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专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造法...................................................2
题型二：倒数法...................................................5
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练............................8
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出{an+m}的通项，从而
求出数列{an}的通项公式.
标准模型：an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）或
（k , p为常数，kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如an+1=qa n+ p⋅qn+1(n∈N
¿)，可通过两边同除qn+1，将它转化为
an+1
qn+1= an
qn + p，从而构造数列
{
an
qn}为等差数列，先求出{
an
qn}的通项，便可求得{an}的通项公式.
（2）形如
，可通过两边同除qn+1，将它转化为
，换元令：
，则原式化为：
，先利用构造法类型1 求出
，再求出{an}的通项公式.
（3）形如an−an+1=ka n+1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an+1an，变形为
1
an+1
−1
an
=−k 的形式，从而
1
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构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，便可求得{an}的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如an+1=
qa n
pa n+q （p,q为常数，pq≠0）的数列，通过两边取“倒”，变形为
1
an+1
= 1
an
+ p
q ，即：1
an+1
−1
an
= p
q ，从而构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，即可求得an
.
类型2：形如
（
p,q
为常数，
，
，
）的数列，通过两边取“倒”，
变形为
，可通过换元：
，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
法”将原等式变形为an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出
{an+m}的通项，从而求出数列{an}的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
例题1．（2023 秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列
中，
，则数列
的通项
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解法一：在递推公式
的两边同时除以
，得
①，
令
，则①式变为
，即
，
所以数列
是等比数列，其首项为
，公比为
，
2
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所以
，即
，
所以
，
所以
，
解法二：设
，则
，
与
比较可得
，
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为2 的等比数列，
所以
，所以
，
故选：D
例题2．（多选）（2023 秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．数列
为等差数列
D．
为等比数列
【答案】ABC
【详解】由
得
，两式相减得
，
，
又当
时，
，则
，故
为首项是1，公差为
的等差数列，
即
.
显然A、C 正确；
，故B 正确；
由通项公式易得
，
，
，三者不成等比数列，故D 错误．
故选：ABC．
例题3．（2023 春·山东淄博·高二校考期中）已知
数列满足
，
，则数列
的通
项公式为
【答案】
【详解】由
得
，
3
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故
为等差数列，公差为1，首项为1，
所以
所以
.
故答案为：
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，则数列
的前
项和
为 ．
【答案】
【详解】解：因为
，
所以
，即
，即
，
所以
是以为首项，
为公差的等差数列，
所以
，所以
，则
，
令数列
的前
项和为
，
则
故答案为：
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，
，且
，求
.
【答案】
【详解】由
，得
，
所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列.
所以
，即
.
当
时，
，此式也满足
，
故
.
例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列
的前n 项和为
，
．
(1)求证数列
为等比数列，并求数列
的通项公式
．
4
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【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为
，所以当
时，
，解得
．
当
时，
，则
，
整理得
，故
，
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
．所以
例题7．（2023 秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：数列
是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由于
，故
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
，可得
，
所以数列
是一个首项为1，公比为2 的一个等比数列；
例题8．（2023 春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列
满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）数列
中，
，由
，可得
又
，则数列
是首项为1 公差为1 的等差数列，则
，
则数列
的通项公式为
题型二：倒数法
例题1．（多选）（2023 春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列
满足
，则
5
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（ ）
A．
为等比数列
B．
的通项公式为
C．
为单调递减数列
D．
的前n 项和
【答案】BCD
【详解】因为
，所以
是以1 为首项，3 为公差的等差数列，故选项A 错误；
，即
，故选项B 正确；
根据函数
在
上单调递增，且
，则函数
在
上单调递减，
又因为
，
，则数列
为单调递减数列，故选项C 正确；
的前
项和
，故选项D 正确,
故选：BCD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，则
．
【答案】
【详解】设
，令
得：
，解得：
；
，化简得，
，
所以
，从而
，
故
，
又
，所以
是首项和公差均为
的等差数列，
从而
，故
．
6
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故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式
，且首项
，求数列
的通
项公式．
【答案】
【详解】令
．先求出数列的不动点
，解得
．
将不动点
代入递推公式，得
，
整理得
，
，
∴
．
令
，则
，
．
∴数列
是以
为首项，以1 为公差的等差数列．
∴
的通项公式为
．
将
代入，得
．
∴
．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，求
的通项公式．
【答案】
．
【详解】由题意，
，
所以
，则
，而
，
故
是以
为首项，3 为公比的等比数列．
7
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于是
．
例题5．（2023 春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列
的首项
，
，
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
取倒得
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
是
，
的等比数列，
所以
．
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若
，
，
.
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：假设
，因
，
，则
，解得
或
，
于是得
或
，与题设
且
矛盾，故假设不成立，所以
成立.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列：
【答案】(1)证明见解析
8
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【详解】（1）证明：由
，可得
，
又
故数列
为等比数列.
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
一、单选题
1．（2023 春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列
满足
，则
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，而
，
故
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，即
.
故选：D
二、填空题
2．（2023 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列
满足
，
，则满足
的最小正整数
．
【答案】5
【详解】由
，解得
，
又
，所以
．
另一方面由
，可得
，
所以
是首项为
，公比为3 的等比数列，
所以
，易知
是递增数列，
又
，
，
所以满足
的最小正整数
．
9
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故答案为：5．
3．（2023·全国·高三对口高考）数列
中，
，
，则
．
【答案】
【详解】由
，
，可得
，
所以
，即
(定值)，
故数列
以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，
所以
，所以
．
故答案为：
．
4．（2023 春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列
中，
，
，则此数列
的通项公式
.
【答案】
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，则
.
故答案为：
5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足
，
，则数列{an}的通项公式为
.
【答案】
．
【详解】∵
，所以
，即
，
∴
是等差数列，而
，
所以
，
10
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所以
．
故答案为：
．
6．（2023·全国·高二专题练习）设
为数列
的前
项和，已知
，
，则
【答案】
【详解】
，
令
，
则
，
∴又
，
，
∴
；
故答案为：
；
三、解答题
7．（2023 秋·江苏·高二专题练习）已知数列
满足：
求通项
.
【答案】
【详解】取倒数：
，故
是等差数列，首项为
，公差为2，
，
∴
.
8．（2023 秋·江苏·高二专题练习）已知：
，
时，
，求
的通项公式．
【答案】
【详解】设
，所以
，
11
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∴
，解得：
，
又
，∴
是以3 为首项，
为公比的等比数列，
∴
，∴
．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，
.若
，求数列
的
通项公式.
【答案】
【详解】将
代入已知可得
.
因为
，所以
，
所以有
，所以
.
又
，
所以，数列
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以，
，
所以，
.
10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
中，
，求数列
的通项公
式；
【答案】
．
【详解】解：由
，
得：
，
∴
，
即数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
12
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∴
，
得
．
11．（2023 秋·江苏·高二专题练习）设
是数列
的前n 项和，且
，
．
(1)求
；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
两边同除以
得
，
因为
，所以
，
因此数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
，所以
.
12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
(1)试求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意
，两边同时除以
，将其变形为
，即
，
由等差数列的定义可知
是以首项为
、公差为
的等差数列，
所以
，即
.
13．（2023 春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列
的首项，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
，所以
，
13
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所以
，
所以数列
是以
为公比，
为首项的等比数列，
所以
，得
，
所以
，
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
，
，
．
(1)求证：数列
是等差数列．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
是首项为
，公差为
的等差数列；
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
.求数列
的通项公式；
【答案】
【详解】由
两边取倒数，得
，所以
，
又
，所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
所以
，即
，
14
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所以
.
16．（2023 春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列
中，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为
，令
，则
，又
，所以
.
对
两边同时除以
，得
，
又因为
，所以
是首项为，公差为
的等差数列，
所以
，故
；
四、双空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，若
，
，则
；若
，
，则
.
【答案】 85
【详解】解：因为
，当
，
时
，所以
，
，
；
当
，
时
，则
，又
，所
以
，即
故答案为：
；
；
15
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16
