期末复习(四) 二元一次方程组
考点一 二元一次方程(组)的解的概念
【例1】已知
是二元一次方程组
的解,则2m-n 的算术平方根为( )
A.4 B.2 C.
D.±2
【解析】把
代入方程组
得
解得
所以2m-n=4,4 的算术平方根为2.故选B.
【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得
到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待
求字母的值.
1.若方程组
的解是
求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.
考点二 二元一次方程组的解法
【例2】解方程组：
【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-
y=1，再用加减消元法求解.
【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为
方法二：
对①进行移项，得x-y=1.③
②+③得3x=9.解得x=3.
将x=3 代入①中，得y=2.
所以原方程组的解为
【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果
方程中有未知数的系数是1 时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相
同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减
消元法.
2.方程组
的解是__________.
3.解方程组：
考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围
【例3】若关于x、y 的二元一次方程组
的解满足x+y<2,则a 的取值范围为(
)
A.a<4 B.a>4 C.a<-4 D.a>-4
【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x、y 的关系，再根据
x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2 求出a 的取
值范围，但计算量大.
【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+
,由x+y<2，得1+
<2，解得a<4.故选A.
【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.
4.已知x、y 满足方程组
则x-y 的值为__________.
考点四 二元一次方程组的应用
【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、
小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60 座和45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天
的租金比45 座的贵200 元.”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4 辆60 座和2 辆45 座的客车到
韶山参观，一天的租金共计5 000 元.”
小明：“我们九年级师生租用5 辆60 座和1 辆45 座的客车正好坐满.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)平安客运公司60 座和45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60 座客车每辆每天的租金-45 座客车每
辆每天的租金=200 元，4 辆60 座一天的租金+2 辆45 座的一天的租金=5 000 元；由此可列出
方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5 辆60 座和1 辆45 座的客车正好坐满”以
及（1）的结果来求出答案.
【解答】（1）设平安公司60 座和45 座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得
解得
答：平安客运公司60 座和45 座的客车每辆每天的租金分别为900 元和700 元.
（2）5×900+1×700=5 200(元）.
答：九年级师生租车一天共需资金5 200 元.
【方法归纳】列方程解决实际问题的解题步骤是：
1.审题：弄清已知量和未知量；
2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；
3.解这个方程；
4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.
5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个
面上的代数式的值相等,求x,y 的值.
6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间70 名工人承接了制作丝巾
的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800 条或者脖子的丝巾1 200 条，一条脖子上
的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子
上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
复习测试
一、选择题(每小题3 分,共30 分)
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
2.方程2x+y=9 的正整数解有( )
A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组
3.方程组
的最优解法是( )
A.由①得y=3x-2，再代入② B.由②得3x=11-2y，再代入①
C.由②-①，消去x D.由①×2+②，消去y
4.已知
是方程组
的解,那么a，b 的值分别为( )
A.1,2 B.1，-2 C.-1,2 D.-1,-2
5.A、B 两地相距6 km，甲、乙两人从A、B 两地同时出发，若同向而行，甲3 h 可追上乙；若
相向而行，1 h 相遇，求甲、乙两人的速度各是多少？若设甲的速度为x km/h，乙的速度为y
km/h，则得方程组为( )
A.
B.
C.
D.
6.足球比赛的记分为：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，一队打了14 场比赛，负5
场，共得19 分，那么这个队胜了( )
A.3 场 B.4 场 C.5 场 D.6 场
7.已知a、b 满足方程组
则3a+b 的值为( )
A.8 B.4 C.-4 D.-8
8.方程组
的解是( )
A.
B.
C.
D.
9.某车间有90 名工人,每人每天平均能生产螺栓15 个或螺帽24 个,已知一个螺栓配套两个螺
帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分
别为( )
A.50 人，40 人 B.30 人，60 人 C.40 人，50 人 D.60 人，
30 人
10.甲、乙二人收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000 元(设两人剩余的
钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )
A.15 000 元，12 000 元 B.12 000 元，15 000 元
C.15 000 元，11 250 元 D.11 250 元，15 000 元
二、填空题(每小题4 分,共20 分)
11.已知a、b 是有理数，观察下表中的运算，并在空格内填上相应的数.
a 与b 的运算
a+2b
2a+b
3a+2b
运算的结果
2
4
12.已知
是二元一次方程组
的解，则m+3n 的立方根为__________.
13.孔明同学在解方程组
的过程中,错把b 看成了6,他其余的解题过程没有出错,
解得此方程组的解为
又已知3k+b=1,则b 的正确值应该是__________.
14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则x=__________，y=__________，z=__________.
15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两
位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为__________.
三、解答题(共50 分)
16.(10 分)解方程组：
(1)
(2)
17.(8 分)(2013·吉林)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每
棵100 元，乙种人参每棵70 元.王叔叔用1 200 元在此特产商店购买这两种人参共15 棵，求
王叔叔购买每种人参的棵数.
18.(9 分)已知方程组
与方程组
有相同的解,求a，b 的值.
19.(11 分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添
加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B 两种饮料均需加入
同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2 克，B 饮料每瓶需加该添加剂3 克，已知270 克该添
加剂恰好生产了A、B 两种饮料共100 瓶，问A、B 两种饮料各生产了多少瓶？
20.(12 分)某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的
电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500 元，乙种每台2 100 元，丙种每台2 500 元.
(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的
进货方案；
(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150 元，销售一台乙种电冰箱可获利200 元，销售一
台丙种电冰箱可获利250 元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你
选择哪种进货方案？
参考答案
变式练习
1.把
代入方程组
得
整理，得
∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.
2.
3.由②，得x=4+y.③
把③代入①，得3(4+y)+4y=19.解得y=1.
把y=1 代入③，得x=4+1=5.
∴原方程组的解为
4.1
5.根据题意,得
解得
6.设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得
解得
答：应分配30 名工人生产脖子上的丝巾，40 名工人生产手上的丝巾.
复习测试
1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C
11.6 12.2 13.-11 14.2
15.35
16.（1）①+②，得3x=6.解得x=2.
把x=2 代入②，得y=1.
所以原方程组的解为
（2）①+②+③，得x+y+z=17.④
④-①，得2z=6,即z=3.
④-②，得2x=12,即x=6.
④-③，得2y=16,即y=8.
所以原方程组的解是
17.设王叔叔购买甲种人参x 棵，乙种人参y 棵.根据题意，得
解得
答：王叔叔购买甲种人参5 棵，乙种人参10 棵.
18.解方程组
得
将x=1,y=-2 代入ax+5y=4,得a=14.
将x=1,y=-2 代入5x+by=1,得b=2.
19.设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得
解得
答：A 饮料生产了30 瓶，B 饮料生产了70 瓶.
20.(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得
解得
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25 台.
②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得
解得
故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35 台，丙种电冰箱15 台.
③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得
解得
不合题意，舍去.
故此种方案不可行.
(2)上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8 750(元)，
第二种方案可获利：150×35+250×15=9 000(元)，
因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，
即购进甲种电冰箱35 台，乙种电冰箱15 台.
