；若
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
设
，则
，
设
，则
，
单调递减，
，故
恒成立，故
单调递减.
故当
时，
.
2．已知函数
，
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
且
时，求证
.
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）对
求导，令其导数为0 求解得到
的极值点，根据该极值点左右
的单调性判
断该极值点是极大值点还是极小值点，再代入
即可；
（2）对参数
的取值分类讨论，利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；
（3）对不等式
进行化简，构造新函数，将问题转化为求该函数的最小值即可.
【详解】（1）
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
，得
，
单调递减，
当
时，
，
，得
，
单调递增，
因此，
是
的极小值点，极小值为
，
综上，
极小值为
，无极大值.
（2）
定义域为
，
，
当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
，
当
时，
，得
，
单调递减，
当
时，
，得
，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递
增.
（3）当
时，
，定义域为
，
，
，即
，
，
，
令
，定义域为
，
，其中，
恒成立，
假设
解得
，
当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
因此
的最小值为
，
由
可知
，
，
所以
，即
的最小值为0，
综上，
，
得证.
3．（24-25 高三下·天津河北·月考）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若对任意
不等式
恒成立，求a 的取值范围.
(3)证明不等式：
【答案】(1)函数
有极大值
，无极小值；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数工具研究函数
的单调性即可由极值定义得解；
（2）将题设等价转化成
对任意
恒成立，再利用导数工具求出函数
的最
大值即可得解；
（3）令
，利用导数工具二次求导研究函数
的最小值情况即可得证.
【详解】（1）当
时，函数
，
所以函数定义域为
，
，
所以当
时，
，函数单调递增；当
时，
，函数单调递减，
所以函数
有极大值
，无极小值；
（2）对任意
不等式
恒成立，
所以
对任意
恒成立，
因为
，所以当
时，
，函数单调递增；当
时，
，
函数单调递减，
所以
，所以
；
（3）证明：令
，则
，
故
恒成立，
所以函数
即
为
上的增函数，又
，
所以存在
使得
，
所以当
时，
，函数单调递减，
时，
，函数单调递增，
又
为增函数，
所以
，
所以
.
题型六 利用凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
1、凸凹反转：欲证明f ( x)>0 ，若可将不等式左端f ( x)拆成g( x)>h( x)，且gmin( x)>hmax( x)的话，
就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取g( x)为上凸型函数，h( x)为下凹型函数来完成证明.
x
y
y=h(x)
y=g(x)
O
2、利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条
件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至
得到使不等式恒成立的充要条件
1．已知
，
，
，求证：
．
【解析】令
，
，则
，则
，只需证明
，即证
；
，
，故只需证明
，即证
，
记
，则
，
当
时，
；当
时，
；
即
在
上递减，在
上递增，
①，当且仅当
时等号成立，
再记
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上递增，在
上递减．
②，当且仅当
时等号成立．
由①②等号不同时取到，得
，于是
．
2．已知函数
，
．
(1)若函数
的最小值与
的最小值之和为
，求
的值．
(2)若
，
，证明：
．
【解析】（1）因为
，所以
．
令
，解得
．
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以
．
因为
，
，所以
．
令
，解得
．
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
．
由题意可得
，解得
．
（2）证明：要证
，即证
，即证
．
令
，
，
，
．
易得
，则令
，得
；令
，得
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
．
易得
．
令
，得
；令
，得
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，故
．
题型七 含多变量型
1．（23-24 高三下·河南·月考）已知函数
．
(1)若
对
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
时，若关于
的方程
有三个不相等的实数根
，
，
，且
，
求
的取值范围，并证明：
．
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【分析】（1）分类讨论利用导数求最值判断不等式恒成立的条件；
（2）关于
的方程
有三个不相等的实数根，即方程
有三个不相
等的实数根，设
，利用导数可得
在
内单调递增，在
内单调递减，
求出函数极值确定
的取值范围，利用极值点偏离证明
和
，即可得结果.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
所以不等式
在区间
上不恒成立，不合题意；
当
时，函数
的定义域为
，且
．
由
可得
；由
可得
，
此时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
则
，即
，即
，解得
．
综上所述，实数a 的取值范围是
．
（2）当
时，由
，得
，
令
，则
，
由
可得
或
；由
可得
，
所以
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以
极大值为
，极小值为
，
若
有3 个不同实根，则
，即
的取值范围为
.
此时
．
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递减，
则
，即
，可得
．
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递增，
则
，即
，
由
和
，两式相加可得
．
2．（2025·河北石家庄·三模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在定义域内有三个零点a，b，c（
）．
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】（1）求导得
，再对
分
和
讨论即可；
（2）（i）当
时，显然不会有3 个零点，当
时，求出
的两根，判断出
的符
号，利用零点存在性定理证明零点存在即可；
（ii）根据
得
，则
，最后根据对勾函数单调性即可证明.
【详解】（1）
的定义域为
，
.
当
时，
，所以
恒成立，
所以
在
单调递增；
当
时，
，
所以
的两根为
，
且
，所以
，
所以，
时，
或
时，
．
所以
在
上单调递减，在
和
单调递增．
综上：当
时，
在
单调递减，
在
和
单调递增；
当
时，
在
单调递增.
（2）（i）由（1）可知当
时，
在
单调，
不可能有三个零点；
当
时，
的两根为
，
且
，所以
，且
，
因为
在
上单调递减，所以
，
因为
，所以
，
设
，
在
上单调递减，
，
即
，所以
使
.
因为
，
又因为
，所以
，
所以
使
，
所以，当
时，
有三个零点
，
（ii）由（i）可知，
的三个零点：
，
因为
，且
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以函数
单调递减，
，
所以
，得证．
3．已知函数
有三个极值点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，然后构造函数，利用函数的奇偶性、
单调性等研究函数的零点即可；
（2）先根据第（1）问得到
之间的关系，将多元不等式问题转化为一元不等式问题，然后换元，
构造函数进行证明即可．
【详解】（1）由题意知
有三个变号零点，且
，
易知
，故
为定义在
上的奇函数，
又
，所以
在
上恰有一个变号零点．
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
，
单调递增．
又
，当
时
，
所以当
时，
．
若
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
，不符合题意．
故
，此时
，
在
上存在唯一零点
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
由
，
时
可知，
在
上恰有一个变号零点．
综上，实数
的取值范围为
．
（2）不妨设
，则由（1）的讨论可知
，
，
，
故只需证明
，
，解得
，
故只需证明
，
整理后，只需证明
．
设
，则只需证明
，
即证
，
即证
，即证
，
故只需证明
在
时恒成立．
记
，
，
则
，故
在
上单调递增，
所以
，即
在
时恒成立，
所以
．
【点睛】方法点睛：
对于多元不等式的证明，通常采取多元化一元，然后构造函数，利用导数讨论单调性，利用单调性进行证
明，多元化一元时可采取换元，或寻找各元之间的联系进行代换.
4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数
，
(1)若
与
的图象恰好相切，求实数
的值；
(2)
时，证明：当
时，
(3)若
有三个零点
，
，
，且
．
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程组，解之即可；
（2）将原不等式转化为
，利用导数分别证明
、
，两个等号不是同时取到，进而得证；
（3）首先方程等价于
，并构造函数
，注意到1 是函数的一个零点，转
化为
在
上有2 个零点，并结合零点存在性定理求
的取值范围，由
，判断
，将所证明不等式转化为
，再利用
，将不等式转化为
，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证
明.
【详解】（1）由题意，
，
设切点
，又直线
与
图象相切，
所以
，即
，
得
，即
，代入
，
得
，解得
，代入
，解得
.
经检验，
符合题意.
所以
的值为
.
（2）当
时，
，
要证
，即证
，
令
，则
，
令
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
；
令
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
；
而上面两个等号不是同时取到，
所以
在
上恒成立，
即当
时，
.
（3）（i）由题意，
，
由
等价于
，
令
.注意到，
，依题意，
除了1 之外，还有两个零点，
又由
，令
（
），
当
时，
恒成立，故这时
在
单调递减，不合题意；
当
时，由题意，首先
在
上有两个零点，
故
，解得
，
设两个零点为
和
，有
，
，故可知
，
均大于0，
由此可得
在
单调递增，
单调递减，
单调递增，
而
，即
，
又因为
，
故
在
内恰有一个零点，在
内恰有一个零点，
又1 为
的一个零点，所以
恰有3 个零点，亦即
恰有3 个零点，
实数
的取值范围是
.
（ii）
，由
，
由此可得
，要想证明
，
只需证明
，而
，
因此只需要证明当
时，
，
令
，
可得
，故
在
上单调递增，
因此当
时，
，即当
时，
，
因此
，
由
，有
，即
，
两边同时除以
，由
，有
，
即
.
【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1 是求出
的取值，关键2 是证明
.
题型八 导数结合三角函数
【技巧通法·提分快招】
对于含有三角函数型不等式证明：
1、证明思路和普通不等式一样。
2、充分利用正余弦的有界性
3、三角函数与函数的重要放缩公式：
.
1．（2025·湖南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)求证：
.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值；
（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；
（3）利用放缩法，由
，可知若证
，即
证
，再根据
，可得证.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，所以
的单调
递减区间为
，单调递增区间为
，
在
处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，与
矛盾；
②当
时，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，
因为
恒成立，所以
.
记
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，所以
，所以
.
又
，所以
，所以
.
（3）先证
，设
，则
，
所以
在区间
上单调递减，所以
，即
.
所以
，再证
.
由（2）可知
，当
时等号成立，
令
，则
，
即
，
所以
，
累加可得
，
所以
.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
在其定义域上单调，求
的取值范围；
(2)若
．
（ⅰ）证明：
；
（ii）若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）求得
，对函数
在区间
上单调递增、单调递减两种情况讨论，
结合参变量分离法可求得实数
的取值范围；
（2）（i）构造函数
，
，利用导数分析函数
的单调性，可得出
，由此可证得结论成立；
（ii）由所求不等式变形得出
在区间
上恒成立，令
，
，利用导数分析该函数的单调性，可得出
，求出
的取值范围，然后验证
在区
间
上能否恒成立，由此可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
因为函数
在
上单调，
若函数
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，则
；
若
在
上单调递减，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
当
时，
，则
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（2）当
时，
，
（i）由题意得
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，
，
则
，
当
时，
，则
，
，则
，
所以，函数
在区间
上单调递增，所以
，
所以
得证；
（ii）由
得
在区间
上恒成立，
令
，
，
则
，且
，
因为
在区间
上恒成立，所以
，解得
，
因为
，所以
，
，
所以当
时，
，
此时函数
在区间
上单调递减，所以
恒成立，合乎题意，
综上所述，实数
的取值范围是
.
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
【答案】(1)
在
上单调递增；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性；
（2）借助导数的几何意义可得
，计算即可得解；
（3）结合
的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明
，构造函数
，
，则可借助导数结合基本不等式得到
的单调性，即可得证.
【详解】（1）
，
由
，则
，
故
，
，
故
在
上恒成立，故
在
上单调递增；
（2）由题意知
，
则
，
故
或
，
由
，
故
无解；
则
，即
，又
，故
；
（3）由
，则
，
，
要证
，只需证
，
即只需证
，
由（1）知
在
上单调递增，
故
，即
，
故只需证
，即只需证
，
即只需证
，
令
，
，
则
，
由
，当且仅当
时等号成立，
由
，故不能取等，即有
，
则
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，
即
，故
在
上单调递增，则
，
即有
，即得证.
4．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数
，对任意
，使得
，则称函数
在
上是一个 “
函数”.
(1)已知函数
在区间
上是一个 “
函数”，求
；
(2)证明: 函数
在区间
上是一个 “
函数”;
(3)证明:
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用给定的定义列出恒成立的不等式，再分离参数，结合反比例函数单调性求解.
（2）由给定的定义，利用导数证明
及
在
上恒成立.
（3）利用（2）的信息及结论可得
在
上成立，取
，利用裂相消法求和
推理得证.
【详解】（1）由
在区间
上是一个 “
函数”，
则任意
恒成立，即
恒成立，
而当
时，
，因此
，解得
，
所以
.
（2）要证
在区间
上是一个“
函数”，
需证
时，
，证明如下:
令
，求导得
，
令
，求导得
，即
在
上单调递增，且
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
因此
，即
；
令
，求导得
，
令
，求导得
，
当
或
时，
，则
在
上单调递增；
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，因此
，即
，
所以
，即函数
在区间
上是一个 “
函数”.
（3）当
，则
，由（2）知
且
，则
，
因此
，即当
时，
，令
，
，
则
，
所以
.
题型九 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
1、证明不等式
，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通
过变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关
系，即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
2、累加列项相消证明法
证明不等式
为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过
变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
1．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
，
；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解；
（2）由题，问题转化为证明
，令
，只需证
对任意的
恒成立，设
，求导，判断单调性求出最值得证；
（3）由（2），令
，可得
，即
，利用裂项相消法求和
得证.
【详解】（1）
，
，
.
所求切线方程为
，即
.
（2）要证
，等价于证
，
令
，则
，且
，
，
只需证
在
成立，
即证
对任意的
恒成立，
设
，
则
恒成立，
时，
单调递减，
，即
，
.
（3）由（2）知，
对任意的
恒成立．
对任意的
，有
，则
，
即
，
，
，得证.
2．（24-25 高三下·广东佛山·月考）已知函数
(1)当
时，求
的最大值；
(2)设
，讨论
的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数
，都有
．
【答案】(1)0；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可；
（2）求出导函数，分类讨论单调性即可；
（3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
则
，令
，解得
，
时，
单调递增；
时，
单调递减，
.
（2）由题意，
，定义域为
，
则
，
令
，解得
，
当
时，
时，
单调递减；
时，
单调递增.
当
时，
时，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增.
当
时，
时，
单调递增.
当
时，
时，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（3）由（1）知，
，在
上恒成立，即
，当且仅当
时等号成立.
对于任意的正整数
都有
成立，
，
，
累加可得
，
即
，
即
得证.
所以，对于任意的正整数
，都有
．
3．已知函数
，
.
(1)设函数
；
（i）讨论函数
的单调性；
（ii）若函数
无极值，求实数
的取值范围；
(2)记
数列的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)（i）当
时，函数
在
内单调递减；
当
时，函数
在
内单调递减，在
和
内单调递增；
当
时，函数
在
内单调递增.
（ii）
.
(2)证明见详解.
【分析】（1）（i）由题意得，
，定义域为
，则
，根据对
的取值进行分类讨论，可得
的正负情况，进而可得函数
的单调性；
（ii）函数无极值，等价于导函数不存在变号区间，根据（i）的讨论结果，即可判断；
（2）根据题意得，
，则要证
，需先证明
，令
，则
，代入
化简得
，构造函数
，通过求导判断函数
的单调性，可得
恒成立，原不等式得证.
【详解】（1）（i）由题意得，
，定义域为
，
则
，
①当
时，
恒成立，所以
单调递减；
②当
时，
，此时
，令
，
解得
，
，
当
或
时，
恒成立，所以
单调递增；
当
时，
恒成立，所以
单调递减；
③当
时，
，此时
，此时
至多一个实数根，即
恒成
立，所以
单调递增；
④当
时，易得当
时，
恒成立，所以
单调递减；
综上所述，当
时，函数
在
内单调递减；
当
时，函数
在
内单调递减，在
和
内单调递增；
当
时，函数
在
内单调递增.
（ii）因为函数
无极值，等价于
在
上无变号零点，
由（i）可得，当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，
综上所述，当函数
无极值时，
的取值范围是
.
（2）根据题意得，
，
要证
，需先证明
，
令
，则
，
代入
化简得
，即
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
因为
，所以
恒成立，则函数
单调递减，
又
，所以
在
上恒成立，
即
恒成立，所以
单调递减，
又
，所以
在
上恒成立，
即
恒成立，所以
单调递减，
又
，所以
在
上恒成立，
即
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立，又
，
所以
，
所以
，
原式得证.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．求证：
(1)
（
）；
(2)
；
(3)
（
）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数
（
），证明并利用其单调性，结合
即得；
（2）构造函数
，利用导数求出其最大值推理即得；
（3）构造函数
（
），利用导数得到该函数的图象特征，求出其最大值即可得证.
【详解】（1）要证
，只需证
，
令
（
），
，
故
在
上单调递减，由于
，因
，
故
，则有
（
）.
（2）令
，
，
当
时，
；当
时，
，
可知
在
上单调递增；在
上单调递减，所以
，
故
，从而
成立.
（3）令
（
），
，由
解得：
，
，
令
，得
，令
，得
或
故
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
由于
，
则有
对
恒成立，故得：
（
）．
2．（2025·四川·三模）已知函数
．
(1)若
，试判断函数
在区间
内的极值点个数，并说明理由；
(2)当
，
时，求证：
．（参考数据：
）
【答案】(1) 个，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二次函数的单调性判断出函数
在区间
内的单调性，结合零点存在定理可得结
论；
（2）
，其中
，利用导数分析函数
的单调性，证得
即可证得结
论成立.
【详解】（1）因为
，则
，
所以，函数
在区间
上单调递增，
因为
，则
，
，则
，
由零点存在定理可知，存在
，使得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
故函数函数
在区间
内的极值点个数为.
（2）当
，
时，
，
构造函数
，其中
，
则
，
令
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，
故当
时，
，即
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
，即
，
故
，
时，
.
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求证：对任意的
，
恒成立；
【答案】(1)函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的符号求函数
的单调区间；
（2）分析可知原题意等价于
，构建
，利用导数分
析最值证明不等式即可.
【详解】（1）当
时，
，则
．
令
，得
；令
，得
．
所以函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
．
（2）证明：当
时，
．
要证
，即证
．
构建
，则
．
构建
，则
．
所以函数
在
上单调递增，则
，即
，
可知函数
在
上单调递增，
则
，即
．
4．（24-25 高三下·湖北·月考）已知
.
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
的图像在
处的切线为
，求a 与b 的值，并证明
时，
.
【答案】(1)
(2)
，
.证明见解析
【分析】（1）
递增则
，分离出
，设
求导判断单调性，根据单调性求
范围得
范
围.
（2）先根据条件确定
、
值，再证
时
.先构造
，通过多次求导判断单调性，
证
. 再构造
，求导判断单调性，证
，结合两式得结论.
【详解】（1）因为
在
上单调递增，所以其导数
恒成立，即
.
设
，对
求导得
.
在
上，
，所以
，
单调递减.
则
，所以
.
（2）由
得
，由
得
，则
.
要证
时，
.
先证
.设
，求导
，
令
，
.
当
时，
，
，
，
递增，
，
递增，
，
所以
.
再证
.设
，求导
.
时，
；
时，
，
在
递减，
递增，
，所以
.
由上述两个结论可得
.原命题得证.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可,
（2）由（1）可得
，再作商构造函数，利用导数求出最大值小于1 即可得证.
【详解】（1）函数
定义域为
，
不等式
，
令函数
，依题意，
对
恒成立，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
（2）由（1）知，当
时，不等式
恒成立，则
恒成立，
因此
，令函数
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
所以当
时，
.
6．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分
和
讨论导函数的符号，判断函数的单调性.
（2）利用（1）的结论，求函数
的最小值即可.
（3）引入函数
，分别证明
（
）和
（
）即可.
【详解】（1）因为
，
.
若
，则
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增；
若
，由
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上可得：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）得，欲使
恒成立，须有
，且
.
由
.
所以
的取值范围为：
.
（3）当
时，
.
设
（
），则
，因为
，所以
.
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
在
上恒成立.
设
（
），则
.
由
；由
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，所以
即
在
上恒成立.
所以
在
上恒成立.
故原不等式成立.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
，
．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率
，再确定切点纵坐标
，从而得切线方程.
（2）构造函数
求导确定单调性即可得
，再设
，求导确定
单调性，从而可得
，结合指数与对数运算即可证得结论.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）设
，求导得
，
函数
在
上单调递减，
恒成立，即
，因此
，
设
，求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，则
，即
，
所以
，即
.
8．已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
且
时，求证
．
【答案】(1)极小值
，无极大值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数
的导数，分类讨论求出函数的单调区间.
（3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
时，
，
时，
，
所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）当
时，
，不等式
，
令函数
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
而
，则存在
，使
，即
，
此时
，
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，
所以当
时，
.
9．已知函数
，m，
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，讨论
的单调性；
(3)当
时，证明：
，
．
【答案】(1)0(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；
（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证
不等式
等价转化为
，设
，依题意，只需证在
时，
成立，分别求
即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
由
，可得
或
，由
，可得
，
即
在
和
上单调递增；在
上单调递减，
时，
，
时，
，故
时，
取得极小值也即最小值，为
.
（2）当
时，
，函数的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，故
在
上为增函数；当
时，由
，可得
，
故当
或
时，
；即
在
和
上单调递增；
当
时，
，即
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上为增函数；当
时，
在
和
上单调递增,
在
上单调递减.
（3）当
时，
,
要证
，
，只需证
，
即证
在
上恒成立.
设
，依题意，只需证在
时，
.
因
，
，由
，可得
，由
，可得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增,
则
在
时取得极小值也是最小值，为
；
因
，
，由
，可得
，
由
，可得
，由
，可得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
时取得极大值也是最大值，为
.
因
，即
在
上成立，故得证.
即
，
．
10．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
切线斜率的最小值；
(2)若
有两个不同的极值点
，
．
（i）求a 的取值范围；
（ii）求证：
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）代入
，求导
，然后继续求导判断；
（2）（i）对
求二阶导，分
，
，
讨论判断；（ii）依据题意得到
，代入
，对证明的式子两边取自然对化简为
，然后换元
，求导即可.
【详解】（1）当
时，
，
．
令
，则
，
令
，解得
．
当
时，
，
单减；当
时，
，
单增．
所以，当
时，
取得极小值也是最小值
，
所以，曲线
切线斜率的最小值为
．
（2）（i）
，则
，
若
有两个不同的极值点，则
在
上存在两个变号零点．
令
．
当
时，
，
单增，此时
至多存在一个零点，舍去．
当
时，
．当
时，
，
单增，当
时，
，
单减．所以，当
时，
取极大值
．
令
，则
，所以
时，
，
单减，
当
时，
单增，所以
存在极小值也是最小值
．
所以，对
，恒有
的极大值
．
当
时，
，
的图象在
连续不断，
由零点存在定理，存在
，使得
．当
时，
，
同理，存在
，使得
．
所以，对
，
在
上存在两个不同的变号零点．
综上，a 的取值范围为
．
（ii）不妨设
，
是
的两个零点，且
，
则
，
，
两式相减得：
，两式相加得：
，
于是要证
，只需证
，只需证
，
即证
，即证
（*）．
事实上，令
，
，
，
所以
，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立．
11．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
对于
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
在
单调递减；
在
单调递增
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，分类讨论导数符号即可得解；
（2）只需证明当
时，
，构造函数
，利用导数证明即可；
（3）由题意
，对于
恒成立，求导分类讨论函数单调性、最值即可得解.
【详解】（1）
，
当
时，
，
在
单调递减；当
时，
，
在
单调
递增．
综上，
在
单调递减；
在
单调递增．
（2）要证
，只需证当
时，
．
令
，则
．
当
时，
，则
在
单调递减，
当
时，
，则
在
单调递增，
所以
，故
，
因此
．
（3）令
，
，
令
，则
．
①当
时，由
，得
，
，因此
，满足题意．
②当
时，由
，得
，
，
因此
，则
在
上单调递增，
若
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，满足题意；
若
，则
，
，
因此
在
存在唯一的零点
，
且
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
所以
，不合题意．
综上，
的取值范围为
．
12．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)解方程
，其中e 为自然对数的底（
…）；
(3)若a，b 为均大于1 的不等实数，满足
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，按照
和
分类讨论，解不等式即可求得单调区间.
（2）由
得
，当
时，
，利用导数判断函数单调性，求出最大值，进而求解
方程.
（3）由题意得
，由已知可得
，设
，则
，
故
，要证
，即证
，令
，利用导数的
单调性证明可得.
【详解】（1）对于
，则
，
.
当
时，令
得
，所以
，
令
得
，所以
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，令
得
，所以
，
令
得
，所以
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减；
（2）因为
，所以
，即
，
由（1）可知，当
时，
，
，
.
当
时，即
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，即
时，
，此时
在
上单调递减；
故函数在
处取到极大值，即最大值，为
.
所以方程
有唯一解，即方程
的解为；
（3）由
得
，即
，
因为a，b 为均大于1 的不等实数，且函数
在
上递增，在
上递减，
不妨设
，由
可得
，
设
，则
则
，即
，
则
，
故要证
，只需证
，即证
，故需证
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
，所以
，
所以
13．（2025·河南·三模）已知函数
，设
的图象在
处的切线为l：
．
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
有三个零点
，
，
（
）．
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程，构造
，利用导数求解最值即可证明不等式.
（2）（i）先确定
有零点
，然后分
和
两种情况讨论，利用导数研究其单调性，结合零
点个数求解参数范围；
（ii）由（i）得
，根据（1）的结论得
，结合
即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
．
对
求导得
，则
．
所以切线l 的方程为
，即
，
令
．
对
求导得
．
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．
所以
，即
，所以当
时，
．
（2）（i）
，显然有
，
，
．
①若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
在
上只有一个零点
，不符合题意；
②若
，令
得
，记其两根分别为
，
则
，
，所以
，
由
得，
或
，由
得，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
，
，
当x 无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于正无穷大，
所以
在
上有唯一零点，为
，
又
，且
，
所以
在
上只有一个零点
，从而
，所以
．
（ii）由（i）知
，且
，所以
，
由（1）知，当
时，
，所以
，
整理得
，
又
，所以
，得证．
14．已知函数
，数列
满足
正整数
(1)求
的最大值；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
【答案】(1)最大值为0；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值；
（2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可；
（3）
，所以
，得
，适当放缩后，再累加即可.
【详解】（1）因为
的定义域为
，所以
当
时，
，
在
上递增，
当
时，
，
在
上递减，
所以
在
时有最大值，所以
，即
的最大值为0；
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
，
，
累加得
，即
.
（3）因为
，所以
，得
，
，
，
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
，
，
所以
，
，
所以
得证．
【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论
，
得到
，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用
，两边平方，得到
，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题.
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数
是
的一个极值点.
(1)求实数
的值.
(2)判断函数
在
上的零点个数，并加以证明.
(3)证明:
. 其中
【答案】(1)
；
(2)
在
上存在唯一零点．证明见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（1）求得
，则极值点导数值为0 求得
值并检验极值点；
（2）由（1）的讨论及检验过程得
在
上无零点，利用导数确定
在
上存在零点
，
然后证明
在
上无零点，结合零点存在定理证明
在
上有唯一零点，在
上零点，从而得结论；
（3）在（2）中讲明中得出
在
上递增，证明
，然后令
，
利用放缩法得
，再结合累加法可得证不等式左边，结合
，然后同样令
后放缩累加证明右边成立．
【详解】（1）由
得
，
因为1 是
的一个极值点，所以
，解得
，
时，
，
当
时，
是增函数，则
，所以
在
上递减，
时，设
，则
，
而
在
上是减函数，且
，
，
因此存在
，使得
，且当
时，
，所以
，即
递增，又
，所以
时，
，从而
在
上递增，
所以
是
的极小值点，
故
；
（2）
在
上存在唯一零点．证明如下：
，
，
由（1）知
在
让单调递减，
，
无零点，
在
上递增，
，
无零点，
，
又
，
，
所以存在
，使得
，
在
上
，
递增，从而
，
无零点，
上，
，
递减，
，
无零点，
综上
在
上无零点，
当
时，
，
单调递减，
又
，
由零点存在定理，
在
上有唯一零点，
时，
，此时
零点，
综上所述，
在
上存在唯一零点．
（3）
，由（2）中
在
上的单调性的分析知
，所以
在
上单调递增，所以对任意
，
，即
，所以
，
令
，
得
，
所以
，
令
，则
，所以
递减，
所以
，即
，
，
所以
，
时，
，
所以
，
综上，
. 其中
．
【点睛】关键点点睛：第（3）小题中关键在于由（2）的证明中得出
在
上递增，从而证明
，然后令
，利用放缩法得
，再结合累加法可得证不等
式左边，同理引入函数
证得
，然后同样令
后放缩累加证明右边成立．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，且
与
有相同的最小值．
（i）求a 的值；
（ii）已知
，
，且
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案；
（2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与
函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最
值，再根据不等式性质，可得答案.
【详解】（1）依题意
，
当
时，
，
在
上单调递增．
当
时，令
得，
，即
．
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）（i）由（1）知，当
时，
时
取得最小值
．
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以，当
时
取得极小值即最小值
．
由题意可知，
，即
，
令
，则
，
令
，
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
取得最小值
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单增，
又
，所以
；
（ii）因为
，所以
，
即
．
令
，则
，
可知
在
时取得最大值0，所以
，即
，
所以
，当且仅当
时，“＝”成立．
令
，则
，当
时，
，
单调递减．
所以，当
时，
，
，
由
，得
．
当
时，显然
，
综上，
，即
．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
有三个极值点
，其中
.
(1)求
的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为
有两个不等实根，令
，根据
导数的正负判断函数的单调性，进而求解；
（2）根据题意，
是
的两个根，将问题等价转化为证明
，令
，利用函数的单调性进而求证；
（3）根据题意可得
，将要问题等价转化为
，令
，利用导数与函数的单调性得到
，令
，
，根据函数的单调性进而求证.
【详解】（1）
有两个不等根
令
，则
在
单调递增，
上单调递减，且
.
（2）由（1）知，
是
的两个根
先证
令
，
则
在
上单调递增
又
得证
（3）因为
，所以
，
，所以
要证
，即证：
，
又因为
，即证：
.
令
，
所以
单调递减，
单调递增，
，即
.令
，
时，
单调递减，
所以
所以
，即
，
即
成立.
【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对
于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.
3．（2025·上海松江·二模）已知
.
(1)若
是函数
的一个极值点，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)已知实数
，若点
是曲线
上两点，直线AB 的斜率为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用
，得出
的值，再检验
是函数
的一个极值点，最后利用点斜式求
切线方程；
（2）求导，研究
的正负性，分
和
两种情况，再结合一元二次函数的图象研
究其正负性即可；
（3）化简
，再令
，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最
值.
【详解】（1）
的定义域为
，
由
，得
，
因为
是函数
的一个极值点，
所以
，即
，解得
，
则
，
，
则
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
是
的极小值点，
又
，
则切线方程为
，整理得
.
（2）
的定义域为
，
，
令
，其对称轴为
，
①当
，即
时，
，则
在
上单调递增；
②当
，即
或
时，
（i）当
时，
的两根为
，
且
，
则当
或
时，
，
；
当
时，
，
.
（ii）当
时，
的对称轴
，且
，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调
递减.
（3）已知
，则
，
则
，
则
，
要证
，即证
，
即证
，
令
，则只需证
，
先证
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
；
再证
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
.
综上，
得证.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
，且
.
(1)求
;
(2)已知
为函数
的导函数，证明：对任意的
，均有
；
(3)证明：对任意的
，均有
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数
，利用导数判断函数的单调性， 可得
，只需 满
足
，计算即可得解；
（2）先写出
，将不等式变形，通过换元
，构造函数
，利用导数证其单调性，从而推导不
等式成立；
（3）由（1）中
的结论，取
得到
，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂
项相消），证得结果.
【详解】（1）由
得
，
令
，则
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减，且
，不符题意；
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
令
，则
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
，又
，
所以
，解得
.
（2）由（1）知
，
，
要证
，即证
，
进一步变形为证
，即证
.
因为
，令
，则需证
（
），
即证
（
）
设
，
，
，
当
时，
，
在
单调递增，所以
，得证.
（3）由（1）知
，且
，
当
时，
，即
；
令
（
），则
.
要证
，即证
，
因为
，所以
，
而
，得证.
5．英国数学家泰勒是18 世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学
分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：
函数
的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：
，
，
为佩亚
诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
(1)若
，利用泰勒展开式证明：
；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由泰勒公式两边求导可得；
（2）解法一，构造函数
，求导分析单调性证明
可得；
解法二，构造函数
，求导分析单调性得到隐零点，然后再求最小值可得；
（3）先分离参数，构造函数
，求导，再对分子构造函数
求导分析单调性，结合对数的运算得
到隐零点，然后求
最小值可得.
【详解】（1）由
，两边求导得：
即
.
（2）解法1：由
知，对于
，
，
先证
时，
，
令
，则
，得
，
所以
时，
，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
则
，所以
，
则
，
解法2：设
，则
，
令
，则存在
使得
，即
，
则
时，
，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
所以
，所以
成立.
（3）当
时，不等式
恒成立，
即
，
设
，
则
，
再令
，则
，
所以
在
时单调递增，
又
，
，所以
在
存在零点．
又因为
，
而且
，
，可以设
使得
，
且
，
即
，使得
，
所以
时，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
，
所以
.
6．已知函数
．
(1)若函数
在
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若
存在三个极值点
，
，
，且
，求证
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】
对函数进行求导，结合
，求得
的值；
由
存在三个极值点，确定方程
有两个不相等的实数根，且都不是，令
，
求导分析单调性，确定
，分别求证
和
两部分成立.
【详解】（1）解：由
可知，函数
的定义域为
，
则
，且
，
解得
.
（2）解：
，因为
存在三个极值点，
所以方程
有两个不相等的实数根，且都不是.
所以令
，则
，
当
时，
，所以
单调递增，
至多有一个实数根，
所以
，令
，得
，令
，得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，
所以
.
因为
，
，
，
其中令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，所以
，
因为
，所以
，即
，所以
所以存在三个极值点
，其中
.
又因为
，
，则
，
，
即
，
设
代入上式得：
，即
，
.
要证
，即
，
只需证
，即证
.
令
，
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，得证；
要证
，即
，只需证
，
即证
，则证
，即
，
只需证
，
令
，
，
所以
，
所以
在
上单调递减，因为
，所以
，得证.
综上所述，若
存在三个极值点
，
，
，且
时，
．
【点睛】本题中进行恒等变形得到
，然后换元，令
，不等式转化为
是解题的关键，这类问题反复利用导数研究单调性，分步证明，综合性很强，属于难题.
