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重难点专题06 二次函数的图象与a、b、c、Δ的关系
重难点一二次函数的图象与a、b、c 的关系
1.开口向上a > 0，开口向下a < 0；
2.利用左同右异判断b 符号，对称轴在y 轴左右决定ab 同异，对称轴为y 轴则b = 0；
3.c 是抛物线与y 轴交点纵坐标，交点在x 轴上方c > 0，下方c < 0，过原点c = 0。
1．如图是抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的示意图，则ܽ
的值可以是（
）
A．0
B．2
C．െͳ
D．െʹ
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ܽ
> 0
∴ܽ
的值可以是2．
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2．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的ܽ
> 0，ܾ
> 0，ܿ> 0，那么其图象必过（
）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【答案】C
【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y 轴的哪一侧，交y 轴的位置，从而可以
判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的ܽ
> 0，
∴该函数图象开口向上，
又∵ܾ
> 0，ܿ> 0，
∴ݔ=െܾʹܽ< 0，顶点在y 轴左侧，经过y 轴正半轴，
∴该二次函数的图象必过第一、二象限．
3．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．ܽ
> 0Ͳܾ> 0Ͳܿ> 0
B．ܽ
< 0Ͳܾ< 0Ͳܿ> 0
C．ܽ
< 0Ͳܾ> 0Ͳܿ> 0
D．ܽ
> 0Ͳܾ< 0Ͳܿ< 0
【答案】C
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由二次函数开口方向、与y 轴交点位置，对称轴位置即可解答．
【详解】解：由题意知，二次函数开口向下，故ܽ
< 0，
与y 轴交于正半轴，故ܿ
> 0，
对称轴在y 轴右侧，则െܾʹܽ> 0，
ܾ
> 0．
故选：C．
4．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ െ͵ܾݔെʹܿ（其中ܽ
< 0，ܾ
< 0，ܿ> 0），一定不经过的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y
轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，且当ݔ< 0 时ݕ< 0，
故一定不经过第二象限．
【详解】解：∵ܽ
< 0，
抛物线开口向下．
∵ܾ
< 0，
͵ܾ
< 0，
对称轴直线ݔ=െ
െ͵ܾ
ʹܽ
=
͵ܾ
ʹܽ> 0，
则对称轴在y 轴右侧，
当ݔ= 0 时，ݕ=െʹܿ，
∵ܿ> 0，
െʹܿ< 0，与y 轴交于负半轴．
当ݔ< 0 时，ݕ=ܽ
ݔʹ െ͵ܾݔെʹܿ，
∵ܽ
< 0，ܽݔʹ 0；ܾ
< 0，ݔ< 0，െʹܿ< 0，
െ͵ܾݔ< 0；，
ݕ< 0 恒成立，
即ݔ< 0 时ݕ< 0．
抛物线一定不经过第二象限ݔ< 0Ͳݕ> 0 ．
故选B．
5．二次函数ݕ=ܽ
ݔ; ܾݔܿ
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．ܽ
> 0，ܾ
> 0，ܿ> 0
B．ܽ
< 0，ܾ
< 0，ܿ> 0
C．ܽ
< 0，ܾ
> 0，ܿ< 0
D．ܽ
< 0，ܾ
> 0，ܿ> 0
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数系数与图象的关系．根据二次函数图象得出ܽ
，ܾ，ܿ的取值范围可得结
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论．
【详解】解：由图象得：
∵抛物线开口向下，
∴ܽ
< 0；
又抛物线与ݕ轴的正半轴相交，
∴ܿ> 0；
又抛物线对称轴在ݕ轴右侧，
∴െܾʹܽ> 0，
∴ܾ
> 0，
故选：D．
6．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________
（填“大于0、小于0 或等于0”）．
【答案】大于0
【详解】解：对于二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ，其图像的增减性由二次项系数ܽ
的符号决定：
∵当ܽ
> 0 时，函数图像开口向上，在对称轴左侧ݕ随ݔ的增大而减小（即下降），在对称轴右侧ݕ随ݔ的
增大而增大（即上升）；
∵题目中二次函数的图像在对称轴左侧是下降，右侧是上升，
该函数图像符合ܽ
> 0 时的特征．
故答案为：大于0．
7．若抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ（്ܽ
0）的示意图如图所示，则ܽ
____0，ܾܽ
____0，ܿܽ
____0（填“>”，“＝”
或“<”）．
【答案】
>
<
<
【分析】根据二次函数图象与其各项系数的关系即可填写．
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【详解】根据图象开口向上可知a>0，对称轴在y 轴右侧可知b<0，与y 轴交点在原点下方可知c<0．
故答案为：>，<，<．
【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系．熟知二次函数图象与各项系数的关系是解答本题的关
键．
重难点二二次函数图象与x 轴交点的个数与Δ的关系
1.图像与x 轴两个交点Δ > 0；
2.顶点刚好落在x 轴Δ = 0；
3.全程在x 轴上方或下方无交点Δ < 0；
4.求参数范围时必须附带a ≠0 的限制条件。
1．抛物线ݕ= ݔʹ െݔെʹ 与ݔ轴的交点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与ݔ轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x 轴的交
点个数，即可作答．
【详解】解：依题意，抛物线与x 轴的交点的横坐标即方程0 = ݔʹ െݔെʹ 的实数根，
则Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= െͳ ʹ െͶ ൈͳ ൈെʹ = ͳ = ͺ > 0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故抛物线与x 轴有2 个交点，
故选：C．
2．已知二次函数ݕ= ݔʹ ʹݔെ݉
与x 轴无交点，则m 的取值范围是（
）
A．݉
>െͳ
B．݉
െͳ
C．݉
<െͳ
D．݉
െͳ
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是
掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据二次函数ݕ= ݔʹ ʹݔെ݉
与x 轴无交点，得出方程ݔʹ ʹݔെ݉
= 0 无实数根，再列出不等式求解．
【详解】解：∵二次函数ݕ= ݔʹ ʹݔെ݉
与x 轴无交点，
∴方程ݔʹ ʹݔെ݉
= 0 无实数根，
∴ʹʹ െͶ ൈͳ ൈെ݉
< 0，
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解得：݉
<െͳ，
故选：C．
3．抛物线ݕ= ݔʹ െͶݔ͵ 与x 轴的交点个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系．抛物线与x 轴的交点个数即为抛物线对应
的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= ͳ耀െͶ ൈ͵ = Ͷ > 0，
∴抛物线ݕ= ݔʹ െͶݔ͵ 与x 轴的交点个数为2 个，
故选：C．
4．二次函数ݕ= ʹݔʹ െͷݔʹ 的图象与x 轴的交点有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解与x 轴交点个数即方程ʹݔʹ െͷݔʹ = 0 实数解的个数是解题
的关键．
根据方程ʹݔʹ െͷݔʹ = 0 解的情况确定即可．
【详解】解：令ݕ= 0，
则ʹݔʹ െͷݔʹ = 0，
∵Δ = ʹͷ െͶ ൈʹ ൈʹ = ͺ > 0，
方程ʹݔʹ െͷݔʹ = 0 有2 个不相等的实数根，
所以二次函数ݕ= ʹݔʹ െͷݔʹ 的图象与x 轴的交点有2 个．
故选：C．
5．已知二次函数ݕ= ʹݔʹ ݔܽ（ܽ
是常数）的图象与ݔ轴有两个不同的交点，则ܽ
的值可以是______．（写
出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】二次函数图象与ݔ轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别
式大于零求出ܽ
的取值范围，任取范围内一个值即可.
【详解】解：∵二次函数ݕ= ʹݔʹ ݔܽ
的图象与ݔ轴有两个不同交点
一元二次方程ʹݔʹ ݔܽ
= 0 有两个不相等的实数根
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Δ = ͳʹ െͶ ൈʹ ൈܽ
= ͳ െܽ
> 0，
解得ܽ
<
ͳ
，ܽ
= 0 满足ܽ
<
ͳ
，（答案不唯一）．
6．若抛物线ݕ= ݔʹ െ耀ݔ݉
െʹ（݉
是常数）与ݔ轴只有一个交点，则݉
的值为______．
【答案】11
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由
抛物线ݕ= ݔʹ െ耀ݔ݉
െʹ（݉
是常数）与ݔ轴只有一个交点可得，方程ݔʹ െ耀ݔ݉
െʹ = 0 的判别式为
零，即可求解．
【详解】解：∵抛物线ݕ= ݔʹ െ耀ݔ݉
െʹ（݉
是常数）与ݔ轴只有一个交点，
方程ݔʹ െ耀ݔ݉
െʹ = 0 的判别式为零，
Δ = െ耀ʹ െͶ ൈͳ ൈ݉
െʹ = 0，
解得：݉
= ͳͳ，
故答案为：11．
7．若抛物线ݕ= ݔʹ െʹݔ͵ െ݇
与ݔ轴有交点，则݇
的取值范围为______．
【答案】݇
ʹ
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于ݔ
的方程ݔʹ െʹݔ͵ െ݇
= 0 有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得．
【详解】解：∵抛物线ݕ= ݔʹ െʹݔ͵ െ݇
与x 轴有交点，即二次方程ݔʹ െʹݔ͵ െ݇
= 0 有实数根．
其中ܽ
= ͳ,ܾ
=െʹ,ܿ
= ͵ െ݇．
ᇞ= െʹ ʹ െͶ ൈͳ ൈ͵ െ݇
= Ͷ െͶ ͵ െ݇
= Ͷ െͳʹ Ͷ݇
= Ͷ݇
െ0．
解得݇
ʹ．
故答案为݇
ʹ．
8．若关于x 的函数ݕ= ݔʹ െݔെ݇
与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_______．
【答案】݇
>െ
ͳ
Ͷ
【分析】本题考查抛物线与ݔ轴的交点，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ（a，b，c 是常数，്ܽ
0）的交点与一
元二次方程ܽݔʹ ܾݔܿ
= 0 根之间的关系．Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
决定抛物线与ݔ轴的交点个数．Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
> 0
时，抛物线与ݔ轴有2 个交点；Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= 0 时，抛物线与ݔ轴有1 个交点；Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
< 0 时，抛
物线与ݔ轴没有交点．
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关于ݔ的函数ݕ= ݔʹ െݔെ݇
的图象与ݔ轴有两个交点，则判别式ܾʹ െͶܽܿ
> 0，据此列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：െͳ ʹ െͶ ൈͳ ൈെ݇
> 0 ，
解得݇
>െ
ͳ
Ͷ．
故答案是：݇
>െ
ͳ
Ͷ．
重难点三特殊值法判断代数式的符号
1.x = ͳ 对应a b c，x =−ͳ 对应a −b c，x = ʹ、−ʹ 同理；
2.观察对应横坐标上抛物线上点的位置，点在x 轴上方代数式大于0，下方小于0。
1．如图，已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图像如图所示，则下列6 个代数式ܾܽ
，ܽܿ，ܾܽ
ܿ，ܽെܾ
ܿ，
ʹܾܽ，ʹܽെܾ
中其值为正的式子个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，从图象中获取信息是解题的关键．
根据抛物线的开口方向得ܽ
< 0，抛物线交y 轴的负半轴，可知ܿ
< 0，可判断ܽܿ
，当ݔ= ͳ 时，ݕ> 0，可
判断ܽ
ܾ
ܿ，当ݔ=െͳ 时，ݕ< 0，可判断ܽ
െܾ
ܿ，然后根据െܾʹܽ= ͳ，可判断ܾܽ
，ʹܾܽ，ʹܽെܾ．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴ܽ
< 0，
∵抛物线交y 轴的负半轴，
∴ܿ< 0，
∴ܽܿ
> 0；
当ݔ= ͳ 时，ݕ= ͳ > 0，
即ܽ
ܾ
ܿ
> 0；
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当ݔ=െͳ 时，ݕ< 0，
即ܽ
െܾ
ܿ
< 0；
∵െܾʹܽ= ͳ，
∴ܾ
=െʹܽ
> 0，
∴ܾܽ
< 0，ʹܾܽ
= 0，ʹܽെܾ
< 0，
所以其值为正的式子的个数为2 个．
故选：B．
2．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 与ݔ轴相交于ܣ，ܤ两点，点ܣ的横坐标为4，点ܤ的横坐标在െͳ
和0 之间，则下列判断正确的是（
）
A．ܾܽܿ
> 0
B．ܽെܾ
ܿ
> 0
C．ͳ耀ܽͶܾܿ
> 0
D．͵ܾܽ
> 0
【答案】D
【分析】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故ܽ
< 0，
与y 轴交于正半轴，故ܿ
> 0，
对称轴ݔ=െܾʹܽ在ݕ轴右侧，故െܾʹܽ> 0，
又∵ܽ
< 0，
∴ܾ
> 0，
∴ܾܽܿ
< 0，故A 选项错误，不符合题意；
由题意得，当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=ܽ
ڄ െͳ ʹ ܾ
ڄ െͳ ܿ
=ܽ
െܾ
ܿ，
∵点B 在െͳ 到0 之间，且ݔ=െͳ 在点B 的左边，
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∴ܽെܾ
ܿ
< 0，故B 选项错误，不符合题意；
由题意得，当ݔ= Ͷ 时，ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=ܽ
ڄ Ͷʹ ܾ
ڄ Ͷ ܿ
= ͳ耀ܽͶܾܿ，
∵ܣͶͲ0 是抛物线与x 轴交点，
∴ͳ耀ܽͶܾܿ
= 0，故C 选项错误，不符合题意；
∵点ܤ的横坐标在െͳ 和0 之间，
∴െܾʹܽ>
Ͷെͳ
ʹ
= ͳͷ׳，
∵ܽ
< 0，
∴െܾ
< ͵ܽ
െܾ
െ͵ܽ
< 0
͵ܾܽ
> 0，故D 选项正确，符合题意．
故选D．
3．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图象如图所示，现有以下结论：①ܾܽܿ
> 0；②ܾ
<ܽ
ܿ；③Ͷܽʹܾܿ
> 0；
④ʹܿ< ͵ܾ；⑤ܽ
ܾ
>݉
ܽ݉
ܾ
ሻ്݉
ͳ ，其中正确结论的有（
）
A．ͳ 个
B．ʹ 个
C．͵ 个
D．Ͷ 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求ʹܽ
与ܾ
的关系，以及二
次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断ܽ
与0 的关系，由抛物线与ݕ
轴的交点判断ܿ
与0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与ݔ轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判
断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴ܽ
< 0，
∵抛物线对称轴位于ݕ轴右侧，
∴ܽ、ܾ异号，即ܾܽ
< 0，
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∵抛物线与ݕ轴交于正半轴，
∴ܿ> 0，
∴ܾܽܿ
< 0，故①错误；
②当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
െܾ
ܿ
< 0，即ܾ
>ܽ
ܿ，故②错误；
③∵当ݔ= ʹ 时，
∴ݕ= Ͷܽʹܾܿ
> 0，即ܾ
>ܽ
ܿ，故③正确；
④∵抛物线对称轴为直线ݔ=െܾʹܽ= ͳ，
∴ܽ
=െܾʹ，
∵当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
െܾ
ܿ
< 0，
∴ݕ=െܾʹ െܾ
ܿ
< 0，
∴ʹܿ< ͵ܾ，故④正确；
⑤∵抛物线对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴函数的最大值为：ܾܽ
ܿ，
∴当݉
为任意实数时，有ܽ
ܾ
ܿ
ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܿ，
∴ܾܽ
ܽ݉
ʹ ܾ݉
，即ܽ
ܾ
݉ܽ݉
ܾ
，故⑤正确；
综上所述，正确的有③④⑤，共͵ 个，
故选：C．
4．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ（ܽͲܾͲܿ为常数，且്ܽ
0）的对称轴为直线ݔ=െʹ，与ݔ轴的一个交点
为ͳͲ0 ，则下列结论正确的是（
）
A．ܽെܾ
ܿ<0
B．ܾܽܿ
< 0
C．Ͷܾܽ
= 0
D．ͷܽܿ
= 0
【答案】D
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点
位置，确定a，b，c 的符号，再根据对称轴ݔ=െʹ、当ݔ=െͳ 和ݔ= ͳ 时ݕ的取值，即可确定相关式子是
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否正确．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ=െʹ，与ݔ轴的一个交点为ͳͲ0 ，与y 轴交于
正半轴，
ܽ
< 0，െܾʹܽ=െʹ，ܿ> 0，与ݔ轴的另一个交点为െͷͲ0 ，
ܾ
= Ͷܽ
< 0，
ܾܽܿ
> 0，Ͷܽെܾ
= 0，故B 选项和C 选项错误，不合题意；
由图可知，当ݔ=െͳ 时ݕ> 0，
ܽ
െܾ
ܿ
> 0，故A 选项错误，不合题意；
由图可知，当ݔ= ͳ 时ݕ= 0，
ܽ
ܾ
ܿ
= 0，
∵ܾ
= Ͷܽ，
∴ͷܽܿ
= 0，故D 选项正确，符合题意，
故选：D．
5．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图象如图所示，对称轴为直线ݔ= ͳ，且经过点͵Ͳ0ሻ，下列结论中正
确的是（
）
A．Ͷܽʹܾܿ
< 0
B．ܽܿ
> 0
C．ʹܾܽ
ܿ
< 0
D．当െͳ < ݔ< ͵ 时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象的开口方向、与
坐标轴的交点、对称轴位置、函数的增减性、特殊点的位置等进行逐项判断求解即可．
【详解】解：A、由图象知，当ݔ= ʹ 时，ݕ= Ͷܽʹܾܿ
> 0，故选项A 错误，不符合题意；
B、∵图象的开口向下，与y 轴的正半轴相交，其对称轴为直线ݔ=െܾʹܽ= ͳ，图象经过点െͳͲ0 ，
∴ܽ
< 0，ܾ
=െʹܽ
> 0，ܿ> 0，ܽെܾ
ܿ
= 0，
∴ܽܿ
=ܾ
> 0，故选项B 正确，符合题意；
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C、ʹܾܽ
ܿ
= ʹܽ
െʹܽܿ
=ܿ
> 0，故选项C 错误，不符合题意；
D、∵当ݔ< ͳ 时，y 随x 的增大而增大，当ݔ> ͳ 时，y 随x 的增大而减小，
∴当െͳ < ݔ< ͵ 时，y 随x 的增大而增大是错误的，故选项D 不符合题意；
故选：B．
6．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象如图所示，有下列4 个结论：①ܾܽܿ
< 0；②ܾ
<ܽ
ܿ；
③Ͷܽʹܾܿ
> 0；④ܾܽ
<݉ܽ݉
്ܾ݉
ͳ ，其中正确结论的序号为______．
【答案】①③
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线
的开口向下，与ݕ轴的交点位于ݕ轴正半轴上可得ܽ
< 0，ܿ> 0，再根据对称轴可得ܾ
=െʹܽ
> 0，由此即
可判断①正确；根据当ݔ=െͳ 时，ݕ< 0 即可判断②错误；根据ݔ= ʹ 时的函数值与ݔ= 0 时的函数值相
等可得当ݔ= ʹ 时，ݕ> 0，由此即可判断③正确；求出当ݔ= ͳ 时，ݕ取得最大值，最大值为ܽ
ܾ
ܿ，
由此即可判断④错误．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象的开口向下，与ݕ轴的交点位于ݕ轴正半轴上，
∴ܽ
< 0，ܿ> 0，
∵二次函数的对称轴为直线ݔ=െܾʹܽ= ͳ，
∴ܾ
=െʹܽ
> 0，
∴ܾܽܿ
< 0，则结论①正确；
由函数图象可知，当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
െܾ
ܿ
< 0，
∴ܾ
>ܽ
ܿ，则结论②错误；
由函数的对称性可知，ݔ= ʹ 时的函数值与ݔ= 0 时的函数值相等，
∴当ݔ= ʹ 时，ݕ= Ͷܽʹܾܿ
> 0，则结论③正确；
∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象的开口向下，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴当ݔ= ͳ 时，ݕ取得最大值，最大值为ܽ
ܾ
ܿ，
∵当ݔ=݉
时，ݕ=ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܿ，
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∴当്݉
ͳ 时，ܾܽ
ܿ
>ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܿ，
∴ܾܽ
>݉ܽ݉
്ܾ݉
ͳ ，则结论④错误；
综上，正确结论的序号为①③，
故答案为：①③．
重难点四利用系数判断函数的图象
1.先根据已知图象判断各项系数的正负性；
2.结合选项所给的图象进行逐一判断即可。
1．在同一坐标系中，一次函数ݕ= ݔܽ
与二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题．
根据ݕ= ݔܽ
可知C、D 错误，根据A、B 可判断出ܽ
的取值范围，进而判断即可．
【详解】解：∵ݕ= ݔܽ
，y 随x 的增大而增大，
∴C、D 错误；
∵A、B 中二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ开口均向下，
∴ܽ
< 0，
∴直线ݕ= ݔܽ
与ݕ轴交于负半轴，
∴A 错误、B 正确；
故选：B．
2．在同一平面直角坐标系中，二次函数ݕ=݇
ݔʹ（݇
为常数，且്݇
0）和一次函数ݕ=݇
ݔെʹ 的图像大致
是（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】解：当݇
> 0 时，则二次函数ݕ=݇
ݔʹ开口向上，一次函数ݕ=݇
ݔെʹ 图像经过第一、三、四象限，
故排除B、D；
当݇
< 0 时，则二次函数ݕ=݇
ݔʹ开口向下，一次函数ݕ=݇
ݔെʹ 图像经过第二、三、四象限，故排除A；
C 选项符合题意；
故选C．
3．一次函数ݕ=െ݉
ݔെ݊
的图象如图所示，则二次函数ݕ=݉
ݔെ݊
ʹ的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数ݕ=െ݉
ݔെ݊
的图象经过第一、二、四象限，
∴െ݉
< 0，െ݊
> 0，
∴݉
> 0，݊
< 0，
∵二次函数解析式为ݕ=݉
ݔെ݊
ʹ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线ݔ=݊
，即对称轴在y 轴左侧，
∴四个选项中，只有C 选项中的函数图象符合题意，
故选：C．
4．在同一直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܿ
与一次函数ݕ=ܽ
ݔܿ
的大致图象为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函
数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可．
【详解】解：当二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܿ
的图象开口向下，与ݕ轴交于正半轴，则ܽ
< 0，ܿ> 0，
此时一次函数ݕ=ܽ
ݔܿ
的图象过一、二、四象限，A、B 选项错误；
当二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܿ
的图象开口向上，与ݕ轴交于负半轴，则ܽ
> 0，ܿ< 0，
此时一次函数ݕ=ܽ
ݔܿ
的图象过一、三、四象限，C 选项正确、D 选项错误；
故选：C
5．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图象如图所示，则一次函数ݕ=ܽ
ݔܾܿ
的图象不经过第____________
象限
【答案】二/2
【分析】由抛物线的开口方向、与ݕ轴的交点以及对称轴，可确定ܽ
，ܾ，ܿ的符号，继而可判定一次函数ݕ=ܽ
ݔܾܿ
的图象不经过哪个象限即可．
【详解】解：∵开口向上，
ܽ
> 0，
∵与ݕ轴交于负半轴，
ܿ
< 0，
∵对称轴在ݕ轴左侧，
െܾʹܽ< 0，
又∵ܽ
> 0，
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ܾ
> 0，
ܾܿ
< 0，
一次函数ݕ=ܽ
ݔܾܿ
的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
系数符号由抛
物线开口方向、对称轴、抛物线与ݕ轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质．
6．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
和一次函数ݕ=݉
ݔ݊
的图象交于点െʹͲ0 和ͳͲݕ，如图所示，则ܽ
ݔʹ ܾ
ݔܿ
݉
ݔ݊
时，ݔ的取值范围是___________．
【答案】െʹ ݔͳ
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关
系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象
的位置关系求解即可．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
和一次函数ݕ=݉
ݔ݊
的图象交于点െʹͲ0 和ͳͲݕ，
两函数交点的横坐标分别为ݔͳ =െʹͲݔʹ = ͳ，
观察图象可得，当െʹ ݔͳ 时，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
图像位于一次函数ݕ=݉
ݔ݊
的图象的上方
（包括重合），即满足：ܽݔʹ ܾݔܿ
݉
ݔ݊
．
故答案为：െʹ ݔͳ．
重难点五对多个结论进行综合判断
1.逐条核对结论，综合运用a、b、c、Δ符号、特殊值、对称轴、增减性、最值知识；
2.遇到推导类结论用代换法化简，存在矛盾的结论直接判定错误。
1．如图，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象交ݔ轴于点ܣെͳͲ 0 ，点ܤ͵Ͳ 0 ，与ݕ轴交于点ܥ，下
列结论：①ܾܽܿ
> 0；②当ݔ> ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而增大；③ܽܿ
> 0；④ܵᇞܣ晦ܥǣܵᇞܣܤܥ= ͳǣ͵；其中
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正确结论的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二
次函数的图象经过ܣെͳͲ0ሻ，ܤ͵Ͳ0ሻ，可得到对称轴，并将െͳͲ0ሻ代入解析式得到b、c 与a 的关系，及ܽ
> 0
从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a 和c 的关系即可；④由题意得到晦ܣǣ晦ܤ= ͳǣ͵
即可判断；
【详解】解：∵二次函数的图象经过ܣെͳͲ0ሻ，ܤ͵Ͳ0ሻ，
∴对称轴ݔ=െܾʹܽ=
െͳ͵
ʹ
= ͳͲܽെܾ
ܿ
= 0，
∴ܾ
=െʹܽ，ܿ=െ͵ܽ，
∵二次函数的图象开口向上，
∴ܽ
> 0，
∴ܿ=െ͵ܽ
< 0，ܾ
=െʹܽ
< 0，
∴ܾܽܿ
> 0，故①正确；
∵二次函数的图象开口向上，对称轴ݔ=െܾʹܽ= ͳ，
∴当ݔ> ͳ 时，y 随x 的增大而增大；故②正确；
∵ܾ
=െʹܽ，
当ݔ=െʹ 时，ݕ> 0，
∴Ͷܽെʹܾܿ
= ͶܽͶܽܿ
= ܽܿ
> 0，故③正确；
∵ܣെͳͲ0ሻ，ܤ͵Ͳ0ሻ，
∴晦ܣ= ͳͲ晦ܤ= ͵，
∴晦ܣǣ晦ܤ= ͳǣ͵，
∴晦ܣǣܣܤ= ͳǣͶ，
∵ܵᇞܣ晦ܥ=
ͳ
ʹ 晦ܥ晦ܣͲܵᇞܣܤܥ=
ͳ
ʹ 晦ܥܣܤ，
∴ܵᇞܣ晦ܥǣܵᇞܣܤܥ= ͳǣͶ，故④错误；
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正确的是①②③共3 个．
故选：C．
2．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
与x 轴交于点ܣെͳͲ0 ，顶点坐标ͳͲ݊
，与y 轴的交点在0Ͳ െʹ ，0Ͳ െ͵
之间（包含端点），下列结论：①͵ܾܽ
< 0 ；②
ʹ
͵ ܽ
ͳ ；③对于任意实数m，ܾܽ
݉ܽ݉
ܾ
总成立；④关于x 的方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=݊
െͳ 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点ܣ坐标可得ܾ
=െʹܽͲܿ=െ͵ܽ
，利用ܿ
的范围求ܽ
的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，ܽ
> 0 ，对称轴为直线ݔ=െܾʹܽ= ͳ ，
∴ܾ
=െʹܽ
，
∴͵ܾܽ
= ͵ܽ
െʹܽ
=ܽ
> 0 ，
故①错误；
∵抛物线过点ܣെͳͲ0ሻ，
∴ܽെܾ
ܿ
= 0 ，即ܽ
െെʹܽሻܿ
= 0 ，
∴ܿ=െ͵ܽ
，
∵െ͵ ܿ
െʹ ，
∴െ͵ െ͵ܽ
െʹ ，
∴
ʹ
͵ ܽ
ͳ ，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴当ݔ= ͳ 时，ݕ有最小值ܽ
ܾ
ܿ
，
∴对于任意实数݉
，都有ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܿ
ܽ
ܾ
ܿ
，
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∴ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܽ
ܾ
，即ܽ
ܾ
݉
ܽ݉
ܾ
ሻ，
故③正确；
抛物线顶点坐标为ͳͲ݊ሻ，且开口向上，
∴ݕ的最小值为݊
，
∴直线ݕ=݊
െͳ 与抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
没有交点，
∴关于ݔ的方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=݊
െͳ 没有实数根，
故④错误．
综上所述，正确的结论有②，共2 个．
3．如图，点ܲ
是抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ（്ܽ
0）的顶点．下列结论正确的是（
）
A．ʹܾܽ
= 0
B．െ
͵
Ͷ <ܽ
<െ
ͳ
ʹ
C．对任意实数ݐ，ܽݐʹ ܾݐ< Ͷܽʹܾ
总成立
D．若点ܣͳ െ݉
Ͳݕͳሻ，ܤͳ ݉
Ͳݕʹሻ在抛物线上，则ݕͳ < ݕʹ
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与ݕ轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判
断选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则ܽ
< 0.
∵顶点ܲ
的坐标为ʹͲ͵ሻ，
对称轴为直线ݔ= ʹ，即െܾʹܽ= ʹ，
ܾ
=െͶܽ，即Ͷܾܽ
= 0，故A 错误；
设抛物线的解析式为ݕ=ܽ
ݔെʹሻʹ ͵ .
令ݔ= 0，得ݕ= Ͷܽ͵，即抛物线与ݕ轴的交点坐标为0ͲͶܽ͵ሻ.
由图象可知，抛物线与ݕ轴的交点在ݔ轴上方且在ݕ= ͳ 的下方，
0 < Ͷܽ͵ < ͳ，解得െ
͵
Ͷ <ܽ
<െ
ͳ
ʹ，故B 正确；
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根据图象得：当ݔ= ʹ 时，ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
取得最大值为：ݕ= Ͷܽʹܾܿ，
对任意实数ݐ，ܽݐʹ ܾݐܿ
Ͷܽʹܾܿ，
∴ܽݐʹ ܾݐͶܽʹܾ，故C 错误；
∵对称轴为ݔ= ʹ，
∴ͳ െ݉
െʹ =݉
ͳ ，ͳ ݉
െʹ =݉
െͳ ，
当݉
= 0 时，两点到对称轴的距离相等，ݕͳ = ݕʹ，故D 错误．
4．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．ܾܽܿ
< 0
B．若ܽ
ݔͳ
ʹ ܾݔͳ =ܽ
ݔʹ
ʹ ܾݔʹ，且ݔͳ്
ݔʹ，则ݔͳ ݔʹ = ʹ
C．ܽെܾ
ܿ
< 0
D．ʹܽെܾ
= 0
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
利用二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得：图象开口向上，交于ݕ轴负半轴，则ܽ
> 0、ܿ< 0，
对称轴ݔ=െܾʹܽ= ͳ，即ܾ
=െʹܽ
< 0、ʹܾܽ
= 0，
则ܾܽܿ
> 0，
故A、D 错误；
∵ܽ
ݔͳ
ʹ ܾݔͳ =ܽ
ݔʹ
ʹ ܾݔʹ，
ܽ
ݔͳ
ʹ ܾݔͳ ܿ
=ܽ
ݔʹ
ʹ ܾݔʹ ܿ，
即ݔ= ݔͳ与ݔ= ݔʹ的函数值相等，
∵ݔͳ്
ݔʹ
ݔͳ、ݔʹ关于对称轴ݔ= ͳ 对称，
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ݔͳݔʹ
ʹ
= ͳ，
ݔͳ ݔʹ = ʹ，
故B 正确；
由对称轴ݔ= ͳ，结合图象发现，ݔ=െͳ 时，对应的函数值大于零，
令ݔ=െͳ，则ݕ=ܽ
െܾ
ܿ
> 0，
故C 错误；
故选：B．
5．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图象如图所示，其对称轴为直线ݔ=െͳ，则下列结论正确的是（
）
①ܾܽܿ
< 0，②Ͷܽܿ
<ܾ
ʹ，③ܽ
ܿ
>ܾ
，④ܽ
െܿ
> 0．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断ܽ
与0 的关系，由抛物线与y 轴的
交点判断ܿ
与0 的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数
的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上，
∴ܽ
> 0，
∵对称轴在ݕ轴左侧，
∴对称轴为ݔ=െܾʹܽ< 0，
∵ܽ
> 0，
∴ܾ
> 0，
∵抛物线与ݕ轴的交点在ݕ轴的负半轴上，
∴ܿ< 0，
∴ܾܽܿ
< 0，故①正确；
②由图象可知，该抛物线与ݔ轴有两个不同的交点，
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∴ܾʹ െͶܽܿ
> 0，即Ͷܽܿ
<ܾ
ʹ，故②正确；
③当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
െܾ
ܿ
< 0，
∴ܽܿ
<ܾ
，故③错误；
④∵抛物线的开口方向向上，
∴ܽ
> 0，
∵抛物线与ݕ轴的交点在ݕ轴的负半轴上，
∴ܿ< 0，
∴ܽെܿ
> 0，故④正确，
综上可知：①②④正确，
故选：B．
6．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的部分图像如图所示，对称轴为直线ݔ=െͳ，直线ݕ=݇
ݔܿ
与抛物线都经过
点െ͵Ͳ0 ．下列说法：①ܾܽ
> 0；②Ͷܽܿ
< 0；③若െʹͲݕͳ 与
ͳ
ʹ Ͳݕʹ 是抛物线上的两个点，ݕͳ < ݕʹ；
④方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
= 0 的两根为ݔͳ =െ͵，ݔʹ = ͳ；⑤当ݔ=െͳ 时，函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾ
െ݇
ݔ有最大值．其
中正确的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性
质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ，开口向下，可得ܽ
< 0，ܾ= ʹܽ
< 0，故①正确；根据抛物线过点െ͵Ͳ0ሻ，
可得ͺܽെ͵ܾܿ
= 0，从而得到͵ܽܿ
= 0，进而得Ͷܽܿ
=ܽ
< 0，故②正确；由抛物线的对称轴为直
线ݔ=െͳ，开口向下，可得当ݔ>െͳ 时，y 随x 的增大而减小，െʹͲݕͳ 关于对称轴的对称点为0Ͳݕͳ ，可
得到ݕͳ > ݕʹ，故③错误；对称性求出抛物线与ݔ轴的另一个交点的坐标，得到方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
= 0 的两
根为ݔͳ =െ͵，ݔʹ = ͳ，故④正确；根据二次函数的性质可得当ݔ=െܾ
െ݇
ʹܽ时，函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾ
െ݇
ݔ有最
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大值，再由直线经过点െ͵Ͳ0ሻ，可得݇
=
ͳ
͵ܿ，从而得到݇
=െܽ，进而得到ݔ=െܾ
െ݇
ʹܽ
=െ
͵
ʹ，故⑤错误，即
可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ，开口向下，
∴ܽ
< 0Ͳ െܾʹܽ=െͳ，
∴ܾ
= ʹܽ
< 0，
∴ܾܽ
> 0，故①正确；
∵抛物线过点െ͵Ͳ0ሻ，
∴ͺܽെ͵ܾܿ
= 0，
∵ܾ
= ʹܽ，
∴ͺܽെ͵ ൈʹܽܿ
= 0，即͵ܽܿ
= 0，
∵ܽ
< 0，
∴Ͷܽܿ
=ܽ
< 0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ，开口向下，
∴当ݔ>െͳ 时，y 随x 的增大而减小，െʹͲݕͳ 关于对称轴的对称点为0Ͳݕͳ ，
∵െͳ < 0 <
ͳ
ʹ，
∴ݕͳ > ݕʹ，故③错误；
∵抛物线过点െ͵Ͳ0 ，对称轴为直线ݔ=െͳ，
∴抛物线与ݔ轴的另一个交点坐标为ͳͲ0 ，
∴方程ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
= 0 的两根为ݔͳ =െ͵Ͳݔʹ = ͳ，故④正确；
ݕ=ܽ
ݔʹ ܾ
െ݇
ݔ=ܽ
ݔܾ
െ݇
ʹܽ
ʹ
െܾ
െ݇
ʹ
Ͷܽ
，
∵ܽ
< 0，
∴当ݔ=െܾ
െ݇
ʹܽ时，函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾ
െ݇
ݔ有最大值，
∵直线经过点െ͵Ͳ0ሻ，
∴െ͵݇ܿ
= 0，即݇
=
ͳ
͵ܿ，
∵͵ܽܿ
= 0，
∴ܿ=െ͵ܽ，
∴݇
=െܽ，
小学
初中
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∵ܾ
= ʹܽ，
∴ݔ=െܾ
െ݇
ʹܽ
=െ
͵
ʹ，
∴当ݔ=െ
͵
ʹ时，函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾ
െ݇
ݔ有最大值，故⑤错误；
∴正确的有3 个．
故选：B
7．如图，已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 的图象与ݔ轴交于点ܣെͳͲ0 ，与ݕ轴的交点在0Ͳ െʹ
和0Ͳ െͳ 之间（不包括这两个点），对称轴为直线ݔ= ͳ，下列结论：①Ͷܽʹܾܿ
> 0；②Ͷܽܿ
െܾ
ʹ < ܽ；
③
ͳ
͵ <ܽ
<
ʹ
͵；④ܾ
>ܿ；其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔ്ܿܽ
0 系数符号由抛物线开口
方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线
与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x 轴交于点ܣെͳͲ0 ，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴图象与x 轴的另一个交点为͵Ͳ0 ，
∴当ݔ= ʹ 时，ݕ< 0，
∴Ͷܽʹܾܿ
< 0，故①错误；
②∵函数开口方向向上，
∴ܽ
> 0，
∵抛物线与y 轴交点在0Ͳ െʹ 和0Ͳ െͳ 之间，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴顶点纵坐标要小于െͳ，
∴
Ͷܽܿ
െܾʹ
Ͷܽ
<െͳ，且ܽ
> 0，
∴Ͷܽܿ
െܾ
ʹ <െͶܽ
< ܽ，故②正确；
③∵图象与y 轴的交点在0Ͳ െʹ 和0Ͳ െͳ 之间，
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∴െʹ <ܿ
<െͳ，
∵图象与x 轴交于点ܣെͳͲ0 和͵Ͳ0 ，
∴ܽݔʹ ܾݔܿ
= 0 的两根为െͳ 和3，
由根与系数关系可知：ܿܽ=െͳ ൈ͵，
∴ܿ=െ͵ܽ，
∴െʹ <െ͵ܽ
<െͳ，
∴
ͳ
͵ <ܽ
<
ʹ
͵，故③正确；
④∵对称轴为直线ݔ=െܾʹܽ= ͳ，
∴ܾ
=െʹܽ，
∵ܽ
> 0，ܿ=െ͵ܽ，
∴ܾ
>ܿ，故④正确．
综上所述，正确的有②③④．
故选：②③④．
8．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿܽ
<0 与ݔ轴交于ܣͲܤ两点，与ݕ轴的正半轴交于点ܥ，对称轴是直线ݔ=െͳ，
其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当്݉
െͳ 时，ܽെܾ
>ܽ݉
ʹ ܾ݉
．
②若ܽ
ݔͳ
ʹ ܾݔͳ =ܽ
ݔʹ
ʹ ܾݔʹ且ݔͳ്
ݔʹ，则ݔͳ ݔʹ = ʹ；
③若晦ܣ= 晦ܥ，则晦ܤ=െ
ͳܽ；
④若ܤͳͲ0 ，ܥ0Ͳ͵ ，连接ܣܥ，点ܲ
在抛物线的对称轴上，且סܲܥܣ= ͺ0ι，则ܲ
െͳͲͶ ．
其中正确的有_____．
【答案】①③④
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ=െͳ，得到当ݔ=െͳ 时，ݕ最大值=ܽ
െܾ
ܿ，可判断①；
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根据题意可得直线ݔ= ݔͳ和直线ݔ= ݔʹ关于对称轴对称，则ݔͳ ݔʹ =െʹ，可判断②；先由对称轴公式得
到ܾ
= ʹܽ，再由晦ܣ= 晦ܥ，得ܣെܿͲ0 ，ܤܿ
െʹͲ0 ，把ܣെܿͲ0 代入抛物线解析式中求出ܿ
=
ʹܽെͳܽ，则点
ܤെ
ͳܽͲ0 ，可判断③；先求出ܣെ͵Ͳ0 ，设ܲ
െͳͲ݉
，利用勾股定理得ܲ
ܥʹ ܣܥʹ =ܲ
ܣʹ，则݉
ʹ െ耀݉
ͳ0
ͳ=݉
ʹ Ͷ，解得݉
= Ͷ，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ=െͳ，
∴当ݔ=െͳ 时，ݕ最大值=ܽ
െܾ
ܿ，
∴当്݉
െͳ 时，ܽെܾ
ܿ
>ܽ݉
ʹ ܾ݉
ܿ，即ܽ
െܾ
>ܽ݉
ʹ ܾ݉
，故①正确；
当ܽ
ݔͳ
ʹ ܾݔͳ =ܽ
ݔʹ
ʹ ܾݔʹ且ݔͳ്
ݔʹ时，则直线ݔ= ݔͳ和直线ݔ= ݔʹ关于对称轴对称， ݔͳ ݔʹ =െʹ，故
②错误；
∵抛物线对称轴为直线ݔ=െͳ，
െܾʹܽ=െͳ，
ܾ
= ʹܽ，
∵晦ܣ= 晦ܥ，
ܣെܿͲ0 ，
∴点ܤ的坐标为ܿ
െʹͲ0 ，
把ܣെܿͲ0 代入抛物线解析式中得ܽܿ
ʹ െʹܽܿ
ܿ
= 0，ܿ
=
ʹܽെͳܽ，
ܿ
െʹ =െ
ͳܽ，
∴点ܤ的坐标为െ
ͳܽͲ0 ，晦ܤ=െ
ͳܽ，故③正确；
∵ܤͳͲ0 ，抛物线对称轴为直线ݔ=െͳ，
ܣെ͵Ͳ0 ，设ܲ
െͳͲ݉
ሻ，
ܲ
ܣʹ = ሾെͳ െെ͵ሻ䁩ʹ ݉
െ0ሻʹ =݉
ʹ Ͷ，ܲܥʹ = െͳ െ0ሻʹ ݉
െ͵ሻʹ =݉
ʹ െ耀݉
ͳ0，ܣܥʹ = െ
͵ െ0ሻʹ 0 െ͵ሻʹ = ͳ，
∵סܲܥܣ= ͺ0ι，
ܲ
ܥʹ ܣܥʹ =ܲ
ܣʹ，
݉
ʹ െ耀݉
ͳ0 ͳ=݉
ʹ Ͷ，解得݉
= Ͷ，
ܲ
െͳͲͶ ，故④正确．
故答案为①③④．
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【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的
交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键．
9．如图所示，已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，对称轴为直
线ݔ= ͳ，直线ݕ=െݔܿ
与抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，
则下列结论：①ܾܽܿ
< 0；②ܾʹ െͶܽܿ
< 0；③ܽെܾ
ܿ<0；④ʹܾܽ
= 0；⑤ܽݔʹ ܾ
ͳ ݔ= 0 的根
为ݔͳ = 0Ͳݔʹ = ͵．其中正确的是_______(填序号)．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，注意数形结合；利用抛物线与y 轴的交点位置得到ܿ
> 0，
抛物线开口向下得ܽ
< 0，利用对称轴在y 轴的右侧得ܾ
> 0，于是可对①进行判断；根据抛物线与ݔ轴的
交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点െͳͲ0 右侧，则当ݔ=
െͳ 时，ݕ< 0，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ 可判断④；将方程ܽ
ݔʹ ܾ
ͳ ݔ= 0 变形为ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=െݔܿ，根据交点坐标可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴ܿ> 0，
∵抛物线开口向下，
∴ܽ
< 0，
又抛物线的对称轴在y 轴的右侧，
∴ܾ
> 0，
∴ܾܽܿ
< 0，所以①正确；
∵抛物线与ݔ轴有两个交点，
∴ܾʹ െͶܽܿ
> 0，所以②错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点͵Ͳ0 左侧，
而抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点െͳͲ0 右侧，
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∴当ݔ=െͳ 时，ݕ< 0，
∴ܽെܾ
ܿ
< 0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴െܾʹܽ= ͳ，
∴ʹܾܽ
= 0，所以④正确；
由ܽ
ݔʹ ܾ
ͳ ݔ= 0 可得ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
=െݔܿ，
∵直线ݕ=െݔܿ
与抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ ܾݔܿ
交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标不一定为3，
只有当ܽ
=െͳ 时，则ܾ
= ʹ，此时点D 的横坐标为3，否则不为3，
∴方程ܽ
ݔʹ ܾ
ͳ ݔ= 0 的一个根为0，另一个根不一定为3，所以⑤错误．
综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
