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第 10 讲：第五章 平面向量及解三角形 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解....................................1
题型一：用基底表示向量.................................1
题型二：平面向量共线定理及推论.........................2
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示.................4
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）.................5
题型五：平面向量的模（含最值，范围）...................7
题型六：向量的夹角.....................................8
题型七：投影向量.......................................8
题型八：利用正、余弦定理解三角形......................10
题型九：三角形形状问题................................12
题型十：三角形个数问题................................13
题型十一：三角形周长（边长）问题......................14
题型十二：三角形面积问题..............................15
第二部分：新定义题.......................................17
第一部分：典型例题讲解
题型一：用基底表示向量
1．（22-23高一下·江西南昌·期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等
分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·全国·期中）在 中， ， ，若点 满足 ，以作为基底，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， 为 的中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形 的边长为2， 为 的中心，
，垂足为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）设 为 所在平面内一点， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
题型二：平面向量共线定理及推论
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知 是不共线的向量，且
，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线C． 三点共线
D． 三点共线
2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知 是不共线的向量，且
，若 三点共线，则 （ ）A． B．1 C．2 D．4
3．（2024·陕西西安·一模）在 中，点 是线段 上一点，点 是线段 上一点，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）在 中， 为线段 上一
点，且有 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
5．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在 中， ， 为线段 上
的动点， 与 相交于点 ，设 ， ，则 的最小值为
．
6．（23-24高一下·全国·期末）如图，在梯形 中， ，点 是 的中点，点
在线段 上，若 ，则 的值为 .
7．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，在 中，点 为 边上一点，且
，过点 的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ ，
交两点不重合）.若 ， ，则 的最小值为 .8．（2024高一下·上海·专题练习）如图，在 中，点 为 上一点，且
．
(1)请用向量 表示向量 ；
(2)过点 的直线 与 ， 所在直线分别交于点 ， ，且满足 ，
，求证： ．
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示
1．（2024·四川南充·二模）已知平面向量 ， ，若向量 与 共线，
则 （ ）
A．－2 B． C．2 D．5
2．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知 ， 不共线，向量 ，
，且 ，则 ．4．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知 ， 是两个不共线的向量， ，
，若 与 共线，则 ．
5．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）（1）化简： ；
（2）设 是不共线的两个向量.若 与 共线，求实数k的值.
6．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知向量 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
7．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）已知向量 .
(1)当 为何值时， 与 垂直?
(2)当 为何值时， 与 平行?
8．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知 .
(1)求 与 夹角的余弦值；
(2)若 ，求实数 的值.
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）
1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形 中， ，点 是内一动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）在 中，满足 ， ，
，则 （ ）
A．49 B．0 C．576 D．168
3．（2024·湖南邵阳·二模）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，
如图所示， .点 在线段 与线段 上运动，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形 中， ， ， 分别是
， 的中点，则 ．
5．（2023·陕西西安·模拟预测）圆 是锐角 的外接圆， ，则 的
取值范围是 ．
6．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ， ，
， ， ．若P为线段AB上一动点，则 的最小值为
．
7．（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中， ，若点M在线段AD上运动，则 的取值范围为 ．
8．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形 中，点 是 的中点， 是
上靠近点 的三等分点.
(1)设 ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
题型五：平面向量的模（含最值，范围）
1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量 ， ，若向量 在向量 上的
投影向量 ，则 （ ）
A．7 B． C． D．
2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量 满足 ，且
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量 满足 ，
，则 的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量 ， 夹角为 ， ，若对任意
，恒有 ，则函数 的最小值为 ．
5．（2022高一·全国·专题练习）已知向量 ， ， 满足： ， 且
，则 的取值范围是 ．
6．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）已知向量 满足 ．(1)求向量 与 夹角的余弦值；
(2)求 的值．
7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在直角梯形 中，已知 ，
， ，动点 、 分别在线段 和 上，且 ， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)求向量 的夹角；
(3)求 的取值范围．
8．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，
， ．
(1)求 与 夹角；
(2)若 与 垂直，求点 的坐标；(3)求 的取值范围．
题型六：向量的夹角
1．（2024·陕西商洛·三模）已知非零向量 满足 ，则
（ ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知平面向量 满足 ，则 与 夹
角的大小为 .
3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求向量 与 的夹角．
4．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知向量 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 与 的夹角的余弦值．
5．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，且 ， ， 与 交于点 .(1)用 ， 表示 ， ；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
6．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在边长为4的等边 中， ，D为
边AC的中点，BD与AM交于点N．
(1)求证： ；
(2)求 的值．
题型七：投影向量
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知 的外接圆圆心为 ，且
， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为
（ ）A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知 ， ，则 在 的方向上的投
影向量是 ．(结果写坐标)
4．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知向量 满足 ，则向量 在 上
的投影向量为 .
5．（23-24高三下·福建泉州·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 在
上的投影向量为
题型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，平面四边形 的对角线交点位于四边
形的内部， ， ， ， ，当 变化时，对角线 的最
大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
2．（2024·陕西西安·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
的面积 ， （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， ，
， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．44．（2024高三·全国·专题练习） 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则角
5．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，满足
外接圆的半径为 ，则 ．
6．（2024高三·上海·专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， ，则当 取得最大值时， .
7．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在锐角 中，内角 的对边分别为
，且 .
(1)求 ；
(2)若 是边 上一点（不包括端点），且 ，求 的取值范围.
8．（2024·广东佛山·二模）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，点 在
边 上，且满足 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
题型九：三角形形状问题
1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知 的三内角 所对的边分别是
，设向量 ，若 ，则 的形状是（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．（23-24高一下·山东·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，设 的面积为 ，若 ，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，下列
四个命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 有一解
B．若 ，则 一定是锐角三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是等腰三角形
5．（多选）（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知 的内角 、 、 所对的边分
别为 、 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是钝角三角形
B．若 ，则
C．若 ，则 是锐角三角形
D．若 ，则 一定为锐角三角形
6．（多选）（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 为锐角三角形
C．若 ，则 一定是等边三角形
D．若 ，则 是等腰三角形
题型十：三角形个数问题
1．（多选）（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在 中，角 的对边分别为，且已知 ，则（ ）
A．若 ，且 有两解，则 的取值范围是
B．若 ，且 恰有一解，则 的取值范围是
C．若 ，且 为钝角三角形，则 的取值范围是
D．若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围是
2．（多选）（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在 中， ， ，
（a为常数），若满足条件的三角形有且仅有两个，则a的取值可能为（ ）
A．7 B．14 C．15 D．16
3．（多选）（23-24高一下·重庆·阶段练习）满足下列条件的三角形有两个解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）在 中，角 所对的边分别为 ，那
么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在 中， ， ，要使 被唯一确
定，那么 的取值范围是 .
6．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填
序号）；
① ， ， ，有两解；
② ， ， ，有一解；
③ ， ， ，无解；
④ ， ， ，有一解．
题型十一：三角形周长（边长）问题
1．（2024·四川绵阳·一模） 中，角 、 、 的对边分别为a、b、c，若
，则 的周长为 ．2．（2024高三·广东·专题练习）已知 是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别
为a，b，c．若 ，则 的取值范围是 .
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）锐角 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，
满足 ，则 的取值范围为 ．
4．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）已知 的内角A、B、C对的边分别为a，b，
c， ，D为边AC上一点，满足 且 ，则 的最小
值为 ．
5．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值．
6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ， ，
，函数 ，且 在区间 上的最大值为 .
(1)求m的值；
(2)锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，求
的周长l的取值范围.
7．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为
，若 为 边上一点，满足 ，且 .(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
8．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知
．
(1)求函数 图象的对称轴方程；
(2)设 的内角 所对的边分别为 ，若 且 ，求 周长的
取值范围．
题型十二：三角形面积问题
1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形 的三边上各取一点 ， ， ，满
足 ， ， ，则三角形 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角 中， 、 、 分别是角 、 、
所对的边，已知 且 ，则锐角 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 ，若 ，则 面积S的取值范围 .
4．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知 中， 在线段 上，
．(1)若 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值．
5．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分
别为 ， ， ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值.
6．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习） 内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2) 是边 上一点，且 ，求 面积的最大值．
7．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点
O为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，已知
， .
(1)在① ；② ；③ 中选一个作
为条件，判断 是否存在，若存在，求出 的周长，若不存在，说明理由.（注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若 为锐角三角形，求 面积的取值范围.第二部分：新定义题
1．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）设平面内两个非零向量 的夹角为 ，定义一种
运算“ ”： ．试求解下列问题，
(1)已知向量 满足 ，求 的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点 ，求 的值；
(3)已知向量 ，求 的最小值.
2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知O为坐标原点，对于函数 ，
称向量 为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
(1)记向量 的相伴函数为 ，若当 且 时，求 的值；
(2)设 ，试求函数 的相伴特征向量 ，并
求出与 共线的单位向量；(3)已知 ， ， 为函数 的相伴特征向
量， ，请问在 的图象上是否存在一点 ，使得 ?若存
在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由.
3．（23-24高一下·上海·阶段练习）对于一组向量 ， ， ，…， ，（ 且
），令 ，如果存在 ，使得 ，那么称
是该向量组的“长向量”．
(1)设 ， 且 ，若 是向量组 ， ， 的“长向量”，求实数x
的取值范围；
(2)若 ， 且 ，向量组 ， ， ，…， 是否存在“长向
量”?给出你的结论并说明理由；
(3)已知 ， ， 均是向量组 ， ， 的“长向量”，其中 ，
．设在平面直角坐标系中有一点列 ， ， ，…， 满足， 为坐
标原点， 为 的位置向量的终点，且 与 关于点 对称， 与 （ 且
）关于点 对称，求 的最小值．
4．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）n个有次序的实数 ， ，…， 所组成的有序数
组 称为一个n维向量，其中 称为该向量的第i个分量.特别地，
对一个n维向量 ，若 ，称 为n维信号向量.设
， ，则 和 的内积定义为 ，且
.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量 ， ，…， 满足它们的前m个分量都是相同
的，求证： .
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃
尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形
的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于 时，所求的点
为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角形有一
内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费
马点．已知a，b，c分别是 三个内角A，B，C的对边，且 ，点
为 的费马点．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的取值范围．
6．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）定义非零向量 若函数解析式满足
，则称 为向量 的“ 伴生函数”，向量 为函数
的“源向量”．
(1)已知向量 为函数 的“源向量”，若方程 在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
(2)已知点 满足 ，向量 的“ 伴生函数” 在
时取得最大值，当点 运动时，求 的取值范围；
(3)已知向量 的“ 伴生函数” 在 时的取值为 ．若在三角形 中，
， ，若点 为该三角形的外心，求 的最大值.
