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重难点04 二次函数解答题
北京中考数学中，二次函数通常以综合题的形式出现，尤其是在试卷的倒数第三题或压轴题中。这类题目
不仅考查二次函数的基本知识（如开口方向、对称轴、顶点坐标等），还结合几何图形或其他数学知识进
行综合分析，要求学生具备较强的数形结合能力和逻辑推理能力。例如，2021 年北京中考第26 题就涉及二
次函数的对称性和单调性，并结合几何图形进行分析。北京中考二次函数题目不仅考查学生对基础知识的
掌握，还注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，2024 年北京中考第26 题要求学生综合运用
二次函数的知识解决实际问题，并通过分类讨论的方法得出结论。这种题目设计旨在培养学生的逻辑推理
能力和问题解决能力。
【题型1 求对称轴】
考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的
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关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。
1．（2024 年北京市陈经纶中学中考一模）在平面直角坐标系O
x y 中，已知抛物线
2
2
(
)
2
3
0
y
ax
a x
a
=
-
-
¹
(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；
(2)若
1
a = ，当2
3
x
- <
<
时，求y 的取值范围；
(3)已知
1
2
1,
A
a
y
-
，
2
,
B a y
，
3
2,
C a
y
+
为该抛物线上的点，若
1
3
3
2
0
y
y
y
y
-
-
>
，求a 的取值范围．
【答案】(1)直线x
a
=
(2) 4
5
y
- £
<
(3)
1
a < - 或
3
a >
【详解】（1）解：∵
2
2
2
3
y
ax
a x
=
-
- ，
∴
2
2
2
a
x
a
a
-
= -
=
，
∴该抛物线的对称轴为直线x
a
=
；
（2）解：当
1
a = 时，
2
=
2
3
y x
x
-
-
，对称轴为直线
1
x = ，图象开口向上，
∴当
1
x = 时，
min
4
y
= - ；
当
2
x = - 时，
5
y =
；当
3
x =
时，
0
y =
；
∵5
0
>
，
∴
max
5
y
=
，
∴当2
3
x
- <
<
时，y 的取值范围为4
5
y
- £
<
；
（3）解：∵
1
3
3
2
0
y
y
y
y
-
-
>
，
∴当
1
3
y
y
>
时，
3
2
y
y
>
，即
1
3
2
y
y
y
>
>
，
∵对称轴为直线x
a
=
，
∴
0
a >
，且
2
2
1
a
a
a
a
+
-
<
-
-
，
解得，
3
a >
；
当
1
3
y
y
<
时，
3
2
<
y
y ，即
1
3
2
y
y
y
<
<
，
∵对称轴为直线x
a
=
，
∴
0
a <
，且
2
2
1
a
a
a
a
+
-
<
-
-
，
解得，
1
a < - ，
综上所述，
1
a < - 或
3
a >
．
2．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
1
(
)
M x
y
，
，
2
2
(
)
N x
y
，
是抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
=
-
+
-
上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；
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(2)若
2
1
(
0)
x
x
n n
=
+
>
，点M
N
、
中至少有一个点位于x 轴的上方，直接写出n 的范围；
(3)若对于
1
2
1
2
2
x
x
m
-
=
+
＜＜,
时，都有
1
2
y
y
<
，求m 的取值范围．
【答案】(1) x
m
=
；
(2)
2
n >
；
(3)0
1
m
£
£ ．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
1=
1
y
x
mx
m
x
m
=
-
+
-
-
-
Q
，
抛物线的对称轴为x
m
=
，
（2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为
1
m -
，
，
令
0
y =
，得到
1
x
m
=
- 或
1
x
m
=
+ ，
∴抛物线与x 轴的两个交点为
1 0 ,
1 0
A m
B m
-
+
，
，，
2
AB =
，
\若点M
N
、
中至少有一个点位于x 轴的上方
只需
2
n >
；
（3）∵抛物线的对称轴为x
m
=
，
∴
2
2,
m
y
+
点一定位于对称轴的右侧，
它的对称点为
2
2,
m
y
-
，
又∵对于
1
2
1
2
2
x
x
m
-
=
+
＜＜,
时，都有
1
2
y
y
<
，
∴
2
1
2
2
m
m
-
£ -
ì
í
+
³
î
，
解得0
1
m
£
£ ．
3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上任意两点，其中
1
2
x
x
<
．
(1)若抛物线经过点
4,c ，
①求抛物线的对称轴；
②当
1
2
4
x
x
+
>
时，比较
1y ，
2y 的大小，并说明理由；
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(2)设抛物线的对称轴为直线x
t
= ，若存在实数m，当t
m
£
时，
1x
m
=
，
2
1
x
m
=
+ ，都有
1
2
2
y
y
-
³
，直接
写出a 的取值范围．
【答案】(1)①
2
x =
；②
1
2
y
y
<
，理由见解析
(2)
2
a ³
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点
4,c 和点
0,c ，
∴抛物线的对称轴是：直线
4
0
2
2
x
+
=
=
，
②
1
2
y
y
<
，理由如下：
∵
0
a >
，
∴离对称轴越近，函数值越小，
∵
1
2
x
x
<
，
1
2
4
x
x
+
>
，
∴
2
1
2
2
4
x
x
x
>
+
>
，
∴
2
2
x >
，
当
2
1
2
x
x
>
³
时，
2
1
2
2
x
x
-
>
-
，
即点
1
1
,
M x y
比点
2
2
,
N x
y
离对称轴更近，
∴
1
2
y
y
<
，
当
2
1
2
x
x
>
>
时，
∵
1
2
4
x
x
+
>
∴
2
1
2
2
x
x
-
>
-
，
即点
1
1
,
M x y
比点
2
2
,
N x
y
离对称轴更近，
∴
1
2
y
y
<
，
综上所述：
1
2
y
y
<
．
（2）∵
1
t
m
m
£
<
+ 即
1
2
t
x
x
£
<
，开口向上，
∴
1
2
y
y
<
，
∴
1
2
2
1
y
y
y
y
-
=
-
2
2
2
2
1
1
ax
bx
c
ax
bx
c
=
+
+
-
+
+
2
2
1
1
a m
b m
c
am
bm
c
=
+
+
+
+ -
+
+
2
2
1
1
a m
am
b m
bm
c
c
=
+
-
+
+
-
+ -
2
1
a
m
b
=
+
+
2am
a
b
=
+
+
，
∵2
0
a >
，
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∴
1
2
y
y
-
随着m 的增大而增大，
要使得存在实数m ，当t
m
£
时，都有
1
2
2
y
y
-
³
，
只需保证
1
2 min
2
y
y
-
³
，
即当
2
b
t
m
a
= -
=
时，
1
2 min
2
2
2
b
a
y
y
a
a
b
a
æ
ö
-
=
×
+
+
=
³
ç
÷
è
ø
-
，
∴a 的取值范围是
2
a ³
．
4．（2024 年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
1,
A t
y
-
，
2
,
B t y
，
3
2,
C t
y
+
三
点都在抛物线
2
2
4(
0)
y
ax
ax
a
=
-
+
>
上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论t 取何值，点A、B、C 中至少有两点在x 轴上方，结合函数图象，求a 的取值范围．
【答案】(1)
1
x =
(2)
16
0
3
a
<
<
【详解】（1）解：对称轴为
2
1
2
a
x
a
-
= -
= ，
故答案为：
1
x = ；
（2）解：∵
0
a >
，
∴抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
-
+
的图象开口朝上，
无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，
有两种情况满足题意，
①当抛物线与x 轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意，
即Δ
0
£
，
∴
2
2
4
4
0
a
a
-
- ´ ´
£
，
化简得
4
4
0
a a -
£
，
∵
0
a >
，
∴
4
0
a -
£
，
解得
4
a £
，
∴此时0
4
a
<
£
；
②函数图象与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1 时满足题意，
此时三点中，水平距离最近的A 和B 不能同时在x 轴下方，
临界情况A、B 两点分别是这两个交点，
∵对称轴为
1
x = ，
∴
1
1
2
t
t
x
- +
=
= ，
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得
3
2
t =
，则有：
1 ,0
2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，
3 ,0
2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø，
此时
1 ,0
2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø代入
2
2
4
y
ax
ax
=
-
+
，解得
16
3
a =
，
∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小，
∴此时
16
3
a <
；
综上所述，
16
0
3
a
<
<
．
5．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系xOy 中，点( , )
m n 在抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
>
上，其中
0
m ¹
．
(1)当
4
m =
，
0
n =
时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当0
4
m
<
<
时，总有
0
n < ．
①求证：4
0
a
b
+
£
；
②点
1
( ,
)
P k y
，
2
(3 ,
)
Q
k y
在该抛物线上，是否存在a，b，使得当1
2
k
<
< 时，都有
1
2
y
y
<
？若存在，求出a
与b 之间的数量关系；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
2
x =
(2)①证明见解析；②存在，4
0
a
b
+
=
，理由见解析
【详解】（1）解：由题意可知，点
4,0 在抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
>
上，
16
4
0
a
b
\
+
=
，
4
b
a
\ = -
，
4
2
2
2
b
a
a
a
-
\
=
=
-
-
，
\抛物线的对称轴为直线
2
x =
；
（2）解：①方法一：
令
0
y =
，则
2
0(
0)
ax
bx
a
+
=
>
，
解得：
0
x =
或
b
x
a
= -
，
\抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
>
与x 轴交于点
0,0 ，
,0
b
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
0
a >
Q
，
\抛物线开口向上，
（i）当
0
b <
时，
0
b
a
-
>
，
\当0
b
x
a
<
< -
时，
0
y <
；当
0
x <
或
b
x
a
> -
时，
0
y >
，
Q当0
4
m
<
<
时，总有
0
n < ，
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4
b
a
\-
³
，
0
a >
Q
，
4
0
a
b
\
+
£
，
（ii）当
0
b >
时，
0
b
a
-
<
，
\当
0
b
x
a
-
<
<
时，
0
y <
；当
b
x
a
< -
或
0
x >
时，
0
y >
，
\当0
4
m
<
<
时，
0
n >
，不符合题意，
综上，4
0
a
b
+
£
，
方法二：
\由题意可知，
2
am
bm
n
+
=
．
若
0
n < ，则
2
0
am
bm
m am
b
+
=
+
<
．
0
m >
Q
，
0
am
b
\
+
<
．
0
a >
Q
，
b
m
a
\
< -
．
\当0
b
m
a
<
< -
时，
0
n < ．
Q当0
4
m
<
<
时，总有
0
n < ．
4
b
a
\-
³
．
0
a >
Q
，
4
0
a
b
\
+
£
，
②存在，
设抛物线的对称轴为x
t
= ，则
2
b
t
a
= -
，
0
a >
Q
，
\当x
t
³ 时，y 随x 的增大而增大；当x
t
£ 时，y 随x 的增大而减小，
1
2
k
<
<
Q
，
3
3
6
k
\ <
<
，
3
k
k
<
，
（i）当
1
t £ 时，
3
t
k
k
£
<
Q
，
1
2
y
y
\
<
，符合题意，
（ii）当1
2
t
< £
时，
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当
2
t
k
£
<
时，
3
t
k
k
<
<
Q
，
1
2
y
y
\
<
，
当1
k
t
<
< 时，
设点
1
,
P k y
关于抛物线对称轴x
t
= 的对称点为点
0
1
,
P x
y
¢
，
则
0x
t
> ，
0
t
k
x
t
-
=
- ，
0
2
x
t
k
\
=
-
，
1
k
t
<
<
Q
，1
2
t
< £
，
2
3
t
k
\
-
<
，
0
3
t
x
\ <
< ，
3
3
6
k
<
<
Q
，
0
3
t
x
k
\ <
<
，
1
2
y
y
\
<
，
\当1
2
t
< £
时，符合题意，
（iii）当2
3
t
< £
时，
令
1
2
k
t
=
，
3
3
2
k
t
=
，则
1
2
y
y
=
，不符合题意，
（iv）当3
6
t
< <
时，
令3k
t
= ，则
3
k
k
t
<
£ ，
1
2
y
y
\
>
，不符合题意，
（v）当
6
t ³
时，
3
k
k
t
<
<
Q
，
1
2
y
y
\
>
，不符合题意，
\当
2
t £
，即
2
2
b
a
-
£
时，符合题意，
0
a >
Q
，
4
0
a
b
\
+
³
，
由（1）可得4
0
a
b
+
£
，
4
0
a
b
\
+
=
．
【题型2 比较函数值的大小】
主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交
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点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。
6．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1,
A
m
-
和点
4,
B
n 在抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
-
（
0
a >
）上，设抛物线的对称轴为x
t
= ．
(1)若
1
m = ，
6
n =
，求t 的值；
(2)已知点
1
1,
C
y
，
2
3 ,
2
D
t y
æ
ö
ç
÷
è
ø 在该抛物线上，若
2
m > - ，
2
n < - ，比较
1y ，
2y 的大小，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)
1
2
y
y
>
，见解析
【详解】（1）解：∵
1
m = ，
6
n =
，
∴把点
1,1
A -
和点
4,6
B
代入
2
2
y
ax
bx
=
+
-
得：
2
1
16
4
2
6
a
b
a
b
-
-
=
ì
í
+
-
=
î
，
解得：
1
2
a
b
=
ì
í = -
î
，
∵对称轴为x
t
= ，
∴
1
2
b
t
a
= -
= ．
（2）∵
0
a >
，
∴当x
t
> 时，y 随x 的增大而增大．
令
0
x =
，得=
2
y -
，
∴抛物线与y 轴交点坐标为
0, 2
-
．
∵
2
m > - ，
2
n < - ，1
0
4
- <
<
，
∴
1,m
-
，
0, 2
-
在对称轴的左侧，
设点
0, 2
-
关于对称轴x
t
= 的对称点坐标
0, 2
x -
，
0
0
x
t
t
\
- = -
．
0
2
x
t
\
=
．
∴点
0, 2
-
关于对称轴x
t
= 的对称点坐标为
2 , 2
t -
．
∵
2
n < - ，
2
4
t
\
>
．
2
t
\ >
．
\点
1
1,
C
y
在对称轴左侧，点
2
3 ,
2
D
t y
æ
ö
ç
÷
è
ø 在对称轴右侧．
设点
1
1,
C
y
关于对称轴x
t
= 的对称点坐标
0
1
,
x
y
¢
，
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0
1
x
t
t
¢
\
- = - ．
0
2
1
x
t
¢
\
=
- ．
∴点
1
1,
C
y
关于对称轴x
t
= 的对称点坐标为
1
2
1,
t
y
-
．
3
1
2
1
1
0
2
2
t
t
t
\
- -
=
- >
3
2
1
2
t
t
\
- >
．
1
2
y
y
\
>
．
7．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
2
y
x
m x
m
=
-
+
+
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)求t 的值（用含m 的代数式表示）；
(2)点
1
,
A
t y
-
，
2
,
B t y
，
3
1,
C t
y
+
在该抛物线上．若抛物线与x 轴的一个交点为
0,0
x
，其中
0
0
2
x
<
<
，
比较
1y ，
2y ，
3y 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
2
2
m
t
+
=
(2)
2
3
1
y
y
y
<
<
，详见解析
【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线
2
2
m
x
t
-
+
= -
= ，
即
2
2
m
t
+
=
．
（2）解：
2
3
1
y
y
y
<
<
．
理由如下：
令
0
y =
，得
2
2
2
0
x
m x
m
-
+
+
=
．
∴
1
2
2
x
x
m
=
=
，
．
∴抛物线与x 轴的两个交点为2
0
(
，) ，
0
m
(
，) ．
∵抛物线与x 轴的一个交点为
0 0
x
(
，) ，其中
0
0
2
x
<
<
，
∴0
2
m
<
<
．
∵
2
2
m
t
+
=
，
∴1
2
t
< <
．
∴2
1
t
- < - < - ，2
1
3
t
< + < ．
设点
1
A
t y
-
(
，) 关于抛物线的对称轴x
t
= 的对称点为
1
A n y
¢( ，) ．
∵点
1
A
t y
-
(
，) 在抛物线上，
∴点
1
A n y
¢( ，) 也在抛物线上．
由n
t
t
t
- = - -
(
) ，得
3
n
t
=
．
∴3
3
6
t
<
< ．
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∴
1
3
t
t
t
< + <
．
∵抛物线的解析式为
2
2
2
y
x
m x
m
=
-
+
+
，
∴此抛物线开口向上．
当x
t
³ 时，y 随x 的增大而增大．
∵点
2
B t y
( ，) ，
3
1
C t
y
+
(
，) ，
1
3
A
t y
¢(
，) 在抛物线上，且
1
3
t
t
t
< + <
，
∴
2
3
1
y
y
y
<
<
8．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
都在抛物线
2
2
8
0
y
ax
ax
a
=
-
+
<
上，且
1
1
2
x
- <
<
，
2
1
7
m
x
m
-
<
<
+
．
(1)当
2
m = - 时，比较
1y ，
2y 的大小关系，并说明理由；
(2)若存在
1
x ，
2x ，满足
1
2
y
y
=
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
1
2
y
y
>
，理由见解析
(2)
2
m > -
【详解】（1）解：
1
2
y
y
>
，理由如下，
∵
2
2
2
8
1
8
y
ax
ax
a x
a
=
-
+
=
-
+ -
，
∴抛物线的对称轴是直线
1
x = ，二次函数图像的开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴
的右边y 随x 的增大而减小，
∵当
1
1
2
x
- <
<
时，
1
x = - 时，
1y 的值最小，
∴
2
1
1
2
1
8
y
a
a
>
´ -
-
´ -
+
，即
1
3
8
y
a
>
+
，
当
2
m = - 时，
2
3
5
x
<
<
，
则当
2
3
5
x
<
<
时，
3
x =
时，
2y 有最大值，
∴
2
2
3
2
3
8
y
a
a
<
´
-
´ +
，即
2
3
8
y
a
<
+
，
∴当
1
1
2
x
- <
<
时的最小值大于
2
3
5
x
<
<
时的最大值，
∴
1
2
y
y
>
．
（2）解：∵
2
1
7
m
x
m
-
<
<
+
，
∴1
7
m
m
-
<
+
，
∴
3
m > - ，
∵存在
1
x ，
2x ，满足
1
2
y
y
=
，且
1
1
2
x
- <
<
，
∴1
3
m
-
<
，
∴
2
m > - ，
综上所述，m 的取值范围
2
m > - ．
9．（北京市第二十七中学2022 一2023 学年九年级上学期12 月）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
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2
2
y
ax
ax
=
-
与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左侧）．
(1)求点A，B 的坐标及抛物线顶点坐标；
(2)已知点
1
1, y
-
，
2
1.5, y
，
3
2, y
在该抛物线上，比较
1y ，
2y ，
3y 的大小，并说明理由．
(3)已知点
1, 2
C
-
向右平移两个单位再向下平移一个单位得到点D，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，
直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)
0,0 ,
2,0
A
B
，顶点坐标为
1, a
-
(2)当
0
a >
时，
2
3
1
y
y
y
<
<
，当
0
a <
时，
1
3
2
y
y
y
<
<
(3)
2
a ³
或
1
a £ -
【详解】（1）解：令
0
y =
时，则有
2
2
0
ax
ax
-
=
，
解得：
1
2
0,
2
x
x
=
=
，
∴
0,0 ,
2,0
A
B
，
∵
2
2
2
1
y
ax
ax
a x
a
=
-
=
-
-
，
∴顶点坐标为
1, a
-
；
（2）解：由（1）可知该二次函数的对称轴为直线
1
x = ，
∵点
1
1, y
-
，
2
1.5, y
，
3
2, y
在该抛物线上，
∴它们到二次函数对称轴的距离分别为
1 1
2, 1.5 1
0.5, 2 1
1
- -
=
-
=
-
= ，
∴当
0
a >
时，二次函数图象的开口向上，则有
2
3
1
y
y
y
<
<
；
当
0
a <
时，二次函数图象的开口向下，则有
1
3
2
y
y
y
<
<
；
（3）解：由题意得点
3, 3
D
-
，则可分：
①当
0
a >
时，且二次函数的图象恰好经过点C，则把
1, 2
C
-
代入二次函数解析式得：
2
a
- = - ，
∴
2
a =
，符合题意，
假设二次函数的图象经过点
3, 3
D
-
，则有9
6
3
a
a
-
= - ，
解得：
1
0
a = - <
，不符合
0
a >
，
根据二次函数的开口越小，则a 越大，
∴当抛物线与线段CD 只有一个公共点，则
2
a ³
；
②当
0
a <
时，由①可知抛物线只能经过点D，即
1
a = - ，
∴当抛物线与线段CD 只有一个公共点，则
1
a £ - ，
综上所述：当抛物线与线段CD 只有一个公共点，则
2
a ³
或
1
a £ - ．
10．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线
y = x2－2ax + 1 上，其中m≠1 且m≠2．
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(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a 的式子表示）；
(2)当m = 0 时，若y1= y3，比较y1 与y2 的大小关系，并说明理由；
(3)若存在大于1 的实数m，使y1＞y2＞y3，求a 的取值范围．
【答案】(1) x
a
=
(2)
2
1
y
y
<
，理由见解析
(3)a 的取值范围是0
1
a
<
<
【详解】（1）解：
2
2
a
x
a
-
= -
=
；
（2）当
0
m =
时，
这三个点分别为（2
- ，
1y ），（0，
2y ），（2，
3y ），
∵
1
3
y
y
=
，
∴ （2
- ，
1y ）与（2，
3y ）关于对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为
0
x =
，
即
0
a =
．
∴函数解析式为
2
1
y
x
=
+
∴ （0，
2y ）为抛物线的顶点．
∵ 抛物线的开口向上，
∴ 当
0
x =
时，
2y 为函数
2
2
1
=
-
+
y
x
ax
的最小值．
∴
2
1
y
y
<
．
（3）将
2
x
m
=
-
，x
m
=
和
2
x
m
=
-
分别代入，得：
2
1
2
2
2
1
y
m
a m
=
-
-
-
+ ，
2
2
2
1
y
m
am
=
-
+ ，
2
3
2
2
2
1
y
m
a
m
=
-
+
-
+ ．
则有：
1
2
4
1
y
y
a
m
-
=
+ -
，
2
3
4
1 1
y
y
a
m
-
=
-
-
，
于是
1
2
3
y
y
y
>
>
成立，即为
1
2
0
y
y
-
>
和
2
3
0
y
y
-
> 同时成立，
也即为
1
a
m
>
- 和
1 1
0
a
m
-
-
> 同时成立．
① 当
0
a £
时，
1
0
m
a
- <
£ ，
故
1
m≤，不存在大于1 的实数m；
② 当
1
a > 时，
1
0
a - >
，
要使
1 1
0
a
m
-
-
> ，则
1
m < ，也不存在大于1 的实数m；
③ 当
1
a = 时，
1 1
0
a
m
-
-
= ，不符合题意；
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④ 0
1
a
<
< 时，
只需取满足1
1
m
a
<
<
+ 的m 即可满足前述两个不等式同时成立，
即
1
2
3
y
y
y
>
>
成立．
综上所述，a 的取值范围是0
1
a
<
< ．
【题型3 求参数的范围】
考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先
可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开
口向上和向下时，分别讨论计算即可求得．
11．（北京市三帆中学2021-2022 学年九年级下学期一模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1
1, y
-
，
2
1, y
，
3
2, y
在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上．
(1)若
1
a = - ，
2
b = - ，
0
c =
，求该抛物线的对称轴并比较
1y ，
2y ，
3y 的大小；
(2)已知抛物线的对称轴为x
t
= ，若
2
3
1
y
c
y
y
<
<
<
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
1
2
3
>
>
y
y
y
(2) 1 < <1
2 t
【详解】（1）解：
1
a = -
Q
，
2
b = - ，
0
c =
\该抛物线的开口向下，对称轴为直线
2 = 1
2
x
-
= -
-
-
，
\当x=-1 时，y 取最大值，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小
1
2
3
>
>
y
y
y
\
（2）解：当x=0 时，y=c，
①当>0
a
时，若
2
3
1
y
c
y
y
<
<
<
，
2<
y
c
Q
>0
t
\
则函数图象如图所示：
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当
1
3
y
y
=
时，
1
2
1
2
2
t
- +
=
=
1
3
>
y
y
Q
1
> 2
t
\
当
3y
c
= 时，
0
2
1
2
t
+
=
=
3>c
y
Q
<1
t
\
1 < <1
2 t
\
②当
0
<
a
时，抛物线开口向下
2<
y
c
Q
<0
t
\
>0
x
\
时，y 随x 的增大而减小
3
2
<
<
y
y
c
\
，与
2
3
y
c
y
<
<
不符合
故不存在此种情况
综上，t 的取值范围为1 < <1
2 t
．
12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
2
2
0
=
-
¹
y
ax
a x a
.
(1)当
1
a = 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知
1
1
,
M x y
和
2
2
,
N x
y
是抛物线上的两点.若对于
1
3
x
a
=
，
2
3
4
x
£
£
，都有
1
2
y
y
<
，求a 的取值范围.
【答案】(1)
1, 1
-
；
(2)0
1
a
<
< 或
4
a < -
【详解】（1）解：把
1
a = 代入
2
2
2
y
ax
a x
=
-
得，
2
2
2
1
1
y
x
x
x
=
-
=
-
- ，
∴抛物线的顶点坐标为
1, 1
-
；
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（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线
2
2
2
a
x
a
a
-
= -
=
；
①当
0
a >
时，如图，此时3
3
a <
，
∴
1
a < ，
又∵
0
a >
，
∴0
1
a
<
< ；
当
0
a <
时，如图，此时
4
a
- >
，
解得
4
a < - ，
又∵
0
a <
，
∴
4
a < - ；
综上，当0
1
a
<
< 或
4
a < - ，都有
1
2
y
y
<
．
13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
2
2
4
0
y
ax
amx
am
a
=
-
+
-
>
．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；
(2)若对于该抛物线上的三个点
1
2,
A m
y
-
，
2
2 ,
B
m y
，
3
2
2,
C
m
y
-
，总有
1
2
3
y
y
y
>
>
，求实数m 的取值
范围．
【答案】(1)
, 4
m -
(2)1
2
m
<
<
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4
y
ax
amx
am
a x
mx
m
a x
m
=
-
+
-
=
-
+
-
=
-
-
Q
，
\该抛物线的顶点坐标为
, 4
m -
（2）解：由（1）可得：抛物线的对称轴为直线x
m
=
，抛物线开口向上，
Q对于该抛物线上的三个点
1
2,
A m
y
-
，
2
2 ,
B
m y
，
3
2
2,
C
m
y
-
，总有
1
2
3
y
y
y
>
>
，
\点A 距离对称轴的距离大于点B 距离对称轴的距离大于点C 距离对称轴的距离，
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2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
\
-
-
>
-
>
-
-
，
解得：1
2
m
<
<
，
\实数m 的取值范围为1
2
m
<
<
．
14．（2024 年北京市燕山区中考一模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
,
M m y
，
2
2,
N m
y
+
是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上两点．设该抛物线的对称轴为x
t
= ．
(1)若对于
1
m = ，有
1
2
y
y
=
，求t 的值；
(2)若对于1
2
m
<
<
，都有
1
2
y
y
<
，求t 的取值范围．
【答案】(1) 2
(2)
2
t £
【详解】（1）解：∵对于
1
m = ，有
1
2
y
y
=
，
∴点
1
,
M m y
，
2
2,
N m
y
+
关于直线x
t
= 对称，
∴
1
3
t
t
- =
- ，
∴
2
t =
．
（2）解：∵
0
a >
，
∴当x
t
³ 时，y 随x 增大而增大，当x
t
< 时，y 随x 增大而减小．
①当
1
t £ 时，
∵1
2
m
<
<
，
∴3
2
4
m
<
+
<
，
∴
2
t
m
m
<
<
+
，
∴
1
2
y
y
<
，符合题意；
②当1
2
t
< £
时，
（i）当
2
t
m
£
<
时，
∵3
2
4
m
<
+
<
，
∴
2
t
m
m
£
<
+
，
∴
1
2
y
y
<
，符合题意；
（ii）当
2
m
t
< £
时，
设点
1
,
M m y
关于x
t
= 的对称点为M ¢ ，则点M ¢ 的坐标为
1
2
,
M
t
y
m
¢
-
，
∵1
2
m
t
<
< £
，
∴
2
3
m
t
m
<
-
<
.
∵3
2
4
m
<
+
<
，
∴2
2
t
m
m
-
<
+
，
∴
1
2
y
y
<
，符合题意；
③当2
3
t
< <
时，令
1
m
t
= - ，则
2
1
m
t
+
= + ，
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∴
1
2
y
y
=
，不符合题意；
④当
3
t ³
时，令
3
2
m =
，则
7
2
2
m +
=
，
∴
1
2
y
y
>
，不符合题意；
综上所述，t 的取值范围是
2
t £
．
15．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
经过点
(1,
), (2,
2),
(0, 1)
A
m B
m
C
+
-
．
(1)c = ___________，m 的取值范围是__________；
(2)点
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
在抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上，若对于
1
2
0
1,1
2
x
x
<
<
<
<
，都有
1
2
y
y
<
，求m
的取值范围．
【答案】(1) 1
- ；
1
m <
(2)
1
1
m
- £
<
【详解】（1）解：把
(0, 1)
C
-
代入
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
，得：
1
c = - ；
把
(1,
),
(2,
2)
A
m B
m +
，代入解析式，得：
1
,4
2
1
2
a
b
m
a
b
m
+
- =
+
- =
+
①
②，
-
②
①，得：3
2
a
b
+
=
，
∴
2
3
b
a
=
-
，
∴
2
3
1
1 2
m
a
a
a
=
+
-
- = -
，
∵
0
a >
，
∴1 2
1
a
-
< ，
∴
1
m < ；
故答案为：1
- ；
1
m < ；
（2）设抛物线的对称轴为直线x
t
= ，
∵
0
a >
，
∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵
1
2
0
1,1
2
x
x
<
<
<
<
，
∴
1
2
1
3
2
2
2
x
x
+
<
<
，
∵对于
1
2
0
1,1
2
x
x
<
<
<
<
，都有
1
2
y
y
<
，
∴
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
的中点在对称轴右侧，
∴
1
2
t £
，
∴
1
2
2
b
a
-
£
，
∴b
a
- £
，
由（1）知：
2
3
b
a
=
-
，
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∴3
2
a
a
-
£
，
∴
1
a £ ，
∴0
1
a
<
£ ，
∴2
2
0
a
- £ -
<
∵1
1 2
1
m
a
- £
= -
< ，
故1
1
m
- £
< ．
【题型4 最值问题】
二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标
等知识是解题关键．
16．（2024 年北京市广渠门中学中考二模）已知抛物线
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)当
2
t =
时，
①写出b 与a 满足的等量关系；
②当函数图象经过点
1,3 ，
1
1
,
x
y
，
1
2
2,
x
y
+
时，求
1
2
y
y
+
的最小值；
(2)已知点
1,
A
m
-
，
3,
B
n ，
0,
C x
p 在该抛物线上，若对于
x
<
<
0
3
4，都有m
p
n
>
>
，直接写出t 的取值
范围．
【答案】(1)①
4
b
a
= -
；②6
(2) 3
3
2
t
£ £
【详解】（1）解：①当
2
t =
时，对称轴为直线
2
x =
．
\
2
2
b
x
a
= -
=
，
\
4
b
a
= -
；
②由二次函数的性质可知，当
1
1
,
x
y
，
1
2
2,
x
y
+
关于对称轴对称时
1
2
y
y
+
取最小值，
Q对称轴为直线
2
x =
，点
1,3 关于对称轴的对称点为
3,3 ，
\
1
1
,
x
y
与点
1,3 重合，
1
2
2,
x
y
+
与点
3,3 重合时，
1
2
y
y
+
取最小值，
最小值为：3
3
6
+
=
．
（2）解：Q
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
，
\抛物线开口下上，
Q
0
1
3
x
- <
<
，m
p
n
>
>
，
\点
1,
A
m
-
在对称轴的左侧，点
3,
B
n 在对称轴上或对称轴的右侧，
0,
C x
p 在对称轴的右侧，点到A
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对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，
\
0
3
( 1)
t
t
x
t
£
ì
í - -
>
-
î
，
解得
0
1
3
2
x
t
- < £
，
Q
x
<
<
0
3
4，
\
0
1
3
1
2
2
x -
<
<
，
\ 3
3
2
t
£ £
．
17．（2022 年北京市一零一教育集团九年级下学期零模）已知二次函数
2
4
3
y
ax
ax
a
=
-
+
．
(1)该二次函数图象的对称轴是x =___________；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当1
4
x
£
£
时，y 的最大值是2，求当1
4
x
£
£
时，y 的最小值：
(3)若对于该抛物线上的两点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，当
1
2
1,
5
t
x
t
x
£
£ +
³
时，均满足
1
2
y
y
³
，请结合图象，直接
写出t 的最大值．
【答案】(1)2
(2) 6
-
(3)4
【详解】（1）解：对称轴
4
2
2
a
x
a
-
= -
=
．
（2）解：Q该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线
2
x =
，
\当
2
x =
时，y 取到在1
4
x
£
£
上的最大值为2．
4
8
3
2
\
-
+
=
a
a
a
．
2
a
\
= - ，
2
2
8
6
y
x
x
= -
+
- ，
Q当1
2
x
£
£
时，y 随x 的增大而增大，
\当
1
x = 时，y 取到在1
2
x
£
£
上的最小值0．
Q当2
4
x
£
£
时，y 随x 的增大而减小，
\当
4
x =
时，y 取到在2
4
x
£
£
上的最小值6
- ．
\当1
4
x
£
£
时，y 的最小值为6
- ．
（3）解：Q当
1
1
t
x
t
£
£ + ，
2
5
x ³
时，均满足
1
2
y
y
³
，
\当抛物线开口向下，点P 在点Q 左边或重合时，满足条件，
1
t
\ ³ - 且
1
5
t + £
1
4
t
\- £ £
，
t
\ 的最大值为4．
属于中考常考题型．
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18．（北京师范大学实验中学2022-2023 学年九年级下学期二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2+
3
0
y
ax
bx
a a
=
+
¹
与x 轴的交点为点
(
)
1,0
A
和点B．
(1)用含a 的式子表示b；
(2)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；
(3)分别过点
,0
P t
和点
2 0
Q t + ,
作x 轴的垂线，交抛物线于点M 和点N，记抛物线在M，N 之间的部分为
图象G（包括M，N 两点）．记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当
1
a = 时，求m
n
-
的最小值；
②若存在实数t，使得
1
m
n
-
= ，直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)
4
b
a
= -
(2)
2
x =
，
3,0
(3)①1；②0
1
a
<
£ 或1
0
a
- £
<
【详解】（1）解：把点
(1,0)
A
代入
2
3
y
ax
bx
a
=
+
+
得：
3
0
a
b
a
+
+
=
，
4
b
a
\ = -
；
（2）解：由（1）知抛物线为
2
4
3
y
ax
ax
a
=
-
+
，
\抛物线的对称轴为直线
4
2
2
a
x
a
-
= -
=
，
而
(1,0)
A
关于直线
2
x =
的对称点是(3,0)，
由抛物线对称性得：点B 坐标(3,0)；
（3）解：①如图：
当
1
a = 时，
2
4
3
(
1)(
3)
(
1)(
3)
y
ax
ax
a
a x
x
x
x
=
-
+
=
-
-
=
-
-
，
\抛物线与x 轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)，与y 轴交点坐标为(0,3) ，顶点坐标为(2, 1)
-
，
由图象知：当图象G 为对称图形时m
n
-
有最小值，
又
(
P t ，0)
(
2
Q t +
，
，0) ，
2
(
2)
2
t
t
\ - =
+
- ，
1
t
\ = ，
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Q过点
( ,0)
P t
和点
(
2,0)
Q t +
作x 轴的垂线，交抛物线于点M 和点N ，
(1,0)
M
\
，
(3,0)
N
，
Q顶点坐标为(2, 1)
-
，
m
n
\
-
的最小值为0
( 1)
1
- -
= ；
②Q点
( ,0)
P t
和点
(
2,0)
Q t +
作x 轴的垂线，交抛物线于点M 和点N ，
由（1）知抛物线为
2
4
3
y
ax
ax
a
=
-
+
，
2
( ,
4
3 )
M t at
at
a
\
-
+
，
(
2
N t +
，
2
(
2)
4 (
2)
3 )
a t
a t
a
+
-
+
+
，
又Q抛物线对称轴为直线
2
x =
，顶点坐标为(2,
)
a
-
，
\根据M 、N 点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a 的取值：
（Ⅰ）当
0
a >
，且
2
2
t +
£
时，即图象G 在对称轴左侧时，
此时M 点的纵坐标最大，N 点的纵坐标最小，
2
2
4
3
[ (
2)
4 (
2)
3 ]
1
at
at
a
a t
a t
a
\
-
+
-
+
-
+
+
= ，
解得
1
1
4
t
a
= -
，
又
0
t £
Q
，
0
a >
，
1
1
0
4a
\ -
£
且
0
a >
，
1
0
4
a
\ <
£
；
（Ⅱ）当
0
a >
，且
2
t ³
时，即图象G 在对称轴右侧时，
此时N 点的纵坐标最大，M 点的纵坐标最小，
2
2
(
2)
4 (
2)
3
(
4
3 )
1
a t
a t
a
at
at
a
\
+
-
+
+
-
-
+
= ，
解得
1
1
4
t
a
= +
，
又
2
³
Qt
，
0
a >
，
1
1
2
4a
\ +
³
且
0
a >
，
1
0
4
a
\ <
£
，
（Ⅲ）当
0
a >
，且0
1
t
< £ 时，即最低点是抛物线顶点且M 点纵坐标大时，
此时
2
4
3
m
at
at
a
=
-
+
，n
a
= - ，
2
4
3
(
)
1
at
at
a
a
\
-
+
- -
= ，
解得
2
a
t
a
=
±
，
又
0
1
t
< £
Q
，
0
a >
，
2
a
t
a
\ =
-
，
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0
2
1
a
a
\ <
-
£ ，
\ 1
1
4
a
<
£ ；
（Ⅳ）当
0
a >
，且1
2
t
< £
时，即最低点是抛物线顶点时且N 点纵坐标大，
此时
2
(
2)
4 (
2)
3
m
a t
a t
a
=
+
-
+
+
，n
a
= - ，
2
(
2)
4 (
2)
3
(
)
1
a t
a t
a
a
\
+
-
+
+
- -
= ，
解得
2
1
t
a
=
，
又
1
2
t
< £
Q
，
0
a >
，
1
1
4
a
\ <
£
，
\ 1
1
4
a
£
< ，
综上所述，当0
1
a
<
£ 时，
1
m
n
-
= ，
同理可得：当
0
a <
时，1
0
a
- £
<
也符合条件，
a
\ 的取值范围为0
1
a
<
£ 或1
0
a
- £
<
．
19．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4
2
y
ax
ax
=
-
+
(
0)
a >
与y 轴交于点A．
（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0
5
x
£
£
时，y 的最小值是－2，求当0
5
x
£
£
时，y 的最大值；
（3）抛物线上的两点 P（
1
x ，
1y ），Q（
2x ，
2y ），若对于
1
1
t
x
t
<
< + ，
2
2
3
t
x
t
+
<
< + ，都有
1
2
y
y
¹
，直
接写出t 的取值范围．
【答案】（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）
0
t £
或
1
t ³ ．
【详解】解：（1）令x＝0 则y＝2，
∴．点A 坐标为（0，2）．
∵
2
4
2
y
ax
ax
=
-
+
＝
2
(
4
4)
2
4
a x
x
a
-
+
+
-
＝
2
(
2)
2
4
a x
a
-
+
-
，
∴二次函数图象的对称轴是x＝2；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当0
5
x
£
£
时，y 的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，
∴2－4a＝－2，
解得a＝1.
∴二次函数表达式为
2
4
2
y
x
x
=
-
+
，
∴在0
5
x
£
£
时，当x＝5 时，y 有最大值，
25
4 5
2
7
y =
- ´ +
= ；
（3）∵点 P（
1
x ，
1y ），Q（
2x ，
2y ），且
1
1
t
x
t
<
< + ，
2
2
3
t
x
t
+
<
< + ，都有
1
2
y
y
¹
，
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∴①当点P、Q 都在对称轴x=2 左侧时，
1
2
y
y
¹
，此时t+3≤2，解得t≤-1；
②当点P、Q 都在对称轴x=2 右侧时，
1
2
y
y
¹
，此时t≥2；
③当点P 在对称轴x=2 左侧，点Q 在对称轴x=2 右侧时，且
1
2
y
y
¹
，
此时2-（t+1）≥（t+3）-2 或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1，
综上所述，
0
t £
或
1
t ³ ．
20．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+
．
（1）当
2
b = - 时，
①若
4
c =
，求该函数最小值；
②若2
3
x
£
£
，则此时x 对应的函数值的最小值是5，求c 的值；
（2）当
2
c
b
=
时，若对于任意的x 满足
2
b
x
b
£
£
+
且此时x 所对应的函数值的最小值是12，直接写出b 的
值．
【答案】（1）①3；②5；（2）
2
b =
或者2
2 2
- -
【详解】解：（1）①当b=-2，c=4 时，二次函数变形为：
2
2
4
y
x
x
=
-
+
2
1
3
x
=
-
+
，
当
1
x = 时函数的最小值为3；
②∵抛物线为
2
2
y
x
x
c
=
-
+
．
此时抛物线开口向上，对称轴为
1
x = ．
∴当
1
x > 时，y 随x 增大而增大．
∵1＜2
3
x
£
£
，
∴取值范围位于对称轴的右侧，
∴当
2
x =
时，
5
y
=
最小
，
∴
2
5
2
2 2
c
=
- ´
+ ．
∴
5
c =
．
（2）当b≥0 时，
∵二次函数
2
2
y
x
bx
b
=
+
+
的对称轴为x=
0
2
b
-
＜，
∴
0
2
b
-
＜＜
2
b
x
b
£
£
+
，
∴取值范围位于对称轴的右侧，
∴当x=b 时，函数有最小值，
∴
2
2
2
12
b
b
b
+
+
=
，
解得b=2 或b=-3（舍去）；
当b＜0 时，
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∵二次函数
2
2
y
x
bx
b
=
+
+
的对称轴为x=
0
2
b
-
＞，
当对称轴位于取值范围
2
b
x
b
£
£
+
内时，，
∴x=
2
b
-
时，函数有最小值，
∴
2
8
48
0
b
b
-
+
=
，此时无解；
当对称轴不位于取值范围
2
b
x
b
£
£
+
内时，，
∴
2
b
x
b
£
£
+
位于对称轴的左侧，
∵y 随x 增大而减小，
∴x=b+2 时，函数有最小值，
∴
2
(
2)
(
2)
2
12
b
b b
b
+
+
+
+
=
，
整理，得
2
4
4
0
b
b
+
-
=
；
解得b= 2
2 2
- -
或b= 2
2 2
- +
（舍去）；
∴
2
b =
或者2
2 2
- -
．
（建议用时：30 分钟）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
2
2
3
0
y
ax
a x
a
=
-
-
¹
．
(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；
(2)
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
为该抛物线上的两点，若
1
2
x
a
= -
，
2
1
x
a
=
+ ，且
1
2
3
y
y
>
> - ，求a 的取值范围．
【答案】(1) x
a
=
(2) 1
1
3
a
<
<
【分析】（1）根据配方法化为顶点式，即可求解；
（2）分
0
a >
和
0
a <
，分别讨论，根据
1
2
3
y
y
>
> - 列出不等式，进而即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
3
2
3
3
y
ax
a x
a x
a
a
=
-
-
=
-
- -
∴抛物线的对称轴为直线x
a
=
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（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x
a
=
，
当
0
a >
时，抛物线开口向上，对称轴在y 轴的右侧，
∵
1
2
x
a
= -
，
2
1
x
a
=
+ ，
∴
1
2
x
a
x
<
<
∵
1
2
3
y
y
>
> - ，
∴
1
2
2
x
x
a
+
<
即2
1
2
a
a
a
-
+
+ <
，
解得：
1
3
a >
∵
2
3
y > -
∴
2
2
1
2
1
3
3
a a
a
a
+
-
+
-
> - ，即
1 1
0
a a
a
+
-
>
∵
0
a >
∴1
0
a
-
>
，解得：
1
a <
∴1
1
3
a
<
<
当
0
a <
时，抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，
∵
1
2
3
y
y
>
> -
∴
1
2
x
x
<
，
即2
1
a
a
-
<
+
解得：
1
3
a > -
又∵
2
3
y > -
∴
2
2
1
2
1
3
3
a a
a
a
+
-
+
-
> - ，即
1 1
0
a a
a
+
-
>
∵
0
a <
，
∴
1
1
0
a
a
+
-
>
，
∴
1
a < - 或
1
a > （舍去）
∴a 无解；
综上所述，1
1
3
a
<
<
2．在平面直角坐标系xOy 中，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
是抛物线
2
0
y
a x
t
k a
=
-
+
>
上任意两点．
(1)若对于
1
0,
1
x
t
=
= ，有
1
2
y
y
=
，求
2x 的值：
(2)若对于
1
2
0
1,
1
2
x
t
x
t
<
<
+ <
< +
，都不存在
1
2
y
y
=
，求t 的取值范围．
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【答案】(1)
2
2
x =
(2)
1
t £ 或
3
t ³
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可；
（2）根据不存在不存在
1
2
y
y
=
，则
1
2
2
x
x
+
恒在对称轴的一边，据此列不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵
1
t = ，
∴抛物线
2
0
y
a x
t
k a
=
-
+
>
对称轴为直线
1
x
t
= = ，
∵
1
2
y
y
=
，
∴
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
关于对称轴对称，
∴
1
2
1
2
x
x
+
= ，
∵
1
0
x =
，
∴
2
2
x =
；
（2）解：∵
1
2
0
1,
1
2
x
t
x
t
<
<
+ <
< +
，
∴
1
2
1
3
2
2
2
x
x
t
t
+
+
+
<
<
，
∵对于
1
2
0
1,
1
2
x
t
x
t
<
<
+ <
< +
，都不存在
1
2
y
y
=
，抛物线
2
0
y
a x
t
k a
=
-
+
>
对称轴为直线x
t
= ，
∴
1
2
t
t
+
£
或
3
2
t
t
+
£ ，
解得
1
t £ 或
3
t ³
．
3．在平面直角坐标系xOy 中，点
1
2
3
1,
,
A
y
B a
y
+
- ，
在抛物线
2
2
1
=
-
+
y
x
ax
上．
(1)当
2
a =
时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出
1y 和
2y 的大小关系；
(2)抛物线经过点
3
,
C m y
①当
2
m =
时，若
1
3
y
y
=
，则a 的值为________；
②若对于任意的2
6
m
£
£
都满足
1
3
2
y
y
y
>
>
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
2, 3
-
，
1
2
y
y
>
；
(2)①
1
2
-
；②
7
a >
．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）直接把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x =
，顶点坐标为
2, 3
-
，则离对称轴
越远函数值越大，据此求解即可；
（2）①根据
1
3
y
y
=
，抛物线的对称轴为直线
3
2
1
2
2
x
- +
=
= -
，即可求解；
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②由题意可知，
3
a > - ,分别求出当2
6
a
<
<
，和
6
a ³
，3
2
a
- <
£
三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：当
2
a =
时，
2
2
2 2
1
2
3
y
x
x
x
=
- ´
+ =
-
- ，
2
3,
B
y
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x =
，顶点坐标为
2, 3
-
，
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，
∵
2
3
3
2
- -
>
-
，
∴
1
2
y
y
>
；
（2）解：①当
2
m =
时，点
3
2,
C
y
，
∵
1
3
y
y
=
，
∴抛物线的对称轴为直线
3
2
1
2
2
x
- +
=
= -
，
∵抛物线的对称轴为直线
2
2
a
x
a
-
= -
=
，
∴
1
2
a = -
，
故答案为：
1
2
-
；
②由题意得，
2
2
1
y
x
a
a
=
-
-
+ ，
∴抛物线的对称轴是直线x
a
=
，
∵
1
3
2
y
y
y
>
>
且2
6
m
£
£
，
1
a
a
+ >
．
由题意可知，
3
a > - ,
当2
6
a
<
<
的情况，因为此时C 点可能取到函数的最低点，不满足对于任意的2
6
m
£
£
都满足
1
3
2
y
y
y
>
>
，
当
6
a ³
时，∵
1
3
2
y
y
y
>
>
∵
2
1,
B a
y
+
关于对称轴的对称点坐标为
2
1,
a
y
-
，
则有
1
6
a - >
，解得：
7
a >
;
当3
2
a
- <
£
时，∵
1
3
2
y
y
y
>
>
∵
1
3,
A
y
-
关于对称轴的对称点坐标为
1
2
3,
a
y
+
，
则有
1
2
2
3
6
a
a
+ <
ì
í
+
>
î
无解；
综上所述：对于任意的2
6
m
£
£
都满足
1
3
2
y
y
y
>
>
，时，
7
a >
．
