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专题08 幂函数及函数应用
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题08 幂函数及函数应用
命题解读
命题预测
复习建议
幂函数是一种基本初等函
数，主要考察是幂函数的图
象以及幂函数的性质解决相
关问题；对于函数应用的考
察，主要体现在函数模型的
实际应用，往往以实际应用
题为主。
预计2024 年的高考对于幂函
数来说最多出一个选择题，
以幂函数的图象和性质应用
为主，函数模型以分段函
数、二次函数的实际应用为
主要题型。
集合复习策略：
1. 掌握幂函数的图象和性
质；
2.掌握函数模型，会利用函
数模型解决实际问题.
→➊考点精析←
一、幂函数的图象和性质
1．幂函数：形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α 是常数.
2．常见幂函数：
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1
2
y=x-1
图像
性质
定
义
域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值
域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单
调
性
在R 上单调递
增
在(-∞,0]上 单
调递减;在(0,+∞)
上 单调递增
在R 上单调递增在[0,+∞)上单调
递增
在(-∞,0)和
(0,+∞)上 单
调递减
公
共
点
(1,1)
二、函数的应用
1. 函数应用：一次函数、二次函数、幂函数等一些基本初等函数模型的应用.
2.函数模型：提炼问题---收集数据---分析数据---建立函数模型---求模、检验、还原
→➋真题精讲←
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其
最小值为
，A 不符合题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，
等号取不到，所以其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅
当
，即
时取等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不符合题意．
故选：C．
2．（2021·全国高考真题）已知函数
是偶函数，则
______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数
的值.
【解析】因为
，故
，
因为
为偶函数，故
，
3
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时
，整理得到
，
故
，
故答案为：1
3. 【2020 年江苏省盐城市第一中学调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，
因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为
元，其它成本投入（如培育管理、
施肥等人工费）
元．已知这种水果的市场售价大约为15 元／千克，且销路畅通供不应
求．记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
（Ⅰ）求
的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当施用肥料为4 千克时，种
植该果树获得的最大利润是480 元．
【解析】（Ⅰ）由已知
(
)
Ⅱ由(
)
Ⅰ得
4
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当
时，
；
当
时，
当且仅当
时，即
时等号成立．
因为
，所以当
时，
．
∴当施用肥料为4 千克时，种植该果树获得的最大利润是480 元．
→➌模拟精练←
1．（2022·全国·高一课时练习）幂函数
在
上是增函数，则
以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数
在
上单调递增
C．函数
是偶函数
D．函数
的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】因为幂函数
在
上是增函数，
所以
，解得
，所以
，
5
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所以
，故
为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以
在
上单调递增；
故选：ABD
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数
在定义域内的某区间M 是增函数，且
在
M 上是减函数，则称
在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则不存在区间M 使
为“弱增函数”
B．若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
C．若
，则
为R 上的“弱增函数”
D．若
在区间
上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【解析】对于A：
在
上为增函数，
在定义域内的任何区间上
都是增函数，故不存在区间M 使
为“弱增函数”，A 正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：
在
上为增函数，
，由
幂函数的性质可知，
在
上为减函数，故存在区间
使
为“弱增函数”，B 正确；
对于C：
为奇函数，且
时，
为增函数，由奇函数的对称性
可知
为R 上的增函数，
为偶函数，其在
时为增函数，
6
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在
时为减函数，故
不是R 上的“弱增函数”，C 错误；
对于D：若
在区间
上是“弱增函数”，则
在
上为增函数，所以
，解得
，又
在
上为减函数，由对勾函数的单调性可知，
，则
，综上
.故D 正确．
故选：ABD．
3、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数
为奇函数.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求
的取值范围.
【解析】（1）由题意，幂函数
，
可得
，即
，解得
或
，
当
时，函数
为奇函数，
当
时，
为非奇非偶函数，
因为
为奇函数，所以
.
（2）由（1）知
，可得
在
上为增函数，
因为
，所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
4、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
7
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(2)若函数
在
上的最大值为2，求实数
的值．
【解析】（1）因为
为幂函数，
所以
，解得
或
因为
为偶函数，
所以
，故
的解析式
；
（2）由（1）知
，对称轴为
，开口向上，
当
即
时，
，即
；
当
即
时，
，即
；
综上所述：
或
．
5、（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
的定义域为全体实数
R.
(1)求
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）∵
是幂函数，∴
，∴
或2.
当
时，
，此时不满足
的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴
.
（2）
即
，要使此不等式在
上恒成立，
令
,只需使函数
在
上的最小值大于0.
∵
图象的对称轴为
，故
在
上单调递减，
∴
，
8
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由
，得
，
∴实数k 的取值范围是
.
6．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上的最大值为1，求实数
的值.
【解析】（1）因为
为幂函数
所以
因为
为偶函数
所以
故
的解析式
.
（2）由（1）知
，
当
即
时，
，即
当
即
时，
即
综上所述：
或
7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
，且
在区间
上单调递减.
(1)求
的解析式及定义域；
(2)设函数
，求证：
在
上单调递减.
【解析】（1）因为幂函数
，
在区间
上单调递减，
所以
，解得
或
，
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所以
，定义域为
.
（2）由（1）知函数
，
设
，则
因为
，所以
，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递减.
8．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D
产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34 元，该店的月
总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出
20000 元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（
）之间满足如下关
系：①当
时，
；②当
时，
.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.
【解析】（1）当
时，
，解得
.
∴
即
（2）当
，
时，设
，
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则
.
令
，解得
（舍去），
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
∵
，
，
，
的最大值为44226.
当
时，
单调递减，故此时
的最大值为
.综上所述，当
时，
有最大值44226.
∴该打印店的最大月利润为44226 元，此时产品的销售价格为51 元/件.
→➍专题训练←
1.已知幂函数
，则实数
等于（ ）
A．2
B．1
C．0
D．任意实数
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义即可求得.
【详解】因为函数
为幂函数，所以m-1=1，则m=2.
故选：A.
2.已知函数
，若方程
有4 个不同的实数根，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．（0，1）
C．
D．
【答案】B
【分析】当
时，方程为
最多有2 个根，则当
时至少有2 个根，
根据这两种情况讨论可得.
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【详解】解：由题意，当
时，
，
可得
，即
，最多只有两个根，分别为1 和
，此时
且
．
那么当
时，则
必有两个根，即
，
可得
，
则有两个根分别为
和
，
那么
，
解得
，
综上，可知实数
的取值范围是（0，1）．
故选：B．
3.下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过
，
两点
B．函数
的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【分析】通过举反例可判断A、C 项，根据幂函数的性质可判断B 项，根据幂函数的性质集
合偶函数的定义可判断D 项.
【详解】解：对于A，幂函数
的图象都经过点
，当
时，不过
点，故A
项错误；
对于B，
的图象过第一、三象限，故B 项错误；
对于C，
与
的图象有三个交点
，这两个函数不相同，故C 项错
误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点
，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点
，
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故D 项正确．
故选：D．
4.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A．若幂函数
的图象过点
，则
B．函数
且
的图象恒过定点
C．函数
在
上单调递减
D．若函数
在区间
上的最大值为
，最小值为，则实数
的取值范
围是
【答案】BD
【分析】由
所过点可求得幂函数
解析式，由此得到
，知A 错误；
由
恒成立可知
过定点
，知B 正确；
由二次函数的性质可知C 错误；
由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定
的范围，知D 正确.
【详解】对于A，令
，则
，解得：
，
，
，
A 错误；
对于B，令
，即
时，
，
恒过定点
，B 正确；
对于C，
为开口方向向上，对称轴为
的二次函数，
在
上单调递
增，C 错误；
对于D，令
，解得：
或
；又
，
实数
的取值范围为
，D 正确.
故选：BD.
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5.图中
，
，
分别为幂函数
，
，
在第一象限内的图象，则
，
，
依次可以是（ ）
A．
，3，
B．
，3，
C．
，
，3
D．
，
，3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：
，
，
，
所以
，
，
依次可以是
，
，3．
故选：D
6.下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
在
上是减函数
C．函数
的单调区间是
D．已知
在
上是增函数，若
，则有
【答案】AD
【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A 选项，函数
的对称轴为
，开口向上，所以
在
上单调递增，故正确；
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对于B 选项，函数
在
上不具有单调性，故错误；
对于C 选项，解不等式
得
，函数得定义域为
，故错误；
对于D 选项，由
得
，由于
在
上是增函数，故
，所以
，故正确.
故选：AD
7.若函数
是幂函数，且是偶函数，则m＝____________.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义，求得
值，再根据函数是偶函数，求
的取值.
【详解】因为函数是幂函数，所以
，解得：
或
，
当
时，函数
是偶函数，成立，
当
时，函数
是奇函数，不成立.
故答案为：
8.若幂函数
的图象过点
，则
__________.
【答案】
【分析】设
，由
可求得
的值，即可求得
的值.
【详解】设
，则
，可得
，
，因此，
.
故答案为：
.
9.已知幂函数
的图象过点
，则
___________.
【答案】
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【分析】由幂函数的解析式的形式可求出
和
的值，再将点
代入可求
的值，
即可求解.
【详解】因为
是幂函数，
所以
，
，又
的图象过点
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：.
10.已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上的最大值为2，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数
，即可得解；
（2）首先得到
的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的
最大值，从而求出参数的值；
（1）解：因为
为幂函数，所以
，解得
或
因为
为偶函数，所以
，故
的解析式
；
（2）解：由（1）知
，对称轴为
，开口向上，当
即
时，
，即
；当
即
时，
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，即
；综上所述：
或
．
11.已知幂函数
是偶函数，且在
上单调递增.
（1）求函数
的解析式；
（2）若
，求
的取值范围：
（3）若实数
满足
，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）2．
【分析】（1）由幂函数定义得
值，由单调性得
的范围，结合奇偶性得
值．
（2）利用偶函数和单调性解不等式；
（3）由（1）得
，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．
【详解】（1 ）
是幂函数，则
，
，又
是偶函数，所以
是偶数，
在
上单调递增，则
，
，所以
或2．
所以
；
（2）由（1）偶函数
在
上递增，
．
所以
的范围是
．
（3）由（1）
，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立．
所以
的最小值是2．
12.已知幂函数
在
上单调递增，函数
．
（1）求m 的值；
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（2）当
时，记
的值域分别为集合A，B，设
，若p 是q
成立的必要条件，求实数k 的取值范围．
（3）设
，且
在
上单调递增，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）由幂函数的定义
，再结合单调性即得解.
（2）求解
，
的值域，得到集合
，
，转化命题
是
成立的必要条件为
，
列出不等关系，即得解.
（3）由（1）可得
，根据二次函数的性质，分类讨论
和
两
种情况，取并集即可得解.
【详解】（1）由幂函数的定义得：
，
或
，
当
时，
在
上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递增，符合题意；
综上可知：
.
（2）由（1）得：
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
由命题
是
成立的必要条件，则
，显然
，则
，即
，
所以实数k 的取值范围为：
.
（3）由（1）可得
，二次函数的开口向上，对称轴为
，
要使
在
上单调递增，如图所示：
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或
即
或
，解得：
或
.
所以实数k 的取值范围为：
【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调
性求参数，理解
是
的必要不充分条件，则
对应集合是
对应集合的真子集是解题的关
键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.
13.某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车
投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润
(单位：10 万元)与营运年数
(
是正整
数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2，且投入运营第六年总利润最大达到110 万元
（1）请求出
关于
的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润
)
【答案】（1）
；（2）20 万元
【分析】（1）根据题意，可得抛物线开口向下，且顶点坐标为（6,11），则可设方程为
，根据题中数据，可得a 值，即可得答案.
（2）由（1）可得y 与x 关系式，进而可得年平均总利润表达式，根据基本不等式，即可
得答案.
【详解】（1）由题意，投入运营第六年总利润最大达到110 万元，
所以二次函数开口向下，且顶点坐标为（6,11）
所以设二次函数为
，
又第三年总利润为2，所以函数过点（3,2）
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代入可得
，
所以
（2）年平均总利润为
，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
所以年平均总利润的最大值20 万元
【点睛】解题的关键是读懂题意，根据题中数据，利用待定系数法求解，考查学生对基本
不等式等基础知识的掌握程度.
14.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放
量
(单位：
)与时间(单位：
）的函数关系为
，当消毒
后，测量得药物释放量等于
；而实验表明，当药物释放量小于
对人体无害．
（1）求
的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】（1）把
代入即可求得
的值；
（2）根据
，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】（1）由题意可知
，故
；
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（2）因为
，所以
，
又因为
时，药物释放量对人体有害，
所以
或
，解得
或
，所以
，
由
，故对人体有害的时间为
．
15.某厂生产某种零件，每个零件的成本为
元，出厂单价定为
元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一次订购量超过
个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降
低
元，但实际出厂单价不能低于
元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41 元？
(2)设一次订购量为
个，零件的实际出厂单价为
元，写出函数
的表达式；
(3)当销售商一次订购
个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利
润=实际出厂单价-成本）
【答案】(1)
(2)
(3)
元
【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为
元列出
求解；
（2）根据题意求分段函数解析式；
（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.
(1)
解：设每个零件的实际出厂价恰好降为
元时，一次订购量为
个，
21
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则
.
(2)
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
(3)
设工厂获得的利润为
元，则
，
即销售商一次订购
个零件时，该厂获得的利润是
元.
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