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6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（23-24安徽芜湖·期末）在三棱锥 中， ， ，E，F分别是 ， 的中点，
，则直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为E，F分别是 ， 的中点，
所以 ，故 或其补角为直线 与 所成的角，
，
又 ，
故 ，
故直线 与 所成的角的余弦值为 .
故选：A
2.（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足 ， ，则点
E到直线 的距离为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得 ， ， ，
， ，设向量 与 的夹角为 ，
，
所以点 到直线 的距离为 .
故选：A.
3．（2025·青海）在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的中点，点 在线
段 上，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
则 ，故 ，
因为 轴 平面 ，则可取平面 的法向量为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B.
4．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅
因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知 和 是圆 的两条互相垂直的直径，将平面 沿
翻折至平面 ，使得平面 平面 （如图2）此时直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 平面 ，则 平面 ， ，
因此直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，令圆半径 ，则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B
5（2025广西）如图，在圆锥 中， 为圆锥的底面直径， 为等腰直角三角形，B为底面圆周
上一点，且 ，M为 上一动点，设直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点 作 于点 ，连 ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，又
， ， 平面 ，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，故
为直线 与平面 所成的角，在 中， 越小， 越大， 越大，当 时，
最小，此时 最大，∵ 为等腰直角三角形，又 ，在 中， ,在
中， ，则 ,在等腰直角三角形 中， ，在 中，, ,则 ，
故选：C.
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中
点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ，所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ．所以点 到平面 的距离为 ，
故选：A
7．（2025·甘肃白银·三模）已知平行六面体 的各棱长均为1，且 ，
则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．线段 的长度为
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．三棱锥 的体积是平行六面体 的体积的
【答案】D
【解析】以 为空间向量的基底来表示空间向量：
，
因为
所以 ，故B正确；又由 ，
则 ，故A正确；
由底面 是菱形，则 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角就是 ，
利用 的菱形 可得： ，
再由余弦定理得： ，
则 ，故C正确；
设平行六面体的高为 ，则三棱锥 的体积为 ，
而平行六面体 的体积为 ，
所以三棱锥 的体积是平行六面体 的体积的 ，故D错误；
故选：D.
8．（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形 中， 为 中点，点为 的中点，将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，下列说法中不正确的有
（ ）
A． 平面
B．点 到平面 的距离为
C． 与平面 所成角的正弦值为
D．三棱锥 外接球表面积为
【答案】B
【解析】在等腰梯形 中， 为 中点，
，且 ， 四边形 为平行四边形，
，且 ，又 ，所以 为等边三角形，
即 ，所以四边形 和四边形 均为菱形，
， ， ，
，翻折后，
， ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，故A正确；
对于B， 平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， ，， ， ，
则 ，即 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
，解得 ，故B错误；
对于C， 与平面 所成角的正弦值为 ，故C正确；
对于D，根据题意 为等边三角形，且平面 平面 ，
设 外接圆圆心 ，过 分别作平面 与平面 的垂线，交点 即为球心，连接
，
，
，
所以三棱锥 外接球表面积为 ，故D正确；
故选：B
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，O为上底面 的中心，则
（ ）
A． 平面B．
C．直线 与 的距离为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
，平面 的法向量 ，
设直线BC与平面 所成角为 ，
则 ，所以直线BC与平面 所成角的正弦值为 ，故D正确；
， ，
则 ，
所以 不成立，故B错误；
因为 ，设 ， ，
则 ，令 ，则 ，
又因为 ，所以直线 与 的距离为 ，故C正确.
故选：ACD
10．（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱 中，点E为棱 的中点，点F为棱 的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A． 平面
B．若 ，则
C．若 ，则直线 与 所成角的余弦值为
D．若 ，则平面 与平面 的夹角为
【答案】ABD
【解析】对于A：依题意， ，则四边形 为平行四边形,
所以 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故A正确；
对于B：因为 ，又 ， ，
所以，
则 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 （或其补角）即为直线 与 所成的角，
不妨设 ， ，则 ， ，
故直线 与 所成角的余弦值为 ，故C错误；
对于D，取 的中点 ，连接 ，则 是正三棱柱 的中截面，
平面 平面 ，平面 与平面 的夹角等于平面 与平面 的夹角，
取 的中点 ，连接 ，由 ，
得 ，又 ，则 是平面 与平面 的夹角，
在 中， ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，故D正确．
故选：ABD
11．（2025·浙江嘉兴·二模）已知四棱锥 ，底面是边长为 的正方形， 底面 ， ，点
满足 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得B．当 时，点 到平面 的距离为
C．当平面 平面 时，
D．当二面角 为 时，
【答案】AC
【解析】因为 底面 ， ，底面 是边长为 的正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
，其中 ，
故点 ，
对于A选项， ， ，
若存在点 ，使得 ，则 ，解得 ，合乎题意，
所以，存在点 ，使得 ，A对；
对于B选项，当 时，点 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，且 ，所以，点 到平面 的距离为 ，B错；
对于C选项，设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
若平面 平面 ，则 ，解得 ，C对；
对于D选项，平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
若二面角 为 ，则 ，解得 ，D错.
故选：AC.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台 中， 平面 ，四边形 为正方形，
，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .【答案】
【解析】连接 与 交于点 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 平面 ，
又 ，则 平面 ，
故 即 为 在平面 上的射影， 即为所求的线面角，
又 ， ，故 .
故答案为： .
13．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点， 是母线， ，该圆锥的底面半径是1．B、C分
别在圆锥的底面上，则异面直线 与 所成角的最小值为 ．
【答案】【解析】
如图，过 作 交底面圆锥于 点，连接 ，
因为 ，则 为异面直线 与 所成角，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，函数 在 上单调递减，所以 ，
故异面直线 与 所成角的最小值为 .
故答案为： .
14．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为侧面
内（包含边界）的动点，且 ，则动点 的轨迹长度为 ；当线段 取最小值时，三棱
锥 的外接球的半径 ．
【答案】
【解析】如图①，建立空间直角坐标系，则 ．
设 ，则 ，
由题意得 ，则 ．
又因为 ， ，所以 ．
设 分别为 的中点，则线段 为动点 的轨迹，轨迹长度为 ．，则当 时，线段 取得最小值，此时 ，
则点 在平面 内的投影为点 的中点 ．
如图②，设三棱锥 的外接球的球心为 ．
由题意， 为 的外接圆圆心， ，
则 ，即 ，
解得 ，所以 ．
故答案为： ， .
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面
是 的中点，点 是棱 上靠近 的四等分点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到直线 的距离.【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）法一：如图，连接 交 于 ，连接 ，
因为底面 为矩形，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 是 的中位线，
得到 ，而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
法二：根据题意，以点 为坐标原点，
分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
由题意得 ，
则 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，平面 ， 平面 .
（2） ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由已知得 ，
由点到直线的距离公式得 ，
故点 到直线 的距离为 .
16．（2025·江西赣州·二模）如图，三棱锥 中， 是等边三角形， ，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ， ，求E到平面ACD的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）设 的中点为 ，连接 ，由 是等边三角形，则 ，
由中位线定理知 且 ，则 ，
又 平面 ，故 平面 ，
由 平面 ，所以 .
（2）由 ，则 ，
由题设 ，则 ， ，
由余弦定理 ，
又 ， ，则 ，
由 ，则 ，
由 平面 ， 平面 ，可得平面 平面 ，
在平面 内作 ，则 平面 ，
综上， 两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系 ，
所以 ，而 ，则 ，
所以 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，
所以 到平面 的距离为 .
17．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， 为 的中点，如图所示．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 为等边三角形，平面 平面 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ．
由 分别为 的中点，则 ，
而 ，得 ，
即四边形 为平行四边形，故 ，
而 平面 平面 ，故 平面 ．（2）取 的中点 的中点 ，连接 ，
由 为等边三角形，则 ．
由平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
故 平面 ．
由 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ，
则 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ．
则 ．
由图形知，二面角 为锐二面角，
故二面角 的余弦值为 ．18．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点，
且 .
(1)证明： 平面 .
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，确定
点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：因为 ，
所以由题在 和 中， ，故 ，
所以 ，
所以可得 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又由直三棱柱性质可得 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题意和（1）可以C为原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若 ，则可设 ，则 ,设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
则 ， ，
取 ，则 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以若 ，在线段 上存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ，此时 为线段
的中点.
19．（23-24广东广州·期末）如图1，在平行四边形 中， ，E为 的中点．
将 沿 折起，连接 与 ，如图2．(1)当 为何值时，平面 平面 ?
(2)设 ，当 时，是否存在实数 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的内切球的半径．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【解析】（1）连接 ，由题意得， ，
则 为等边三角形， ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，由 ，
则 ，故 .
若平面 平面 ，
由平面 平面 ， 平面 ， ，
则 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 .
下面证明当 时，平面 平面 .
证明：由 ，则 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
故当 时，平面 平面 ；
（2）由（1）知， ，则平面 平面 .
在平面 内过 作 ，
由平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，则 .
如图，以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
故 ，
由 ，
，
因为 轴垂直平面 ，故可取平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
故当 时，存在 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）设点 到平面 的距离为 ，
由 ，其中 为定值，则要使三棱锥 的体积最大时，则点 到平面 的距离取最大，
取 中点 ，连接 ，则 ，
当 平面 时，点 到平面 的距离最大，
此时，由 平面 ，则平面 平面 ，
由（1）知， ， 为直角三角形， .
则 ，
，
，
在 中， ，取 中点 ，
则 ，且 ，
所以 ，
设内切球球心为 ，内切球半径为 ，由等体积法知，
其中， ，
故 ，
故当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的内切球的半径为 .
