文档文本内容
专题04 函数零点核心突破：根分布与同构思维精析
一、考点总结与提升
1.核心思想：
函数的零点、函数的图象与
轴的交点、对应方程的根的关系：
上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数
图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决.
2. 一元二次方程根的分布
对一元二次方程
（其中
）和二次函数
，有：
（1）方程
的
个根都比
小的充要条件是
（2）方程
的
个根都比
大的充要条件是
（3） 方程
的一根都在
内，另一根在
内的充要条件是
（4）方程
的
个根都在
内的充要条件是
1
（5）方程
的一根比
大，一根比
大，一根比
小的充要条件是
.
（6）方程
的
个根都在
外，且一根比
小，另一根比
大的充要条件是
3.函数同构
函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数的特征（如
在
上单调递增）。
核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型
、
、对数型
、
、混合型
及其单调性、最值性质。
二．典例分析
核心考点01 求解函数的零点或者零点个数
例1．已知函数
则函数
的零点为（ ）
A．
B．
C．
D．1
例2．已知
是函数
的零点，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
例3．函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
核心考点02.零点存在性定理与应用
例4．函数
的零点所在的大致区间是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
例5．已知函数
则
的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3 D．4
核心考点03.求解（判断）函数的零点个数
基本步骤：
（1）先思考能否直接求解出函数的零点
（2）再思考能否利用零点存在性定理找出变号零点
（3）思考直接画出函数图像找出与
轴交点个数，或者将函数的解析式转化成两个可以画图的函数图像
交点个数.
（4）.注意下面两类复合方程的求解技巧
（i）已知函数
，且知一元二次型方程
根的个数，求参数的取
值范围.
（ii）求解复合函数
零点问题的技巧:
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出
的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于
的方程
中
解的个数，再根据个
数与
的图像特点,分配每个函数值
被几个
所对应,从而确定
的取值范围,进而决定参数的
范围.
例6．设函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
的零点个数是
_________．
3
例7．函数
的零点的个数为___________
例8．设函数
，若关于
的方程
的解的个数是_______
例9．已知函数
，则方程
有__________个不同的实数根．
核心考点0 4.已知函数零点个数求参数
例10．已知函数
若函数
有3 个零点，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例11.已知函数
，令
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的单调递增区间为
B．当
时，
有3 个零点
C．当
时，
的所有零点之和为-1
D．当
时，
有1 个零点
核心考点05.一元二次方程根的分布
例12．方程
的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
例13．已知关于
的方程
，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当
时，方程的两个实数根之和为0
核心考点0 6.利用二分法求解方程的近似解
例14．用二分法研究函数
的零点时，通过计算得：
，
，则下一步应考
察的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．在用二分法求方程
在
上的近似解时，构造函数
，依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例16．已知函数
有零点，但不能用二分法求解，则实数c 的值是_________．
核心考点07 同构解决零点问题
例17 已知
是方程
的实根，则关于实数
的判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
例18 若正实数
是方程
的根，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
例19 已知
是方程
的实根，则关于实数
的判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例20 已知函数
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、高考练场
1．（多选题）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的可能取值是（ ）
A．0
B．1 C．2 D．3
2．已知函数
．若函数
有零点，则实数
的取值范围是________．
3．若直线
与函数
的图象恰有四个公共点，则实数
的取值范围是______．
4.已知函数
，若函数
恰有一个零点，求实数
的取值范围．
5．已知
，则函数
的零点个数是_________.
6．函数
的零点个数为__________.
7．已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数b 的取值范围为
6
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，
，若
存在2 个零点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若函数
有两个零点
，
，且
，
，则实数
的取值范围为________.
10．已知函数
，若函数
恰有5 个零点，则m 的值可以是
（ ）
A．0
B．1 C．
D．2
11.函数
，方程
有6 个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.已知函数
=
则关于x 的方程
的解的个数的所有可能值为
（ ）
A．3 或4 或6
B．1 或3
C．4 或6
D．3
13．（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
只有两个极值点
B．方程
有且只有两个实根，则
的取值范围为
C．方程
共有4 个根
7
D．若
，
，则的最大值为2
14 已知实数
，
满足
，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
8
