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2023-2024 学年第一学期期末阶段性学习质量检测
初二数学试卷
说明∶ 1．本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 100 分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1.
年第
届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，寻找对称轴，使得图形两部分折叠后可重合是解答本题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线
叫做对称轴，由此分析每一个选项，只有
选项是轴对称图形．
【详解】解：
，
，
选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形．
故选：
．
2. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的
法则对各项进行运算即可．
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【详解】解：A、
与
不属于同类项，不能合并，故A 不符合题意；
B、
，故B 不符合题意；
C、
，故C 符合题意；
D、
，故D 不符合题意；
故选：C．
3. 如图，将一个三角形剪去一个
的内角，剩下图形的内角和是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，熟知四边形内角和为360 度是解题的关键．
【详解】解：∵剩下的图形是一个四边形，
∴剩下图形的内角和是
，
故选：A．
4. 根据下列已知条件，能唯一画出
的是（ ）
A.
，
，
B.
，
，
C.
，
，
D.
，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，根据三角形的三边关系以及确定
三角形的条件有
、
、
、
、
，即可判断．解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于基础题．
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【详解】解：A、∵
，不能够成三角形．该选项是错误．
B、已知两角夹边，即
，三角形就确定了．该选项是正确．
C、边边角不能确定三角形．该选项是错误．
D、一角一边不能确定三角形．该选项是错误．
故选：B．
5. 若
，
，则
的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 12
D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为
，据此代值计算即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
故选D．
6. 两个分式
，
，其中
，则A 与B 的关系是( )
A. 相等
B. 互为倒数
C. 互为相反数
D. A 大于B
【答案】C
【解析】
【分析】把B 化简，化成最简分式，后与A 比较判断即可．
【详解】因为
=
=
=
，
故A 与B 互为相反数，
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故选C．
【点睛】本题考查了分式的化简，熟练进行通分化简是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7. 当
______时，分式
的值为0．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0 的条件，熟知分式值为0 的条件是分子为0，分母不为0 是解题的关键．
【详解】解：∵分式
的值为0，
∴
，
∴
，
∴当
时，分式
的值为0，
故答案
；3．
8 分解因式：
________．
【答案】
【解析】
9. 已知
，则
______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算和代数式求值，先求出
，再由幂
的乘方的逆运算法则把所求式子变形为
，进而由同底数幂乘法计算法则变形得到
，据此可得
答案．
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【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
故答案为；9．
10. 如图，
，且
，且
，请按照图中所标注的数据计算图中实线
所围成的图形的面积
_______．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
由
，可以得到
，而
，由此可
以证明
，所以
；同理证得
，
故
，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面
积．
【详解】解：∵
且
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
同理证得
得
．
故
，
故
．
故答案为：50．
11. 如图，△
中，
，将△
沿
折叠，使得点B 落在
边上的点F 处，若
，
，则
______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，设
，则
，
由折叠的性质可得
，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到
，再由平角的定义可得方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：设
，则
，
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由折叠的性质可得
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
解得
，
∴
，
故答案为：
．
12. 在
中，
，点
在线段
上，若直线
将
分割成一个直角三角形和一
个等腰三角形，则
的度数是__________．
【答案】
或
或
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形，分别画出图形，利用等
腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图1 中，当
，
时，满足条件．
如图2 中，当
，
时，可得
，
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．
如图3 中，当
，
时，
，
，
故答案为：
或
或
．
三、简答题（本大题共5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13. （1）分解因式：
；
（2）解方程：
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，解分式方程：
（1）直接提取公因式
分解因式即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：（1）
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；
（2）
去分母得：
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
，
检验，当
时，
，
∴
是原方程的解．
14. 化简求值：
，并从
，0，1 中任意选一个数代入求值．
【答案】
，2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，注意取值时应先根据分式有意义的条件求出
的取值范围．
【详解】解：原式
∵
∴
且
故当
时，原式
．
15. 已知
，
，求下列式子的值：
（1）
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（2）
【答案】（1）15 （2）18
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为
，再将
，
代入求解；
（2）利用完全平方公式将原式变形为
，再将
，
代入求解．
【小问1 详解】
解：
，
将
，
代入，得：
原式
；
【小问2 详解】
解：
，
将
，
代入，得：
原式
．
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【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算，解题的关键是利用完全平方公式将
所给式子进行变形．
16. 如图是
的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
（1）在图①中，画等腰三角形
，使其面积为3（画出一个即可）；
（2）在图②中，画等腰直角三角形
，使其面积为
（画出一个即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：
（1）取格点C，连接
，则
即为所求；
（2）取格点D，连接
，则
即为所求；
【小问1 详解】
解：如图所示，
即为所求；
【小问2 详解】
解：如图所示，
即为所求。
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17. 如图，在
中，
，
，求
的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，，邻补角的求解，根据三角形外角性质可得
，结合已知推出
，利用三角形内角和即可求出
的度数，进行
求出
的度数，即可求出最后结果．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18. 如图，
于
于
，若
．
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（1）求证：
平分
．
（2）写出
与
之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
，理由见解析
【解析】
【分析】（1 ）根据
，可得
，可证明
，从而得到
，即可；
（2）证明
，可得
，即可．
【小问1 详解】
证明：∵
于
于
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
平分
；
【小问2 详解】
解：
，理由如下：
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在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知到角的两边的距离相等的点在角
平分线上是解答此题的关键．
19. 第十九届亚运会于2023 年9 月23 日在杭州开幕．学校准备用1600 元购买A，B 两种亚运会纪念徽章
作为“魅力校园”的活动奖品，已知A 种徽章比B 种徽章每件多20 元．
（1）若700 元用于购买A 种徽章，剩下资金全部购买B 种徽章，且购买B 种徽章的数量是A 种徽章数量
的3 倍．求A，B 两种徽章每件的价格；
（2）购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提
下，准备购买A，B 两种徽章共120 件．问最多可以购买A 种徽章多少件？
【答案】（1）A，B 两种徽章每件的价格分别为35 元，15 元
（2）最多可以购买A 种徽章10 件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设A 种徽章每件
价格为x 元， 则B 种徽章每件的价格
，根据700 元用于购买A 种徽章，
剩下资金全部购买B 种徽章，且购买B 种徽章的数量是A 种徽章数量的3 倍列出方程求解即可；
（2）设购买A 种徽章m 件，则购买B 种徽章
件，根据总资金不超过1600 元累出不等式求解即
可．
【小问1 详解】
解：设A 种徽章每件的价格为x 元， 则B 种徽章每件的价格
由题意得，
，
解得
，
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经检验，
是原方程的解，
∴
，
答：A，B 两种徽章每件的价格分别为35 元，15 元；
【小问2 详解】
解：设购买A 种徽章m 件，则购买B 种徽章
件，
由题意得，
，
解得
，
∴m 的最大值为10，
答：最多可以购买A 种徽章10 件．
20. 定义：若i 的平方等于
，即
，则i 叫做虚数单位．我们把形如
（a，b 为实数）的数叫
做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．复数有如下特点：
①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法和乘法运算类似，如：
；
．
②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如
的共轭复数为
．
（1）填空：①
； ②
；
（2）若
是
的共轭复数，求
的值；
（3）已知
，求
的值．
【答案】（1）①5；②
（2）1 （3）3
【解析】
【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式．
（1）按照定义及完全平方公式计算即可；
（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a 和b 的值，再代入要求得式子求解即可；
（3）按照定义计算
及
的值，再利用完全平方公式的变形得出
的值．
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【小问1 详解】
解：①
；
故答案为：5；
②
；
故答案为：
；
【小问2 详解】
解：∵
，
是
的共轭复数，
∴
，
∴
；
【小问3 详解】
解：∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21. 【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【知识应用】
（1）根据图②所得的公式，若
，
，则
_____．
（2）若x 满足
，求
的值．
【拓展应用】
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如图③，四边形
中，
于点E，
，
，
，若
E 与
的
面积和为
，则
与
的面积和为 ．
【答案】母题呈现：
；类比探究：
；知识应用：（1）
5；（2）3；拓展应用：23
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，
母题呈现：由题意知，
；
类比探究：由题意知，
；
知识应用（1）将
，
代入
，计算求解即可；
（2）由题意知，
，根据
，计算求值即可；
拓展应用：由题意知，
，
，
，由
，可得
，由
，
，可得
，计算求出
的值，根据
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，计算求值即可．
【详解】解：母题呈现：由题意知，
，
故答案为：
；
类比探究：由题意知，
，
故答案为：
；
知识应用：（1）∵
，
，
∴
，
∴
故答案为：5；
（2）解：由题意知，
，
∴
，
故答案为：3；
拓展应用：∵
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
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∴
，
故答案为：
．
22. 如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形
．
（1）写出图1 中互相平行
线段：
、
、
；
（2）如图2，若点M 是线段
的三等分点，点P 是线段
上的一个动点，画出
取得最小值
时点P 的位置，并说明理由；
（3）如图3，若点M 是直线
上的一个动点，点P 是线段
上的一个动点．已知
，求
的最小值．
【答案】（1）
；
；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判断，平行线的判定等等，
正确利用线段垂直平分线的性质构造辅助线从而确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质结合平行线的判定定理进行求解即可；
（2）如图，延长
至点H，使
，连接
交
于点P，点P 即为所求；
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（3 ）如图，延长
至点H ，使
，连接
，证明
，得到
，连接
，过H 作
于
，可得
垂直平分
，
则
，故当
三点共线，且
时
有最小值，最小值为
的长度，
利用等面积法求出
即可得到答案．
【小问1 详解】
解：∵
，
∴
同理可得
∵
，
∴
，
同理可得
，
∴由平行线的唯一性可知B、C、D 三点共线，
∴
；
故答案为：
；
；
；
【小问2 详解】
解：如图，延长
至点H，使
，连接
交
于点P，点P 即为所求；
∵
，
∴
是
的垂直平分线，
∴
，
∴
，
∴当
三点共线时，
最小，即此时
取得最小值；
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【小问3 详解】
解：如图，延长
至点H，使
，连接
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
连接
，过H 作
于
，
∵
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
当
三点共线，且
时
有最小值，最小值为
的长度，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值为
．
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六、解答题（本大题共 12 分）
23. 【感知】
如图1，在四边形
中，
，且
．求证：
．
【探究】
如图2，在四边形
中，
，且
，点
在边
的延长线上，连
接
，以
为直角边作等腰直角
，过点
作
，垂足为
，连接
交
于点
．
求证：
．
【拓展】
如图3，点
在四边形
内，
，且
，
，过点
作
交
于点
，使
，延长
交
于点
．试探究
与
之间的数量关系，并说明
理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
，见解析
【解析】
【分析】本题考查
是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理
和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
（1）利用
定理即可证明
；
（2）过点
作
于
，证明
，根据全等三角形的性质证明即可；
（3）在
的延长线上取点
，使
，在
上取点
，使
，连接
、
，证明
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，根据全等三角形的性质得到
，
，
，
利用
定理证明
，根据全等三角形的对应边相等证明即可．
【详解】证明：（1）
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
（2）如图②，过点
作
于
，
由（1）可知
，
，
同（1）可得，
，
，
，
在
和
中，
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，
，
；
（3）
．理由如下，
如图③，在
的延长线上取点
，使
，在
上取点
，使
，连接
、
，
∵
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
第25页/共25页
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，
在
和
中，
，
，
．即
．
