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专题04 幂函数、指数函数和对数函数(讲义)
一、幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为y
＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
二、指数运算与指数函数
Ⅰ.根式
1.如果xn＝a，那么叫做a 的n 次方根；
2.式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数；
3.()n＝．当n 为奇数时，＝；当n 为偶数时，＝|a|＝
Ⅱ.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
0
③的分数指数幂：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
Ⅲ．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
1
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函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R，a 是底数．
温馨提示：形如y＝kax，y＝ax＋kk R
∈
且k≠0，a>0 且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0 时，恒有y>1；当x<0 时，恒有0<y<1
当x>0 时，恒有0<y<1；当x<0 时，恒有y>1
在定义域R 上为增函数
在定义域R 上为减函数
注意
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a 的取值有关，应分a>1 与0<a<1 来研究
温馨提示：
1. 指数幂运算原则
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2. 指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
2.有关指数函数图象问题的解题思路
2
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(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1 与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
三、对数运算与对数函数
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果
且
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，
读作以
为底
的对数，其中
叫做对数的底数，
叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以
且
为底，记为
，读作以
为底
的对数；
②常用对数：以
为底，记为
；
③自然对数：以为底，记为
；
(3) 对数的性质和运算法则：
①
；
；其中
且
； ②
(其中
且
，
)；
③对数换底公式：
； ④
；
⑤
； ⑥
，
；
⑦
和
； ⑧
；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数
且
叫做对数函数．
对数函数的图象
3
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图象
性质
定义域：
值域：
过定点
，即
时，
在
上增函数
在
上是减函数
当
时，
，当
时，
当
时，
，当
时，
温馨提示：
在同一坐标系内，当
时，随
的增大，对数函数的图象愈靠近
轴；当
时，对数函数的图象
随
的增大而远离
轴．(见下图)
四、双勾函数：形如
（ab≠0）函数，不属于基本初等函数，所以单调性用于解答题时应予
以证明。双勾函数在各种情况下的图像：
渐近线y 轴和y=ax（a≠0）
性质：
函数
参数范围
单调递增区间
单调递减区间
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
y
x
1
1
a增大
a增大
x
x
x
x
a4
a3
a2
a1
log
log
log
log
O
4
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a>0,b>0
a≥0,b<0
(-00,0)和(0,+00)
无
a<0,b<0
a≤0,b>0
无
(-00,0)和(0,+00)
五、由具体函数抽象出来的函数性质的特征表达式：
(1)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y) 或f(nx)=nf(x)(n N*);
∈
(2)幂函数：f(x·y)=f(x)·f(y)或
或f(x")=f"(x)(n N*);
∈
(3)指数函数：f(x+y)=f(x)·f(y)或
或f(nx)=f"(x)(n N“);
∈
(4)对数函数：f(x·y)=f(x)+f(y) 或
或f(x")=nf(x)(n N*)
∈
5
