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6.3 空间几何中的空间角与空间距离
1
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2
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考点一 线线角
【例1-1】（2024 辽宁省）如图，在直三棱柱
中，所有棱长都相等，
分别是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC 中，
，
，
，点D，E，F 满足
，
，
，则直线CE 与DF 所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥
中，
为等边三角形，
为等腰直角三
角形，
，平面
平面ABC，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为 ．
【一隅三反】
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1．（23-24 安徽芜湖·期末）在三棱锥
中，
，
，E，F 分别是
，
的中点，
，则直线
与
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体
中，
，
，
，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2 的正方体中，
分别是
的中点，G 在棱CD 上，且
，H 是
的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：
；
(2)求异面直线EF 与
所成角的余弦值.
考点二 线面角
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【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥
中，
平面
，
是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形
中，
是线段
的中点.沿
直线
将
翻折成
，使得平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示，
平面
，
，
，
为
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的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
2．（2024 贵州贵阳 ）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
为
的中点.
(1)设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小.
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，底面
是正三角形，
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，点
、
分别在
、
上，且
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，且
，
分别为棱
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
考点三 二面角
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【例3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为
的正方体
中，
为
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【例3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
，
，点
为线段
的中点，点
在线段
上.
(1)若
，求证：
；
(2)若
是
上靠近点
的三等分点，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
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【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体
．
(1)证明：
．
(2)求二面角
的余弦值．
2．（2024 四川凉山 ）如图，四棱锥
的底面是边长为3 的菱形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，求二面角
的正切值.
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3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，
且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
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考点四 点面距
【例4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱
中，
是边长为2 的等边三角形，
.
(1)证明：
；
(2)若三棱柱
的体积为3，且直线
与平面ABC 所成角为60°，求点
到平面
的距离.
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
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(2)若二面角
的余弦值为
，求点
到平面
的距离.
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，圆O 的半径为1，
，点G 是线段BF 的中点．
(1)证明：
平面DAF；
(2)若直线DF 与圆柱底面所成角为45°，求点G 到平面DEF 的距离．
考点五 点线距和线线距
【例5-1】（23-24 浙江·期中）空间点
，则点
到直线
的距离
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点，直线
与
所成角的余弦值为
．求：
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(1)点
到直线
的距离；
(2)二面角
的余弦值．
【一隅三反】
1（2024·广西来宾·一模）棱长为3 的正方体
中，点E，F 满足
，
，则点
E 到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
∥
，
，
，
为棱
的中点.
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(1)证明：
∥平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)求A 点到直线
的距离.
考点六 动点问题
【例6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形
中，
，
，
是
的中点，如图所示，沿
将
翻折至
，使得平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)若
是否存在
，使得
与平面
所成的角的正弦值是
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
【例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知
平面
，
，
是等腰直角三角形，
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其中
，且
．
(1)设线段
中点为
，证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离等于
，如果存在，求
的长．
【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面
是正方形，
平面
，
，
，点
、
分别为线段
、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值是
，若存在求出
的值，若不
存在，说明理由．
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2．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）如图1，在
中，
，
，
为
的中点，
为
上一点，且
.现将
沿
翻折到
，如图2.
(1)证明：
.
(2)已知二面角
为
，在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？
若存在，确定
的位置；若不存在，请说明理由.
3．（22-23 高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱
中，四边形
是菱形，
，平面
平面
.
(1)证明：
；
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(2)已知
，
，平面
与平面
的交线为.在上是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求线段
的长度；若不存在，试说明理由.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面
直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体
中，已知
，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线
与BD 所成的角为90°
B．线段
的长度为
C．直线
与
所成的角为90°
D．直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱
中，
，
，
为线段
的中
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点，点
在线段
上，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体
满足
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面
是边长为2 的正方形，半圆面
底面
，点
为圆弧
上的动点．当三棱锥
的体积最大时，二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为线段
的中点，
为线段
的中点.直线
到平面
的距离为（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长
椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知
和
是圆
的两条互相垂直的直径，将平面
沿
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翻折至平面
，使得平面
平面
（如图2）此时直线
与平面
所成角的正弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体
中，M，N 分别为
，
的中点，则（ ）
A．直线MN 与
所成角的余弦值为
B．平面
与平面
夹角的余弦值为
C．在
上存在点Q，使得
D．在
上存在点P，使得
平面
二、多选题
9．（2024 高三上·湖北·开学考试）如图，
平面
，
，
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
平面
C．平面
与平面
的夹角的余弦值为
D．直线
与平面
所成角的正弦值为
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，
是矩形
所在平面外一点，
，二
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面角
为
，
为
中点，
为
中点，
为
中点．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是二面角
的平面角
C．
D．
与
所成的角的余弦值
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为2，E 为线段
的中点，
，
其中
，
，点Q 在底面ABCD 内（包括边界），且点Q 到点A 的距离与到平面
的距离相等，
则下列选项中正确的是（ ）
A．当
时，
的最小值为
B．当
时，
与
不垂直
C．当
时，存在点P，使得EP 与平面
所成的角为
D．当
时，PQ 的最小值为
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥
的底面
为正方形，
平面
，且
，
．四棱锥
的各个顶点均在球O 的表面上，
，
，则直线l 与平面
所成夹角的范
围为 ．
13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点
是圆台
的上底面圆
上的动点，
在下底面圆
上，
，则直线
与平面
所成角的余弦值的最小值为 ．
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14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥
中，
，
，
，二
面角
的余弦值是
．则当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥
中，
底面
，且
，四边形
是直角
梯形，且
，
，
，
，
为
中点，
在线段
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线PB 与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到PD 的距离.
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16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以
为轴的
圆柱与以
为轴截面的半圆柱
拼接而成，其中
为半圆柱的母线，点
为弧
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当
，平面
与平面
夹角的余弦值为
时，求点
到直线
的距离.
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
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18．（2024·山西吕梁·三模）如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为底面
圆
的内接正三角形，且
的边长为
，点
在母线
上，且
，
.
(1)求证：
，并求三棱锥
的体积；
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距
离.
19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱
中，
，
，侧面
为矩形，
，三棱锥
的体积为
．
(1)求侧棱
的长；
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(2)侧棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出线段
的长；
若不存在，请说明理由．
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