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4.6 三角函数的二倍角公式（讲义）
目录
1
知识点01 二倍角公式................................................................................2
2
知识点02 半角公式....................................................................................2
3
知识点03 降幂公式....................................................................................2
4
知识点04 辅助角公式................................................................................2
5
题型一、二倍角的正弦公式.....................................................................2
6
题型二、二倍角的余弦公式.....................................................................5
7
题型三、逆用二倍角公式.........................................................................8
8
题型四、辅助角公式................................................................................11
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1 知识点01 二倍角公式
①
sin2α =2sin α cosα；
②
cos2α =cos
2α −sin
2α =2cos
2α −1=1−2sin
2α；
2 知识点02 半角公式
①sin α
2 =±√
1−cosα
2
②cos α
2 =±√
1+cosα
2
3 知识点03 降幂公式
①sin α cosα = 1
2 sin 2α
②sin
2α = 1−cos2α
2
③cos
2α = 1+cos2α
2
4 知识点04 辅助角公式
asin α +bcosα
=√a
2+b
2sin(α + ϕ)
（其中sin ϕ =
b
√a
2+b
2 ，cos ϕ =
a
√a
2+b
2 ，tan ϕ = b
a）
5 题型一、二倍角的正弦公式
1．sin15
∘cos15
∘等于（ ）
A．1
2
B．1
4
C．√3
4
D．2
3
2．1
2 sin30° cos30° =（ ）
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A．1
8
B．1
4
C．√3
8
D．√3
4
3．2sin 45° cos 45°的值为（ ）
A．−2
B．−1
3
C．−1
2
D．1
4．已知角α的终边过点(2,−√3)，则sin2α =（ ）
A．−√3
2
B．√3
2
C．−4
7 √3
D．4
7 √3
5．已知角α 的终边过点(4,−3)，则sin2α =（ ）
A．3
4
B．−3
4
C．24
25
D．−24
25
6．已知角α的终边经过点P(−3
5 , 4
5)
，则sin2α =（ ）
A．−24
25
B．−7
25
C．7
25
D．24
25
7．已知sinα +cosα = 7
5，则sin2α =（ ）
A．−12
25
B．12
25
C．−24
25
D．24
25
8．已知角α的终边位于第四象限，cosα = 1
4，则sin2α的值为（ ）
A．−7
8
B．−√15
8
C．√15
8
D．17
32
9．已知角θ的终边过点P(3,2)，则
sin2θ
2cos
2θ−3sin
2θ
=（ ）
A．−2
B．2
C．5
2
D．3
6 题型二、二倍角的余弦公式
1．已知sinα = 2
3，则cos2α =（ ）
A．4√5
9
B．−4√5
9
C．−1
9
D．1
9
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2．已知cos x = 4
5 ，则cos2 x的值为（ ）
A．−7
25
B．7
25
C．−41
50
D．41
50
3．已知sinθ = 3
4 ，则cos2θ =（ ）
A．−1
8
B．1
8
C．−7
16
D．7
16
4．已知cos(α +π
3 )= √6
6
，则cos(2α + 2π
3 )=（ ）
A．−3
5
B．3
5
C．2
3
D．−2
3
5．已知tanα=2，则sin(2α−π
2)=（ ）
A．−4
5
B．−3
5
C．3
5
D．4
5
6．已知 sinθ = 1
3
，则 sin(
5π
2 −2θ)=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．4√2
9
D．−4√2
9
7．已知tanα =2，则cos2α +3sin
2α =（ ）
A．−6
5
B．6
5
C．−9
5
D．9
5
8．已知α为锐角，且tan α =3sin α，则cos2α =（ ）
A．−7
9
B．−1
3
C．1
3
D．7
9
9．已知sinα +2cosα =0，则1−cos2α
1+cos2α =（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
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7 题型三、逆用二倍角公式
1．sin
2 π
12=
A．2−√3
4
B．2+√3
4
C．3
4
D．1
4
2．已知1−cos2θ+sin 2θ
1+cos2θ+sin 2θ =2，则tanθ =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．√2
3．2cos
2 π
12 +1的值是（ ）
A．3
2
B．√3
2
C．1+√3
2
D．2+ √3
2
4．sin 3π
8 cosπ
8 =（ ）
A．2+√2
2
B．2+√2
4
C．2−√2
2
D．2−√2
4
5．sin 5π
12 cosπ
12 =（ ）
A．2−√3
4
B．2+√3
4
C．2+√3
5
D．2−√3
5
6．求sin 5π
12 cosπ
12=（ ）
A．2+√3
4
B．2−√3
4
C．√6−√2
4
D．√6+√2
4
7．计算：1
2 −cos
2π
8 =（ ）
A．−√2
4
B．√2
4
C．√2
2
D．−√2
2
8．若sin(
5π
12 +α)= 1
3
，则cos(2α −π
6 )=（ ）
A．2√2
9
B．−2√2
9
C．7
9
D．−7
9
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9．若sin(α −20
∘)=sin20
∘
tan20
∘−√3
，则cos(2α +140
∘)=（ ）
A．1
8
B．−1
8
C．−7
8
D．7
8
8 题型四、辅助角公式
1．在下列各式中，化简结果为2sin(x + 2π
3 )
的是（ ）
A．sin x−√3cos x
B．cos x +√3sin x
C．√3cos x−sin x
D．sin x +√3cos x
2．已知√3sinα +cosα = 2
3
，则sin(2α −π
6)=（ ）
A．−7
9
B．2√2
9
C．7
9
D．−2√2
9
3．已知sinα +sin(α +π
3 )= 4√3
5
，则sin(α −5π
6 )
的值是（ ）.
A．−2√3
5
B．2√3
5
C．4
5
D．−4
5
4．已知√3sinα −sin(α +π
6 )= 3
5
，则cos(
4π
3 −2α)=（ ）
A．−7
25
B．−16
25
C．7
25
D．24
25
5．若cos(α −π
6 )+sin(π−α )= √3
5 ，则cos(
π
3 −α)的值为（ ）
A．−√3
5
B．−1
5
C．√3
5
D．1
5
6．已知sin(α −π
3 )+√3cosα = 1
3，则sin(2α +π
6 )=( )
A．7
9
B．2
9
C．−1
9
D．−7
9
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7．已知cosα +√3sin α = 3
5，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．47
50
B．−47
50
C．−41
50
D．41
50
8．若α + β =π
2 ，√2sin α +sin β =√3，则tan α =（ ）
A．√2
2
B．√2
C．1
D．√3
9．已知sin α −√3cosα = 2
3，则sin(2α −π
6 )=（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．7
9
D．−7
9
