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专题05 圆锥曲线之焦点三角形
1．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：
(a>0，b>0)的左右焦点分别为
､
，
，离心率为
.P 是C 上一点，且
⊥
.若
的面积为4，则a=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】
（技巧法）
（常规法）
，
，由椭圆定义，
，
由
⊥
得
，
的面积为4，则
，即
，
，即
,解得
，即
，故选：C.
2．（2020·伊美区第二中学）设
是双曲线
的两个焦点,
是双曲线上的一点,且
,则
的面积等于（ ）
A．
B．
C．24
D．48
【答案】C
1
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【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为
.根据题意和双曲线的定义知
,所以
,
,
所以
,所以
.所以
.
故选：C
3．（2023·四川凉山·统考一模）已知点
在椭圆
上，
，
是椭圆的左、右焦点，
若
，且
的面积为2，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.
【详解】
如图所示：
设
，由题意
，
，
两式相比得
，
又
，且
，
所以
，
而由余弦定理有
，即
2
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，
且由椭圆定义有
，
所以
，解得
.
故选：C.
4．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为
上一
动点，且
，若
为
的内心，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由等面积法求出内切圆的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积．
【详解】由椭圆的方程可得
，
，
，
设内切圆的半径为，则
，
可得
，
而
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，即
．
故选：C．
3
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5．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知椭圆
的焦点为
、
，直线
与椭圆
相交于
、
两点，当三角形
为直角三角形时，椭圆
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
，根据直角三角形的几何性质可得出
，可得出关于
、的齐次等式，可得出关
于的二次方程，结合
可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】将
代入椭圆方程
的方程得
，可得
，则
，
由对称性可知
，当三角形
为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，
因为
为线段
的中点，则
，可得
，即
，
等式
两边同时除以
可得
，
因为
，解得
.
故选：B.
6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l 与椭圆
相切于点P，与圆
交于A，B 两点，圆
在点A，B 处的切线交于点Q，O 为坐标原点，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】由
，
，
，
四点共圆，结合圆与圆的位置关系得出相交弦方程
，再由
与椭圆相切，
可得过
的切线方程，从而得出
，
，再由椭圆的参数方程和向量的运算，结合正弦函数的性
质求出最大值．
4
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【详解】设
，
，由
，
，可得四点
，
，
，
共圆，
可得以
为直径的圆，方程为
，
联立圆
，相减可得
的方程为
，
又
与椭圆相切，若
不与
轴垂直时，
当
时，
可化为
，
设
，在
的切线方程为
，
即
，同理可得
时，在
的切线方程为
，
若
轴时，在点
处的切线方程为
，满足
故过
的切线方程为
，即为
，
由两直线重合的条件可得
，
，
由于
在椭圆上，可设
，
，
，
即有
，
，
可得
，
且
，
，
即有
，
当
即
或
或
或
时，
的面积取得最大值
．
故选：
．
5
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【点睛】关键点睛：在求面积的最大值时，关键在于利用椭圆的参数方程设出点
的坐标，进而结合三角
恒等变换以及正弦函数的性质得出面积的最大值.
7．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，
关于直线
的对称点为M，
关于直线
的对称点为N，当
最大时，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定
，
，
，当M，N，P 三点共线时
的值最大，计算
，根据余弦定理得到
，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得
，
，连接PM，PN，
则
，所以当M，N，P 三点共线时
的值最大，
此时
，
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，可得
，
6
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所以
，
故选：D
8．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆
的左、右两个焦点分别为
、
，
为坐标原点，点
在
椭圆上，且
，则
的面积（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，根据点
在椭圆上以及
可得出关于
、
的方程组，求出
的值，即
可求得
的面积.
【详解】在椭圆
中，
，
，
，则
，
设
，由点
在椭圆上且
，得
，解得
.
所以
.
故选：B.
9．（2020·福建·统考模拟预测）已知
是椭圆
的左焦点，过
且与
轴垂直的直线与
交于
，
两点，点
与
关于原点
对称，则
的面积为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆
，求得
，进而求得
坐标，再由点
与
关于原点
对称，得
到
坐标，可得
的长度及点
到直线
的距离，然后由三角形面积公式求解.
【详解】因为椭圆
，
7
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所以
，
因为过
且与
轴垂直的直线与
交于
，
两点，
所以
，
因为点
与
关于原点
对称，
所以
，
所以
，点
到直线
的距离为2，
所以
的面积为
.
故选：B
【点睛】本题考查直线与题意的位置关系以及对称问题和三角形面积问题，还考查了运算求解能力，属于
中档题.
10．（2019·浙江·校联考一模）已知椭圆
：
上的三点
，
，
，斜率为负数的直线
与
轴交于
，若原点
是
的重心，且
与
的面积之比为
，则直线
的斜率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，
直线BC 的方程为
．可得
，
；联立
，利用原点
是△ABC 的重心，得
8
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，
．由
，
．由此可得
，∵
．
∴
．
【详解】设
，
．
．
，直线
的方程为
.
∵原点
是
的重心，∴
与
的高之比为，
又
与
的面积之比为
，则
.即
，
…①
联立
.
，
…②，由①②整理可得：
…③
∵原点
是
的重心，∴
，
.
∵
，∴
…④．
由③④可得
，∵
．∴
.
故选C．
【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了计算能力、转化思想，
属于中档题．
11．（2018·河北衡水·统考一模）已知点
为椭圆
：
上一点，
是椭圆
的
9
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两个焦点，如
的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由椭圆的定义可知
的周长为
，设三角形
内切圆半径为 ，所以
的
面积
，整理得
，又
，故得
椭圆
的离心
率为
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个
重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出
，从而求出;②构造
的齐次式，求出
;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角
形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出
之间的关系，求出离心率．
12．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲
线右支上一点，且
的延长线交
轴于点
，且
，
的内切圆半径为4，
的面
积为9，则
（ ）
10
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A．18
B．32
C．50
D．14
【答案】C
【分析】由双曲线的定义，结合直角三角形内切圆半径的求法及相似三角形对应线段成比例求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以
为直角三角形，
所以
，因为
，
所以
．
因为
的面积为9，所以
，
因为
，
所以
，所以
．
易知
，所以
，
所以
．
故选：C.
13．（2023·陕西·统考一模）已知
，
分别为双曲线
的左､右焦点，且
，点P 为双
曲线右支上一点，M 为
的内心，若
成立，则λ 的值为（ ）
11
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A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据
，可得
，从而可求得离心率，设
的内切圆半径为，根据
，可得
，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，所以离心率
，
设
的内切圆半径为，
则
，
又
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【点睛】根据
，得出
是解决本题的关键所在.
12
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14．（2022·天津河东·统考一模）已知双曲线
的焦点为
、
，抛
物线
的准线与
交于
、
两点，且三角形
为正三角形，则双曲线
的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得
，
，由
可得出关于
、的齐次等式，结合
可求得的值，即可得解.
【详解】抛物线
的标准方程为
，该抛物线的准线方程为
，
联立
可得
，所以，
，
因为
为等边三角形，且
为
的中点，则
且
，
所以，
，即
，即
，
所以，
，因为
，解得
.
故选：A.
15．（2021·河北唐山·统考三模）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
、
，O 为坐标原点，
点P 在C 的一条渐近线上，若
，则
的面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
13
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【分析】由题设条件写出焦点
、
的坐标，再根据点P 在C 的一条渐近线上且
求出点P 的纵
坐标而得解.
【详解】双曲线C：
中，
，
，渐近线方程：
，
因
，则点P 在线段
的中垂线：
上，则P 点纵坐标y0有
，
所以
面积
.
故选：C
16．（2019·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）已知双曲线
（
，
）的渐近线与圆
相切，且过双曲线的右焦点
与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A，B，
的面积为
，则双曲线的实轴的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据渐近线与圆相切求得
，再根据
的面积得到等式，联立方程，即可求解.
【详解】设双曲线
（
）的渐近线方程为
，
圆
的圆心坐标为
，半径为，
可得
，解得
，
所以渐近线方程为
，即
，即
，
将
代入双曲线的方程，得
，整理得
，所以
，
14
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又由
的面积为
，即
，即
联立方程组
，解得
，
所以双曲线的实轴的长为
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的综合应用，着
重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
17．（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）（多选题）椭圆
的标准方程为
为椭圆的
左、右焦点，点
．
的内切圆圆心为
，与
分别相切于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解
，再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.
【详解】椭圆
：
，则
，所以
，
又
，所以点
再椭圆上，
连接
，
15
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则
，故A 不正确；
由椭圆的定义可得
，
又
的内切圆圆心为
，所以内切圆半径
，
由于
，
所以
，
故
，故C 正确；
又
，
所以
，
则
，所以
，故D 正确；
又
，所以
，
又
，所以
，即
，故B 正确.
故选：BCD.
18．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知双曲线C：
的一条渐近线与直线
垂直，焦距为
，P 是双曲线右支上任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线
分别相交于点A，B，O 是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
16
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A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．
的面积为定值
D．
的最小值为
【答案】AC
【分析】根据垂直关系可得渐近线斜率，结合焦距即可求解
，进而可判断AB ,联立直线与双曲线方
程，根据韦达定理，结合弦长公式求解面积，即可判断C，根据基本不等式即可判断D.
【详解】选项A，B：由题意得双曲线的一条渐近线的斜率为
，又焦距为
，所以
得
,
因此双曲线的方程为
，离心率
，故选项A 正确，选项B 错误；
选项C：设
，易知双曲线的渐近线的方程为
，
则由
，解得
，不妨取
，
同理可得
，
则
，
，
（另解：
，
）
于是
，
17
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由于点P 在双曲线上，所以
，因此
，
所以
的面积
，
由于
是定值，所以
也为定值，故选项C 正确；
选项D：易知
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
，故选项D 错误．
故选：AC
19．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选题）如图，已知双曲线：
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接
，
，
与双曲线左支交于点P，与渐
近线分别交于点M，N，则（ ）
18
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A．
B．
C．过
的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B 到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【分析】由
，若
结合已知可得
，设
且
，应用点在双曲线
上、两点距离公式求
坐标，写出直线
求出
坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设
，若
，则
，
，即
，可得
，
若
且
，则
，可得
，故
，
所以，直线
为
，即
，而渐近线为
，
所以
，
，则
，
又
，可得
（舍）或
，故
，
所以
，即
，A 正确；而
，B 错误；
令
，则
，可得
，故过
垂直于x 轴所得弦长为8，
而过
和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过
的双曲线的最短弦为2，C 错误；
19
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由
到
的距离为
，
到
的距离为
，
所以B 到两条渐近线的距离的积为
，D 正确.
故选：AD
20．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选题）已知双曲线
（
，
）的上、下焦点分别为
、
，过点
且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P，
垂足为A，且
，O 为坐标原点，则（ ）
A．双曲线C 的渐近线方程为
B．双曲线C 的离心率为
C．三角形
的面积为
D．直线l 被以
为直径的圆截得的弦长为
【答案】BC
【分析】利用双曲线的定义、渐近线方程、离心率公式及平面几何的相关知识解决本题.
【详解】设焦距为2c，不妨取C 的一条渐近线
，则直线
，
垂足为A，易知
，
，
因为
，由双曲线的定义可知
，
设线段
的中点为E，则
，所以
，
，
在
中，
，即
，得
，故双曲线的渐近线方程为
，A 错误；
，解得
，B 正确；
20
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，C 正确；
设直线l 被以
为直径的圆截得的弦为MN，易知点A 即为MN 中点，故
，D 错误．
故选：BC．
21．（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是
上异
于顶点的一点，
为坐标原点，
为线段
的中点，
的平分线与直线
交于点
，当四边形
的面积为
时，
．
【答案】
【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.
【详解】
由题可知
，
．
因为
平分
，所以
到
，
的距离相等，
设为，则
．
易知
是
的中位线，延长
，
交于点
，则
为
的中点，
21
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过
作
于
，
易得
，则
，从而
．
故答案为：
22．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆
，
，
分别为其左、
右焦点，以
为直径的圆与椭圆E 在第一象限交于点P，在第三象限交于点Q．若
的面积为
，
则
．
【答案】
/
【分析】通过
的位置关系可以判断出PQ 为圆O 的直径，由此易知四边形
为矩形，将
转
化为焦点三角形的面积后即可判断出
之间的关系，进行求解.
【详解】如下图所示：
由对称性知PQ 为圆O 的直径，所以
．又因为
，
，所以四边形
为矩
形，所以
．因为
，
，所以
，
22
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，
，
则
．
故答案为：
【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常
利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c 的关系．
23．（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知椭圆C：
，左、右焦点分别为
、
，
是椭圆C 上位于第一象限内的点且满足
，延长
交椭圆C 于点Q， 则△
的内切圆半径是
．
【答案】
【详解】由椭圆的性质知，
23
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,
．
而直角△
的内切圆半径是
,
在△
中,
，
．
因为
，即
，
所以
,可得
，
所以在△
中,
，
可得
，
解得：
，
则
的内切圆半径是
．
【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆基本量的计算问题，焦点三角形问题是椭圆中的常见题型，本题的切
入口是利用面积和求内切圆的半径。此题属于中档题.
24．（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考二模）已知
，
分别为其左右焦点，
为
上任意一点，
为
平分线与
轴交点，过
作
垂线，垂足分别为
，求
的
最大值 ．
【答案】
【解析】设
，
，
，计算
，化简得到
，再计算最值得到答案.
24
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【详解】设
，
，
，
故
，故
，
，
故
.
当
为上下顶点时，
，
，等号成立.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了椭圆内的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
25．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线
：
（
）的离心率为3，
焦点分别为
，
，点
在双曲线
上.若
的周长为
，则
的面积是 .
【答案】
【分析】设
，由
的周长为
，得到
，再由双曲线的定义得到
，联立解得m，n，然后在
中，利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】解：设
，
因为双曲线
：
（
）的离心率为3，
所以
，即
，
又
的周长为
，
25
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所以
，
由双曲线的定义得
，
解得
，
由余弦定理得
，
则
，
所以
，
故答案为：
26．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，离心
率为2，焦点到渐近线的距离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
两点，若
分别为
与
的内心，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程和几何关系即可求解.
【详解】设半焦距为，
由题意知
，
，
所以
，
所以
，
26
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双曲线
.
记
的内切圆与边
，
，
分别相切于点
，
则
横坐标相等，
则
，
，
，
由
，
即
，
得
，
即
，
记
的横坐标为
，
则
，
于是
，得
，
同理内心
的横坐标也为
，则
轴.
设直线
的倾斜角为
，
则
，
27
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在
中，
，
由于直线与
的右支有2 个交点，且一条渐近线的斜率为
，倾斜角为
，
可得
，
即
，
可得
的范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据双曲线的定义结合三角形内切圆的性质得到
的表达式，然后
结合三角函数的性质即得.
27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线
的左、右
焦点分别为
，
，过
且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A，B 两点，
，
分别交y 轴于
P，Q 两点，若
的周长为16，则
的最大值为 .
【答案】4
28
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【分析】由双曲线定义可得
，分析可得
为
的中位线，结合
、
的周长关系可得
，AB 为双曲线的通径即
，联立上式可得
，则
可由均值不等式求二次商式最大值.
【详解】∵
轴且过
，则AB 为双曲线的通径，由
，代入双曲线可得
，故
.
为
的中点，
，则
为
的中位线，故
，
又
的周长为
，则
的周长为
①，
∵
②，
故由①②可得
，即
，可得
.
故
，当且仅当
即
时取等号.
故答案为：4
29
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28．（2022·陕西·统考二模）已知椭圆
，双曲线
的离心率互为倒
数，
，
为双曲线
的左、右焦点，设点M 为
的渐近线上的一点，若
（O 为坐标原
点），
的面积为16，则
的方程为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的离心率求得双曲线的离心率，从而求得双曲线渐近线的方程，根据
以及
的面积列方程，化简求得
，从而求得
的方程.
【详解】椭圆
的离心率为
，
所以双曲线的离心率为
，
不妨设
在直线
上，设
，则
，设
，
，
则
，
∵
，∴
.整理得
①，
依题意：
，即：
②，
①②联立得
.
∴
，
，
，
∴
的方程为：
.
30
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故答案为：
29．（2021·上海徐汇·统考一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，直线与
的左、
右支分别交于点
、
（
、
均在
轴上方）.若直线
、
的斜率均为
，且四边形
的面积
为
，则
.
【答案】
【分析】设点
关于原点的对称点为点
，连接
，分析可知四边形
为平行四边形，可得出
，设
，可得出直线
的方程为
，设点
、
，将直线
的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出
的取值范围，利用三角形的面积公式可求得
的值，
即可求得
的值.
【详解】解：设点
关于原点的对称点为点
，连接
，如下图所示：
在双曲线
中，
，
，则
，即点
、
，
因为原点
为
、
的中点，则四边形
为平行四边形，所以，
且
，
31
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因为
，故
、
、
三点共线，
所以，
，故
，
由题意可知，
，设
，则直线
的方程为
，设点
、
，
联立
，可得
，
所以，
，可得
，
由韦达定理可得
，
，可得
，
，
整理可得
，即
，解得
或
（舍），
所以，
，解得
.
故答案为：
.
30．（2023·天津·统考一模）已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的
准线分别交于
两点,
为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
AOB
的面积为
3 ,则
p
.
【答案】
2
p
【详解】试题分析：有
2,
c
e
a
得
2 ,
3 ,
c
a b
a
所以双曲线的渐近线为
3 .
y
x
又抛物线的准线方程
为
,
2
p
x
联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得
3
3
,
,
,
.
2
2
2
2
p
p
p
p
A
B
在AOB
中，
32
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3 ,
AB
p
O 到AB 的距离为2
p
.
1
3,
3
3,
2
2
2
AOB
p
S
p
p
.
考点：双曲线与抛物线的几何性质.
31．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知椭圆
2
2
2
2
Γ :
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为
1
1,0
F
，
且过点
8
1, 3
A
．
(1)求椭圆Γ 的标准方程；
(2)过
1F
作一条斜率不为0 的直线
PQ 交椭圆Γ 于P 、Q 两点，D 为椭圆的左顶点，若直线DP 、DQ 与直线
:
4
0
l x
分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为R ，则
MR
NR
是否为定值？若为定值，请求出该定
值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
9
8
x
y
+
=
(2) MR
NR
为定值
16
9 ．
【分析】（1）由椭圆所过的点及焦点坐标求椭圆参数，即可得方程；
（2）设直线PQ 的方程为
1
x
ty
，
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，联立椭圆并应用韦达定理，写出直线DP 的方
程，进而求M 纵坐标，同理求N 纵坐标，由
M
N
MR
NR
y y
化简即可得结果.
【详解】（1）由题知，椭圆C 的右焦点为
2 1,0
F
，且过点
8
1, 3
A
，结合椭圆定义，
33
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所以
2
2
8
8
2
2
6
3
3
a
，所以
3
a
．
又
1
c ，所以
2
8
b
，则C 的标准方程为
2
2
1
9
8
x
y
+
= ．
（2）设直线PQ 的方程为
1
x
ty
，
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
由
2
2
1
1
9
8
x
ty
x
y
，得
2
2
8
9
16
64
0
t
y
ty
，
易知
0
，所以
1
2
2
16
8
9
t
y
y
t
，
1
2
2
64
8
9
y y
t
，
直线DP 的方程为
1
1
3
3
y
y
x
x
，令
4
x 得，
1
1
1
1
3
2
M
y
y
y
x
ty
，
同理可得
2
2
2
N
y
y
ty
，
所以
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
M
N
y y
y y
MR
NR
y y
ty
ty
t y y
t y
y
2
2
2
64
16
9
64
32
4 8
9
t
t
t
，为定值．
.
32．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点为
1F 、
2
F ，
虚轴长为4 2 ，离心率为
2 ，过C 的左焦点
1F
作直线l 交C 的左支于A、B 两点.
(1)求双曲线C 的方程；
34
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(2)若
1
4 2
AF
，求
1
2
F AF
的大小；
(3)若
( 2,0)
M
，试问：是否存在直线
l
，使得点M 在以AB 为直径的圆上？请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
8
8
x
y
(2)
3
arccos 4
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据条件列出关于
, ,
a b c
的方程组，由此求解出
,a b
的值，则双曲线方程可知；
（2）根据双曲线的定义求解出
2
AF
，在
1
2
F AF
中利用余弦定理求解出
1
2
cos
F AF
的值，则
1
2
F AF
的大小
可知；
（3）当l 的斜率不存在时，直接分析即可，当l 的斜率存在时，设出l 的方程并与双曲线方程联立，得到横
坐标的韦达定理形式，根据
0
MA MB
进行化简计算，从而判断出l 是否存在.
【详解】（1）由题意可知：
2
2
2
2
4 2
2
b
c
e
a
a
b
c
，解得
2 2
2 2
a
b
，
所以双曲线C 的方程为：
2
2
1
8
8
x
y
；
（2）因为
1
4 2
AF
，所以
2
2
4 2
8 2
AF
a
，且
1
2
2
8
F F
c
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
32 128
64
3
cos
2
4
2 4 2
8 2
AF
AF
F F
F AF
AF
AF
，
所以
1
2
F AF
的大小为
3
arccos 4 ；
（3）假设存在l 满足要求，
35
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当l 的斜率不存在时，:
4
l x ，由
2
2
4
1
8
8
x
x
y
解得
4
2 2
x
y
，
所以
2,2 2
2, 2 2
4
0
MA MB
，所以
,
MA MB 不垂直，故不满足要求；
当l 的斜率存在时，因为l 与双曲线有两个交点，所以
b
k
a
，即
1
k ，
设
:
4
l y
k x
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
2
4
8
y
k x
x
y
可得
2
2
2
2
1
8
16
8
0
k
x
k x
k
，
且
2
2
2
2
Δ
8
4 1
16
8
0
k
k
k
，即
2
1
0
k
，
所以
2
2
1
2
1
2
2
2
8
16
8
,
1
1
k
k
x
x
x x
k
k
，
所以
1
1
2
2
1
2
1
2
2,
2,
2
2
4
4
MA MB
x
y
x
y
x
x
k x
k x
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2
16
4
MA MB
k
x x
k
x
x
k
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
8
16
4 1
16
8
1
1
1
1
k
k
k
k
k
MA MB
k
k
k
k
4
2
4
2
4
2
2
2
2
16
24
8
32
16
16
12
4
4
4
4
0
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.
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解答本题第三问的关键在于：将“以AB 为直径的圆过点M ”转化为“
0
MA MB
”，从而转化为坐标之
间的运算.
33．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知点
(0,1)
F
，动点M 在直线
l
：
1
y
上，过点M 且垂直于
x
轴的
直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的标准方程；
(2)过F 的直线与曲线C 交于A，B 两点，直线OA，OB 与圆
2
2
2
0
x
y
y
的另一个交点分别为D ，E ，
求DOE
与AOB
面积之比的最大值．
【答案】(1)
2
4
x
y
(2)
4
25
【分析】（1）利用抛物线定义即可求得曲线C 的标准方程；
（2）先求得
DOE
AOB
S
S
△
△
的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值.
【详解】（1）过点M 且垂直于x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，
则
PM
PF
，则点P 到直线
1
y 和定点
(0,1)
F
距离相等，
则P 的轨迹为以
(0,1)
F
为焦点以直线
1
y 为准线的抛物线，
则曲线C 的方程为：
2
4
x
y
（2）设A，B ，D ，E 坐标分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
D x
y
，
4
4
,
E x
y
，
因为
3
4
1
2
|
| |
|
|
| |
|
DOE
AOB
x x
S
OD
OE
S
OA
OB
x x
△
△
令直线OA
l
：
1
y
k x
，
1
1
1
y
k
x
，OB
l
：
2
y
k x
，
2
2
2
y
k
x
，
由
2
2
1
2
0
x
y
y
y
k x
得：
1
3
2
1
2
1
k
x
k
，
37
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由
2
2
2
2
0
x
y
y
y
k x
得：
2
4
2
2
2
1
k
x
k
所以
3
4
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
1
1
x x
k k
x x
x x
k
k
令
AB
l
：
1
y
kx
，与
2
4
x
y
联立得：
2
4
4
0
x
kx
，
所以，
1
2
4
x x
，
1
2
4
x
x
k
，则
1
2
1
y y
所以
1
2
1
2
1
2
1
4
y y
k k
x x
，代入得：
3
4
2
2
1
2
1
2
1
17
4
4
x x
x x
k
k
又因为
2
2
1
2
1
2
1
2
2
k
k
k k
，
所以
3
4
2
2
1
2
1
2
1
4
17
25
4
4
x x
x x
k
k
，当且仅当
1
1
2
k
，
2
1
2
k
时取等号
所以DOE
与AOB
面积之比的最大值为
4
25
34．（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知定点
2,0
F
，定直线
3
:
2
l x
，动点P 到点F 和直线l 的距离的比值为
2 3
3
，记动点P 的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E 的方程．
(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l，若直线l与直线l 交于点N，试探究以线段MN 为直径的圆
是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．
38
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【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
(2)定点
(2,0)
T
，理由见解析
【分析】（1）设点
( , )
P x y
是所求轨迹E 上的任意一点，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设l的方程为y
mx
n
，联立方程组，根据Δ
0
，求得
2
2
1 3
0
n
m
，得到
3m
x
n
，求得
3
1
(
,
)
m
M
n
n
，再联立两直线，求得
3 3
( ,
)
2 2
N
m
n
，设( ,0)
T t
，结合
0
TM TN
恒成立，化简得到
(
2)(2
6 )
0
t
nt
n
m
恒成立，求得
t
的值，即可求解.
【详解】（1）解：设点
( , )
P x y
是所求轨迹E 上的任意一点，
因为定点
2,0
F
，定直线l：
3
2
x
，动点P 到点F 和直线l 的距离的比值为
2 3
3
，
可得
2
2
(
2)
2 3
3
3
2
x
y
x
，化简得
2
2
1
3
x
y
，
所以曲线E 的方程为
2
2
1
3
x
y
.
（2）解：因为直线l与l 相交，所以l的斜率存在，
可设
l
的方程为
y
mx
n
，联立方程组
2
2
1
3
y
mx
n
x
y
，
整理得
2
2
2
(1 3
)
6
3
3
0
m
x
mnx
n
，
则
2
2
2
( 6
)
4(1 3
)( 3
3)
0
mn
m
n
，可得
2
2
1 3
0
n
m
，
即
2
2
1 3m
n
且
2
2
1
3
n
m
，所以
2
2
2
6
9
0
n x
mnx
m
，即
2
(
3 )
0
nx
m
，
39
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所以
3m
x
n
，则
2
2
2
3
3
1
m
n
m
y
mx
n
n
n
n
n
，所以
3
1
(
,
)
m
M
n
n
，
联立方程组
3
2
y
mx
n
x
，解得
3
2
y
m
n
，即
3 3
( ,
)
2 2
N
m
n
，
假设以线段MN 为直径的圆过x 轴上一定点，设为( ,0)
T t
，则TM
TN
，
所以
0
TM TN
恒成立，即
3
1
3
3
,
,
0
2
2
m
t
t
m
n
n
n
，
可得
3
3
1
3
(
)(
)
(
)(
)
0
2
2
m
t
t
m
n
n
n
，即
2
9
3
3
3
1
0
2
2
2
m
m
m
t
t
t
n
n
n
，
整理得
2
9
6
3
2
3
2
0
m
mt
nt
nt
m
n
，
即
2
2
3
2
6
12
0
nt
nt
n
mt
m
，即(
2)(2
6 )
0
t
nt
n
m
恒成立，
要使得(
2)(2
6 )
0
t
nt
n
m
恒成立，则
2
t
，所以恒过定点(2,0)
T
，
即以线段
MN
为直径的圆过
x
轴上一定点
(2,0)
T
.
【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中
核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线
0
(
)
,
F x y
之间的关系，得到关于k 与,x y 的
等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
40
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35．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C
交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用
，求出
范围，再根据三角形面积比得到关于
的方
程，解出即可.
【详解】将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
则
，
，
，解得
或
（舍去），
故选：C.
41
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36．（2023·全国·统考高考真题）设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点 P 在C 上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出
的面积，即可得到点
的坐标，从而得出
的
值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出
，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出
，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设
，所以
，
由
，解得：
，
由椭圆方程可知，
，
所以，
，解得：
，
即
，因此
．
故选：B．
方法二：因为
①，
，
即
②，联立①②，
解得：
，
42
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而
，所以
，
即
．
故选：B．
方法三：因为
①，
，
即
②，联立①②，解得：
，
由中线定理可知，
，易知
，解得：
．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
37．（2021·全国·统考高考真题）已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，即
.
43
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故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立
间的等量关系是求解的关键.
38．（2020·全国·统考高考真题）设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近
线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【分析】因为
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求得
，
两点坐标，即可求得
，根据
的面积为，可得
值，根据
，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
联立
，解得
故
联立
，解得
故
面积为：
双曲线
44
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其焦距为
当且仅当
取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
39．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线
分别是双曲线
的左、右焦
点，抛物线的准线过双曲线的左焦点
，与双曲线的渐近线交于点A，若
，则双曲线的标准方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点
的坐标，分析可得
，由此可得出关于
、
、的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线
的准线方程为
，则
，则
、
，
不妨设点
为第二象限内的点，联立
，可得
，即点
，
因为
且
，则
为等腰直角三角形，
且
，即
，可得
，
45
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所以，
，解得
，因此，双曲线的标准方程为
.
故选：C.
40．（2019·全国·高考真题）设
1
2
F
F
，
为椭圆
2
2
:
+
1
36
20
x
y
C
的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若
1
2
MF F
△
为等腰三角形，则M 的坐标为 .
【答案】
3, 15
【分析】根据椭圆的定义分别求出
1
2
MF
MF
、
，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.
【详解】由已知可得
2
2
2
2
2
36 ,
20 ,
16 ,
4
a
b
c
a
b
c
，
又M 为C 上一点且在第一象限,
1
2
MF F
△
为等腰三角形，
1
1
2
2
8
MF
F F
c
．∴
2
4
MF
．
设点M 的坐标为
0
0
0
0
,
0 ,
0
x
y
x
y
，则
1 2
1
2
0
0
1
4
2
MF F
S
F F
y
y
△
，
又
1 2
2
2
0
1
4
8
2
4 15 ,
4
4 15
2
MF F
S
y
△
，解得
0
15
y
，
2
2
0
15
1
36
20
x
，解得
0
3
x
（
0
3
x 舍去），
M
的坐标为
3, 15 ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
41．（2009·重庆·高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
，若椭圆
46
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上存在一点
P 使
1
2
2
1
sin
sin
a
c
PF F
PF F
，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
2
1,1
【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：
2
1
1
2
2
1
|
|
|
|
sin
sin
PF
PF
PF F
PF F
，则由已知得：
2
1
PF
PF
a
c
，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=
(
)
(
1)
(
)
(
1)
a a
c
a e
e
a
c
e e
，由椭圆的几何性质知：x0＞-a 则
(
1)
(
1)
a e
e e
>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜-
2 -1 或e＞
2 -1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e (
∈
2 -1，1)，故答案为(
2 -1，1)．
考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，
多数是用a，b，c 转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c 的关系式的转换，进而得到
离心率的范围．
42．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
(2,0)
F
，渐近线方程为
3
y
x
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
在C 上，且
1
2
1
0,
0
x
x
y
．
过P 且斜率为
3
的直线与过Q 且斜率为
3 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在AB 上；②
PQ
AB
∥
；③
|
| |
|
MA
MB
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
47
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【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得
c
的值，利用渐近线方程求得
,a b
的关系，进而利用
, ,
a b c
的平方关系求
得,a b 的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析
得到
2
0
0
2
8
3
k
x
ky
k
；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到
直线PQ 的斜率
0
0
3x
m
y
，由②
/ /
PQ
AB 等价转化为
0
0
3
ky
x
，由①M 在直线AB 上等价于
2
0
0
2
ky
k
x
，
然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为
(2,0)
F
，∴
2
c
,∵渐近线方程为
3
y
x
，∴
3
b
a
，∴
3
b
a
，∴
2
2
2
2
4
4
c
a
b
a
，∴
1
a ，∴
3
b
．
C
∴的方程为：
2
2
1
3
y
x
；
（2）由已知得直线
PQ
的斜率存在且不为零，直线
AB
的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴
上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、
Q
关于x 轴对称，与从而
1
2
x
x
，已知不符；
总之，直线AB 的斜率存在且不为零.
设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为
2
y
k x
,
则条件①M 在AB 上，等价于
2
0
0
0
0
2
2
y
k x
ky
k
x
；
两渐近线的方程合并为
2
2
3
0
x
y
,
48
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联立消去y 并化简整理得：
2
2
2
2
3
4
4
0
k
x
k x
k
设
3
3
4
4
,
,
,
A x
y
B x
y
,线段中点为
,
N
N
N x
y
,则
2
3
4
2
2
2
6
,
2
2
3
3
N
N
N
x
x
k
k
x
y
k x
k
k
,
设
0
0
,
M x
y
,
则条件③AM
BM
等价于
2
2
2
2
0
3
0
3
0
4
0
4
x
x
y
y
x
x
y
y
,
移项并利用平方差公式整理得：
3
4
0
3
4
3
4
0
3
4
2
2
0
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
，
3
4
0
3
4
0
3
4
3
4
2
2
0
y
y
x
x
x
y
y
y
x
x
,即
0
0
0
N
N
x
x
k y
y
,
即
2
0
0
2
8
3
k
x
ky
k
；
由题意知直线PM 的斜率为
3
, 直线
QM
的斜率为
3 ,
∴由
1
0
1
0
2
0
2
0
3
,
3
y
y
x
x
y
y
x
x
,
∴
1
2
1
2
0
3
2
y
y
x
x
x
,
所以直线PQ 的斜率
1
2
0
1
2
1
2
1
2
3
2
x
x
x
y
y
m
x
x
x
x
,
直线
0
0
:
3
PM
y
x
x
y
,即
0
0
3
3
y
y
x
x
,
代入双曲线的方程
2
2
3
3
0
x
y
,即
3
3
3
x
y
x
y
中，
得：
0
0
0
0
3
2 3
3
3
y
x
x
y
x
,
解得P 的横坐标：
1
0
0
0
0
1
3
3
2 3
3
x
y
x
y
x
,
同理：
2
0
0
0
0
1
3
3
2 3
3
x
y
x
y
x
，
49
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∴
0
0
1
2
0
1
2
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
3
3
1
,
2
,
3
3
3
y
x
x
x
y
x
x
x
x
y
x
y
x
∴
0
0
3x
m
y
,
∴条件②
/ /
PQ
AB
等价于
0
0
3
m
k
ky
x
，
综上所述：
条件①M 在AB 上，等价于
2
0
0
2
ky
k
x
；
条件②
/ /
PQ
AB
等价于
0
0
3
ky
x
；
条件③AM
BM
等价于
2
0
0
2
8
3
k
x
ky
k
；
选①②推③:
由①②解得：
2
2
0
0
0
0
2
2
2
8
,
4
3
3
k
k
x
x
ky
x
k
k
, ③
∴
成立；
选①③推②：
由①③解得：
2
0
2
2
3
k
x
k
，
2
0
2
6
3
k
ky
k
，
∴
0
0
3
ky
x
，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：
2
0
2
2
3
k
x
k
，
2
0
2
6
3
k
ky
k
，∴
0
2
6
2
3
x
k
，
∴
2
0
0
2
ky
k
x
，∴①成立.
43．（2019·全国·高考真题）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐
标原点．
（1）若
2
POF
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P，使得
1
2
PF
PF
，且
1
2
F PF
△
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
50
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【答案】(1)
3
1
e
；（2）
4
b
，a 的取值范围为[4 2,
)
.
【分析】（1）先连结
1
PF ，由
2
POF 为等边三角形，得到
1
2
90
F PF
，
2
PF
c
，
1
3
PF
c
；再由椭圆
定义，即可求出结果；
（2）先由题意得到，满足条件的点
( , )
P x y 存在，当且仅当
1
2
16
2 y
c
，
1
y
y
x
c x
c
，
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）连结
1
PF
，由
2
POF
为等边三角形可知：
在
1
2
F PF
△
中，
1
2
90
F PF
，
2
PF
c
，
1
3
PF
c
，
于是
1
2
2
3
a
PF
PF
c
c
，
故椭圆C 的离心率为
2
3
1
1
3
c
e
a
；
（2）[方法一]【椭圆的定义+基本不等式】
由题意可知
2
2
2
1
2
1
2
F F
PF
PF
，且
1
2
2
PF
PF
a
，所以
2
1
2
2
PF
PF
b
．
因为
2
1
2
1
16
2
S
PF
PF
b
，所以
4
b
．
又因为
1
2
16
2
p
S
y
c
，且
4
p
y
，所以
4
c
，从而
2
2
2
32
a
b
c
，故
4 2
a
，所以
4
b
，a 的取
值范围为[4 2,
)
．
[方法二]【最优解：椭圆的定义+余弦定理】
由题意有
1
2
1
2
2 ,
32,
PF
PF
a
PF
PF
则
1
2
1
2
2
2
8 2
a
PF
PF
PF
PF
，即
4 2
a
，
当且仅当
1
2
PF
PF
时，等号成立．
此时P 为短轴端点，
1
1
cos
4 2 cos45
4
b
PF
F PO
，且满足c
b
．
51
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即当
4,
4 2
b
a
时，存在点P，使得
1
2
PF
PF
，且
1
2
F PF
△
的面积等于16．
故
4
b
，a 的取值范围为[4 2,
)
．
[方法三]【余弦定理+面积公式】
设
1
2
,
PF
m PF
n
，对椭圆上任一点P，设
1
2
F PF
，
由余弦定理有
2
2
2
4c
m
n
2
cos
mn
，所以
2
2
4
4
2
(1 cos )
c
a
mn
，
即
2
(1 cos )
2
mn
b
．则
1
2
2
1
sin
sin
2
1
cos
F PF
b
S
mn
2 tan 2
b
．
又
1
2
2 tan
16
4
F PF
S
b
，即
4
b
．
由于
1
2
PF
PF
，则以O 为圆心，
1
2
F F
为直径的圆必与椭圆C 有公共点，
即半焦距
2
2
2
,
c
b a
b
b
，故
4 2
a
．
综上，
4
b
，a 的取值范围为[4 2,
)
．
【点睛】(2)方法一：椭圆的定义是解决焦点三角形的核心，基本不等式是处理最值与范围问题的常用方法；
方法二：椭圆的定义和余弦定理相结合是处理焦点三角形最典型的方法；
方法三：余弦定理和面积公式是处理面积问题的经典方法，处理最值、范围问题时常用此方法.
44．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆
2
2
1 :
1
2
x
C
y
，抛物线
2
2 :
2
(
0)
C
y
px p
，点A 是椭圆
1
C
与抛物线
2
C
的交点，过点A 的直线l 交椭圆
1
C
于点B，交抛物线
2
C
于M（B，M 不同于A）．
52
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（Ⅰ）若
1
16
p
，求抛物线
2
C 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
【答案】（Ⅰ）
1
(
,0)
32
；（Ⅱ）
10
40
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得
1
x
关于,
,
p m 的表达式，得到关于,
,
p m 的方
程，利用基本不等式消去参数，得到关于p 的不等式，求解得到p 的最大值；方法二利用韦达定理和中点
公式求得
0
0
,
A x
y
的坐标关于
,
m p 的表达式，根据点
0
0
,
A x
y
在椭圆上，得到关于
2
1
p 关于m 的函数表达
式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到
2
2
0
1
0
8
0
y
y y
p
．根据判别式大于零，得到不等式
2
2
1
32
0
y
p
，通过解方程组求得
2
2
2
1
4
2
4
2
y
p
p
p
，代入求解得到p 的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点M 的参数坐标，
利用斜率关系求得A 的坐标关于,p t 的表达式．作换元
2
2
u
t
t
，利用点A 在椭圆上，得到
2
2
1
2
4
p
u
u
，然后利用二次函数的性质求得p 的最大值
【详解】（Ⅰ）当
1
16
p
时，
2
C 的方程为
2
1
8
y
x
，故抛物线
2
C 的焦点坐标为
1
(
,0)
32
；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
,
:
A x y
B x
y
M
m
l
x
y
x
y
，
由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
x
y
y
my
m
x
y
m
，
1
2
0
0
0
2
2
2
2
2
,
,
2
2
2
m
m
m
y
y
y
x
y
m
，
由M 在抛物线上，所以
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
m
pm
m
p
，
53
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又
2
2
2
2
2 (
)
2
2
0
y
px
y
p
y
m
y
p y
pm
x
y
m
，
0
1
2
y
y
p
，
2
1
0
1
0
2
2
x
x
y
m
y
m
p
m
，
2
1
2
2
2
2
2
m
x
p
m
.
由
2
2
2
2
1
4
2,
2
2
x
y
x
px
y
px
即
2
4
2
0
x
px
2
2
1
4
16
8
2
4
2
2
p
p
x
p
p
2
2
2
2
2
2
1
8
2
4
2
2
2
2
8
16
2
p
p
p
p
m
p
p
p
，
所以
2
4
2
18
p
p
，
2
1
160
p
，
10
40
p
，
所以，p 的最大值为
10
40 ，此时
2 10
5
(
,
)
5
5
A
.
[方法二]【最优解】：
设直线:
(
0,
0)
l x
my
t m
t
，
0
0
,
A x
y
.
将直线l 的方程代入椭圆
2
2
1 :
1
2
x
C
y
得：
2
2
2
2
2
2
0
m
y
mty
t
，
所以点M 的纵坐标为
2
2
M
mt
y
m
.
将直线l 的方程代入抛物线
2
2 :
2
C
y
px
得：
2
2
2
0
y
pmy
pt
，
所以
0
2
M
y y
pt
，解得
2
0
2
2
p m
y
m
，因此
2
2
0
2
2
2
p m
x
m
，
由
2
2
0
0
1
2
x
y
解得
4
2
2
1
2
2
2
4
160
m
m
p
m
m
，
54
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所以当
10
2,
5
m
t
时，p 取到最大值为
10
40 .
[方法三] ：点差和判别式法
设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
M x
y
，其中
1
2
0
1
2
0
2
,
2
x
x
x
y
y
y
．
因为
2
2
1
1
2
2
2
2
1,
2
1,
2
x
y
x
y
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
0
2
x
x
y
y
．
整理得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，所以
0
1
2
0
1
2
1
2
y
y
y
x
x
x
．
又
2
2
1
2
1
0
1
1
0
0
1
2
1
0
,
2
,
2
AB
AM
y
y
y
y
k
k
y
px y
px
x
x
x
x
，
所以
0
1
0
2
2
2
0
1
0
1
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
p
p
p
，整理得
2
2
0
1
0
8
0
y
y y
p
．
因为存在
0y
，所以上述关于
0y
的二次方程有解，即判别式
2
2
1
32
0
y
p
． ①
由
2
1
1
2
2
1
1
2
,
1,
2
y
px
x
y
得
2
1
2
4
2
x
p
p
．
因此
2
2
2
1
1
2
4
2
4
2
y
px
p
p
p
，将此式代入①式解得
10
40
p
．
当且仅当点M 的坐标为
10
5
,
10
10
时，p 的最大值为
10
40 ．
[方法四]：参数法
设
2
2
2
,2
,
A
M
AM
A
M
A
M
y
y
p
M
pt
pt
k
x
x
y
y
，
由
2
2
2
2
2
1
2
2
AB
OM
A
M
p
pt
b
k
k
y
y
pt
a
，得
2
4
2
2
2
,
2
A
M
A
p
y
y
p
t
x
p
t
t
t
t
．
令
2
2
u
t
t
，则
[8,
)
u
，点A 坐标代入椭圆方程中，得
2
2
2
1
1
1
2
4
2
8
4
8
160
p
u
u
．
55
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所以
max
10
40
p
，此时M 坐标为
10
5
,
10
10
．
45．（2020·天津·统考高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 3)
A
，右焦点为F ，且
|
| |
|
OA
OF
，其中O 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C 满足3OC
OF
，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于
点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．
【答案】（Ⅰ）
2
2
1
18
9
x
y
；（Ⅱ）
1
3
2
y
x
，或
3
y
x
．
【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助
2
2
2
a
b
c
，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP
AB
，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进
而求出P 点坐标，再根据CP
AB
，求出直线AB 的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
0, 3
A
，
3
b
，
由OA
OF
，得
3
c
b
，
又由
2
2
2
a
b
c
，得
2
2
2
8
3
1
3
a
，
所以，椭圆的方程为
2
2
1
18
9
x
y
；
（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP
AB
，
根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，
设直线AB 的斜率为
k
，则直线AB 的方程为
3
y
kx
+ =
，即
3
y
kx
，
2
2
3
1
18
9
y
kx
x
y
，消去y ，可得
2
2
2
1
12
0
k
x
kx
，解得
0
x
或
2
12
2
1
k
x
k
.
将
2
12
2
1
k
x
k
代入
3
y
kx
，得
2
2
2
12
6
3
2
1
2
1
3
k
y
k
k
k
k
，
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所以，点B 的坐标为
2
2
2
12
6
3
,
2
1 2
1
k
k
k
k
，
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为
0, 3
，
所以点P 的坐标为
2
2
6
3
,
2
1 2
1
k
k
k
，
由3OC
OF
，得点C 的坐标为
1,0
，
所以，直线
CP
的斜率为
2
2
2
3
0
3
2
1
6
2
6
1
1
2
1
CP
k
k
k
k
k
k
，
又因为CP
AB
，所以
2
3
1
2
6
1
k
k
k
，
整理得
2
2
3
1
0
k
k
，解得
1
2
k
或
1
k .
所以，直线AB 的方程为
1
3
2
y
x
或
3
y
x
.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式
以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置
关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
57
