北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.2 函数的基本性质
基础篇
【基础集训】
考点一 函数的单调性及最值
1.下列说法中正确的个数是 ( )
f (x )-f (x )
1 2
①若对任意x,x∈I,当x<x 时, >0,则y=f(x)在I上是增函数;
1 2 1 2 x -x
1 2
②函数y=x2在R上是增函数;
1
③函数y=- 在定义域上是增函数;
x
1
④函数y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
x
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
2.下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是 ( )
1 g (1) x-2
A.y= B.y=lo 1(2-x) C.y= D.y=√2-x
x-2 2 2
答案 B
g
3.函数y=lo 1(-x2+x+6)的单调增区间为 ( )
2
(1 ) ( 1) (1 )
A.
,3
B.
-2,
C.(-2,3) D.
,+∞
2 2 2
答案 A
4.已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
考点二 函数的奇偶性
x
5.若函数f(x)= 为奇函数,则a= ( )
(2x-1)(x+a)
1 2 3
A. B. C. D.1
2 3 4
答案 A
6.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)= ( )
A.6 B.-6 C.4 D.-4
答案 A
7.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1}
答案 A
考点三 函数的周期性
1
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=- ,当2≤x≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= ( )
f (x)
A.-2.5 B.2.5 C.5.5 D.-5.5
答案 B
9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2 018)+f(2 019)= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 B
10.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=log(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是
2
.
答案 f(x)=log(3-x)
2
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 函数的单调性及最值
{ ax,x>-1,
1.(2020北京房山一模,7)已知函数f(x)= 若f(-2)=0,且f(x)在R上单调递增,则a的取值范围
bx+1,x≤-1.
是 ( )
A.(0,2] B.(1,2] C.(1,+∞) D.[2,+∞)
{
a>1,
1
答案 B 由f(-2)=-2b+1=0,得b= 2 ,又由f(x)在R上单调递增,得 a-1≥- 1 +1, 即1<a≤2,故选B.
2
易错警示 分段函数递增(减),既需要每段均为增函数(减函数),还需要考虑各段定义域临界点处的函数值大
小关系.
{ 2x+2+a,x≤1,
2.(2020甘肃、青海、宁夏联考,6)若函数f(x)= log (x+1),x>1有最大值,则a的取值范围为( )
1
2
A.(-5,+∞) B.[-5,+∞) C.(-∞,-5) D.(-∞,-5]
g
答案 B 当x≤1时, f(x)=2x+2+a单调递增,则f(x)≤f(1)=a+4;当x>1时, f(x)=lo 1(x+1)单调递减,则
2
f(x)<f(1)=-1,因为函数有最大值,所以4+a≥-1,解得a≥-5,故选B.
[1 ]
3.已知函数f(x)=logx,g(x)=2x+a,若存在x,x∈
,2
,使得f(x)=g(x),则实数a的取值范围是 ( )
2 1 2 2 1 2
A.[-5,0] B.(-∞,-5]∪[0,+∞)
C.(-5,0) D.(-∞,-5)∪(0,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[1 ]
答案 A 由f(x)=logx,x∈
,2
,得f(x)∈[-1,1].
2 2
[1 ]
若存在x,x∈
,2
,使得g(x)=f(x),
1 2 2 2 1
则g(x) =g(2)=4+a≥-1,解得a≥-5,
max
(1)
g(x) =g =1+a≤1,解得a≤0.
min 2
综上,-5≤a≤0,故选A.
{y,x≥ y,
4.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记min{x,y}= 设f(x)=min{x2,x3},则 ( )
x,x<y,
A.存在t>0,|f(t)+f(-t)|>f(t)-f(-t)
B.存在t>0,|f(t)-f(-t)|>f(t)-f(-t)
C.存在t>0,|f(1+t)+f(1-t)|>f(1+t)+f(1-t)
D.存在t>0,|f(1+t)-f(1-t)|>f(1+t)-f(1-t)
答案 C 作出函数f(x)=min{x2,x3}的图象,显然该函数是单调递增的,所以对任意的t>0均有|f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t),
且|f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t),因此排除B,D.
考虑选项A,当0≤t≤1时, f(t)=t3, f(-t)=-t3,则
|f(t)+f(-t)|=|t3+(-t)3|=t3-t3=0≤2t3=f(t)-f(-t);
当t>1时, f(t)=t2, f(-t)=-t3,则
|f(t)+f(-t)|=|t2-t3|=t3-t2, f(t)-f(-t)=t2+t3,
又t3-t2-(t2+t3)=-2t2<0,
所以|f(t)+f(-t)|<f(t)-f(-t),排除A.故选C.
1 3
5.若函数f(x)= 在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为 ,则a= .
x 4
答案 4
1 1 1
解析 f(x)= 在(0,+∞)上是减函数,因为[2,a]⫋(0,+∞),所以f(x)= 在[2,a]上也是减函数,所以f(x) =f(2)= ,
x x max 2
1 1 1 3
f(x) =f(a)= ,所以 + = ,所以a=4.
min a 2 a 4
x
6.(2020浙江百校联考,11)若函数f(x)= 为奇函数,则实数a的值为 ;当x≥4时, f(x)
(x+2)(x-a)
的最大值为 .
1
答案 2;
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 本题考查函数的奇偶性,函数的最值;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的
核心素养.
-x x
由函数f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x)恒成立,即 =- 恒成立,则x2+
(-x+2)(-x-a) (x+2)(x-a)
1
x x
(a-2)x-2a=x2+(2-a)x-2a恒成立,所以a-2=2-a,即a=2.所以f(x)= = = 4 .
(x+2)(x-2) x2-4 x-
x
4 4
当x≥4时,g(x)=x- 单调递增,所以g(x)≥4- =3,
x 4
1
1 1
则f(x)= 4≤ ,即当x≥4时, f(x)的最大值为 .
x- 3 3
x
小题巧解 根据定义域关于原点对称可以直接得出a=2.
考点二 函数的奇偶性
1.(多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则 ( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数
答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.
∵f(x+1)为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),
∴f(-x)=-f(x+2),
又∵f(x+2)为奇函数,∴f(-x+2)=-f(x+2),
∴f(-x)=-f(x+4),∴-f(x+2)=-f(x+4),
∴f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为2的奇函数,∴f(x+4)是奇函数.
∵f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,
∴f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.
小题巧解 由函数f(x+1)和f(x+2)均为奇函数,根据函数图象的平移变换可得点(1,0)和(2,0)均为函数f(x)图象
的对称中心.所以函数f(x)的周期为2,利用数形结合即可求解.
2.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是( )
A.y=√x B.y=ln x
C.y=tan x D.y=ex-e-x
答案 D 由定义域可得y=√x和y=ln x是非奇非偶函数,故排除A、B;y=tan x的单调增区间是
( π π)
kπ- ,kπ+
,k∈Z,故排除C;只有D符合要求,故选D.
2 2
3.(2017北京海淀二模,6)已知f(x)是R上的奇函数,则“x+x=0”是“f(x)+f(x)=0”的 ( )
1 2 1 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若x+x=0,则x=-x, f(x)=f(-x)=-f(x),从而f(x)+f(x)=0,故充分性成立;
1 2 1 2 1 2 2 1 2
若f(x)=0,则x=1,x=2时, f(x)+f(x)=0,但x+x≠0,故必要性不成立,所以“x+x=0”是“f(x)+f(x)=0”的充分
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
而不必要条件.
4.(2017安徽淮南一模,7)函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(5) (7) (7) (5)
A. f(1)<f <f B. f <f(1)<f
2 2 2 2
(7) (5) (5) (7)
C. f <f <f(1) D. f <f(1)<f
2 2 2 2
答案 B ∵函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,
(7) (5)
∴函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x),∴f(1)=f(3), f <f(3)<f ,即f
2 2
(7) (5)
<f(1)<f .故选B.
2 2
5.(2018江苏南京、盐城高三二模,10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时, f(x)=x2+x.若f(a)+f(-
a)<4,则实数a的取值范围为 .
答案 (-1,1)
解析 当x≥0时, f(x)=x2+x为增函数,
∵f(x)为定义在R上的偶函数,
∴f(a)+f(-a)=2f(a)<4,
∴f(a)<2=f(1),
由f(x)是偶函数,得f(a)=f(|a|),
∴f(|a|)<f(1),
∴|a|<1,
∴-1<a<1.
2
6.(2018浙江台州第一次调考(4月),13)若函数f(x)=a- (a∈R)是奇函数,则a= ,函数f(x)的值域为
2x-1
.
答案 -1;(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由已知得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(x)是奇函数,
2 ( 2 )
∴f(-x)=-f(x),∴a- =-
a-
,
2-x-1 2x-1
1 1 1 2x 1-2x
∴a= + = + = =-1.
2x-1 2-x-1 2x-1 1-2x 2x-1
2
∴f(x)=-1- ,当x∈(0,+∞)时,2x>1,∴2x-1>0,
2x-1
1
∴ >0,∴f(x)<-1;
2x-1
1
当x∈(-∞,0)时,0<2x<1,∴-1<2x-1<0,∴ <-1,
2x-1
2
∴- >2,∴f(x)>1,故函数f(x)为值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
2x-1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考点三 函数的周期性
( 3]
1.(2020河南模拟,7)已知定义在R上的奇函数f(x),对任意实数x,恒有f(x+3)=-f(x),且当x∈ 0, 时, f(x)=x2-
2
6x+8,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)= ( )
A.6 B.3 C.0 D.-3
答案 B 根据题意,对任意实数x,恒有f(x+3)=-f(x),则有f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,
( 3]
又由f(x)为定义在R上的奇函数,得f(0)=0,则f(3)=-f(0)=0,又由当x∈ 0, 时, f(x)=x2-6x+8,得f(1)=3,
2
f(2)=f(-1+3)=-f(-1)=f(1)=3,
f(4)=f(1+3)=-f(1)=-3,f(5)=f(2+3)=-f(2)=-3,
则有f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0,
则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=[f(0)+f(1)+f(2)+…+f(5)]×336+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3.故选B.
解后反思 已知a≠0,若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的周期为2|a|.
π
2.(2018河南洛阳一模,6)已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)= ,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=(
3
)
π 2π 4π
A. B. C.π D.
3 3 3
答案 B 由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2),则f(x)=f(x+4).所以
2π
F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)= .故选B.
3
3.(2016内蒙古包头一模,9)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)
在区间[-8,8]上有四个不同的根x,x,x,x,则x+x+x+x 的值为 ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
A.8 B.-8 C.0 D.-4
答案 B ∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),
∴函数f(x)是以8为周期的周期函数,
又由 f(x-4)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+6)=-f(x-2),因为f(x)是奇函数,所以f(x+2)=-f(x-2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于
x=2对称,结合在[0,2]上为增函数,可得函数的大致图象如图,由图看出,四个交点中的左边两个交点的横坐标
之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x+x+x+x=-8.故选B.
1 2 3 4
4.(多选题)(2021届山东潍坊一模)已知函数f(x),∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2
020),a∈[5,9],且f(x)在[5,9]上为单调函数,则下列结论正确的是 ( )
A. f(3)=0
B.a=8
C.f(x)是周期为4的周期函数
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 AB ∵∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x), f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4),∴f(x-4)=-
f(x),∴f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),故f(x)的周期T=8.
因为T=8,故C错.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
f(a)=-f(2 020)=-f(252×8+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-[-f(6-(-2))]=f(8),由a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调,易得a=8.故B
对.
∵f(x)=-f(6-x),∴f(3)=-f(6-3)=-f(3)⇒f(3)=0,故A对.
∵f(x+1)=f(-x+1),∴直线x=1为对称轴,故D错.
故选AB.
5.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),8)设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)
+f(8),则满足条件的f(x)可以是 ( )
πx πx
A.f(x)=3cos B.f(x)=3sin
4 4
πx πx
C.f(x)=3sin2 D.f(x)=3sin2
8 16
答案 C 根据f(x)是定义在R上的偶函数,排除B.∵f(x+8)=f(x)+f(8),∴令x=0,得f(8)=f(0)+f(8)⇒f(0)=0,排除A.
再令x=-8,得f(0)=f(-8)+f(8)⇒f(8)=0,∴f(x+8)=f(x),故f(x)是周期为8的周期函数,故选C.
| (1) |x| 1| (1) |x|
-
6.(2019浙江杭州二模(4月),8)设函数f(x)= - ,则函数y=f(f(x)) ( )
2 2 2
A.是偶函数也是周期函数
B.是偶函数但不是周期函数
C.不是偶函数是周期函数
D.既不是偶函数也不是周期函数
x+ y+|x- y|
答案 A 由恒等式max{x,y}= 知,
2
| (1) |x| 1| (1) |x|
f(x)= - -
2 2 2
1 1 1
=max - ,-2· |x|+ ,
2 2 2
1 1 1
从而f(f(x))=max - ,-2· |f(x)|+ .
2 2 2
作出函数y=f(x)的图象,如图.
[ 1 1)
- ,
由图可知,其值域为 ,
2 2
(1) |f(x)| 1 [ 3 1 ] (1) |f(x)| 1 1
所以-2· + ∈
- , -√2
,所以-2· + <- ,
2 2 2 2 2 2 2
1
故f(f(x))=- ,所以y=f(f(x))是偶函数也是周期函数,故选A.
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
综合篇
【综合集训】
考法一 判断函数单调性的方法
f (x )-f (x )
1 2
1.已知函数f(x)满足:①对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞)且x
1
≠x
2
,都有
x -x
>0;②对定义域内的任意x,都有
1 2
f(x)=f(-x),则符合上述条件的函数是 ( )
1
A. f(x)=x2+|x|+1 B. f(x)= -x
x
C. f(x)=ln|x+1| D. f(x)=cos x
答案 A
2.已知函数f(x)=log(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递增区间是 ( )
a
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1]
答案 C
考法二 函数单调性的应用
(1)
3.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是( )
3
(1 2) [1 2) (1 2) [1 2)
, , , ,
A. B. C. D.
3 3 3 3 2 3 2 3
答案 A
4.若函数f(x)=log(ax2-x)在闭区间[2,4]上是增函数,则实数a的取值范围是 .
a
答案 (1,+∞)
考法三 函数奇偶性的判断及应用
5.(2020广东揭阳摸底)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先递增后递减 D.先递减后递增
答案 A
6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 C
7.已知f(x)=√4-x2,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是 ( )
A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数
B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数
g(x)·f (x)
C.h(x)= 是偶函数
2-x北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
f (x)
D.h(x)= 是奇函数
2-g(x)
答案 D
( 1)
8.(2020福建龙岩质量检查)已知f(x)为奇函数,且当x≥0时, f(x)=ex-1,则f ln = ( )
2
1 1
A.- B.-1 C.1 D.
2 2
答案 B
9.(2021届江苏南京六校联考)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)=f(1-x).当x∈(0,1]时, f(x)=log(2x+3),则f
2
(93)
的值是 ( )
2
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 B
考法四 函数周期性的确定及应用
10.定义在R上的奇函数f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时, f(x)=2x-1,则f(log20)等于 ( )
2
1 1 1 1
A. B.- C.- D.
4 4 5 5
答案 D
11.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:
f (x )-f (x )
1 2
①对任意的x,x∈[4,8],当x<x 时,都有 >0;
1 2 1 2 x -x
1 2
②f(x+4)=-f(x);
③y=f(x+4)是偶函数.
若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a
答案 B
12.已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 D
考法五 函数值域的求解方法
2-x
13.函数y= ,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是 ( )
x+1
A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2)
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
{ 1
- x+m,x<e,
14.(2019皖东名校联盟,15)若函数f(x)= 2 的值域是[e-1,+∞),其中e是自然对数的底数,则
x-lnx,x≥e
实数m的最小值是 .
3e
答案 -1
2
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 判断函数单调性的方法
f (x )-f (x )
2 1
1.(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),对于任意x,x∈[0,+∞),
1 2 x -x
2 1
<0(x≠x),则 ( )
2 1
A.f(-1)< f(-2)< f(3) B.f(3)< f(-1)< f(-2)
C.f(-2)<f (-1)<f (3) D.f(3)<f (-2)<f (-1)
f (x )-f (x )
2 1
答案 D 由f(-x)=f(x),得f(x)为偶函数,对于任意x,x∈[0,+∞), <0,即当x≥0时, f(x)为减函
1 2 x -x
2 1
数,则f(3)<f(2)<f(1),易得f(3)<f(-2)<f(-1),故选D.
2.(2017河南商丘二模,3)设函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是 ( )
A.奇函数,且在(0,e)上是增函数
B.奇函数,且在(0,e)上是减函数
C.偶函数,且在(0,e)上是增函数
D.偶函数,且在(0,e)上是减函数
答案 D f(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称.
f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数,
1 1 -2x
在(0,e)上, f '(x)= - = <0,则函数f(x)在(0,e)上单调递减,故选D.
e+x e-x e2-x2
3
3.函数f(x)=(6-x-x2 )2的单调递减区间为 ( )
[ 1 ] [ 1]
A.
- ,2
B.
-3,-
2 2
[ 1 ) ( 1]
- ,+∞ -∞,-
C. D.
2 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3 1
答案 A 解法一:f '(x)= (6-x-x2 )2(-2x-1),
2
由题意令f '(x)≤0,
{6-x-x2≥0, 1
得 解得- ≤x≤2.故选A.
-2x-1≤0, 2
解法二:令6-x-x2≥0,得-3≤x≤2.
故f(x)的定义域为[-3,2].
[ 1 ] 3 3 [ 1 ]
∵t=-x2-x+6在 -
2
,2 上为减函数,而y= t2在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)=(6-x-x2 )2在 -
2
,2 上为减函数.
故选A.
g
4.(2017河南中原名校第一次质检,3)函数y=lo 1(-x2+x+6)的单调增区间为 ( )
2
(1 ) ( 1)
A.
,3
B.
-2,
2 2
(1 )
,+∞
C.(-2,3) D.
2
答案 A 令t=-x2+x+6,由t>0,得-2<x<3,故函数的定义域为(-2,3),由复合函数的单调性知,只需求函数t=-
x2+x+6在(-2,3)上的单调减区间即可.利用二次函数的性质可得t=-x2+x+6在定义域(-2,3)上的单调减区间为
(1 ) (1 )
,3
,故原函数的单调增区间为
,3
,故选A.
2 2
ax
5.讨论函数f(x)= (a>0)在(-1,1)上的单调性.
x2-1
解析 解法一(定义法):任取x,x∈(-1,1),且x<x,
1 2 1 2
ax ax
1 2
f(x)-f(x)= -
1 2 x2-1 x2-1
1 2
ax x2-ax -ax x2+ax
1 2 1 2 1 2
=
(x2-1)(x2-1)
1 2
a(x -x )(x x +1)
2 1 1 2
= .
(x2-1)(x2-1)
1 2
∵-1<x<x<1,
1 2
∴x-x>0,xx+1>0,(x2 -1)(x2
-1)>0.
2 1 1 2 1 2
又a>0,∴f(x)-f(x)>0,
1 2
故函数f(x)在(-1,1)上单调递减.
解法二(导数法):北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(ax)'(x2-1)-ax(x2-1)'
f '(x)=
(x2-1)2
a(x2-1)-2ax2
=
(x2-1)2
a(-x2-1)
=
(x2-1)2
a(x2+1)
=- .
(x2-1)2
∵a>0,x∈(-1,1),
∴f '(x)<0.
∴f(x)在(-1,1)上单调递减.
6.已知函数f(x)=√x2+1-ax,其中a>0.
(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;
(2)证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数;
(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
√2
解析 (1)由2f(1)=f(-1),可得2√2-2a=√2+a,即3a=√2,∴a= .
3
(2)证明:当a≥1时,任取x,x∈[0,+∞),且0≤x<x,
1 2 1 2
则f(x)-f(x)=√x2+1-ax-√x2+1+ax
1 2 1 1 2 2
=√x2+1-√x2+1-a(x-x)
1 2 1 2
x2-x2
1 2
= -a(x-x)
√x2+1+√x2+1 1 2
1 2
x +x
( )
1 2 -a
=(x-x) ,
1 2 √x2+1+√x2+1
1 2
因为0≤x<√x2+1,0<x<√x2+1,
1 1 2 2
x +x
1 2
所以0< <1.
√x2+1+√x2+1
1 2
因为a≥1,x-x<0,所以f(x)-f(x)>0,
1 2 1 2
故f(x)在[0,+∞)上单调递减.
(3)任取x,x∈[1,+∞),且1≤x<x,
1 2 1 2
x +x
( )
1 2 -a
由(2)知f(x)-f(x)=(x-x) ,
1 2 1 2 √x2+1+√x2+1
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)-f(x)<0,又x-x<0,
1 2 1 2
x +x
1 2
所以 -a>0恒成立,
√x2+1+√x2+1
1 2
因为1≤x<x⇒2x2 ≥x2 +1,2x2 >x2
+1,
1 2 1 1 2 2
所以√2x≥ √x2+1,√2x>√x2+1,
1 1 2 2
两式相加得√2(x+x)>√x2+1+√x2+1,
1 2 2 1
x +x
√2 1 2 √2
则 < <1,所以0<a≤ .
2 √x2+1+√x2+1 2
1 2
考法二 函数单调性的应用
1.已知函数f(x)=sin x+3x,x∈(-1,1),如果f(1-a)<-f(1-a2),则实数a的取值范围是( )
A.(1,√2) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(1,+∞)
答案 A 易知函数f(x)是奇函数,且在(-1,1)上单调递增,
∵f(1-a)<-f(1-a2),∴f(1-a)<f(a2-1),
{1-a<a2-1,
∴ -1<1-a<1, 解得1<a<√2,故选A.
-1<1-a2<1,
{-x2+4x,x≤4,
2.设函数f(x)= 若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
log x,x>4.
2
A.(-∞,1] B.[1,4]
C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
答案 D 函数图象如图.
∵函数在(a,a+1)上单调递增,∴a+1≤2或a≥4.
∴a≤1或a≥4.
3.(2017河南平顶山一模,12)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x,x,都有
1 2
x f (x )-x f (x ) f (30.2) f (0.32) f (log 5)
2 1 1 2 2
>0,记a= ,b= ,c= ,则 ( )
x -x 30.2 0.32 log 5
1 2 2
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x f (x )-x f (x )
2 1 1 2
答案 B ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x,x,都有 >0,
1 2 x -x
1 2
∴x-x 与x f(x)-x f(x)同号,
1 2 2 1 1 2
x f (x )-x f (x ) f (x ) f (x )
( )
2 1 1 2 即 1 - 2
则x-x 与 同号,
1 2 x x x x
1 2 1 2
f (x)
∴函数 是(0,+∞)上的增函数,
x
∵1<30.2<2,0<0.32<1,log5>2,
2
∴0.32<30.2<log5,
2
∴b<a<c.故选B.
4.(2018安徽蚌埠二模,11)已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f(2)=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C 设t=f(x)-2x, 则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,∵f(x)是单调函数, f(2)=22+2=6,∴t=2,即
f(x)=2x+2,则f(2)=4+2=6,故选C.
5.已知函数f(x)=x+aln x(a>0),对于
(1 ,1 )
内的任意两个相异实数x,x,恒有|f(x)-f(x)|>
|1 - 1|
,则a的取
2 1 2 1 2 x x
1 2
值范围是 .
[3 )
,+∞
答案
2
a x+a
解析 因为a>0,所以f '(x)=1+ = >0在(0,+∞)上恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,设x<x,则
x x 1 2
1 1 1 1 1 1
f(x)<f(x),所以f(x)-f(x)> - ,可得f(x)+ >f(x)+ ,令h(x)=f(x)+ ,则问题转化为函数h(x)=f(x)+ 在
1 2 2 1 x x 2 x 1 x x x
1 2 2 1
(1 ) (1 ) (1-x2 ) 3
,1 上单调递增,即x2+ax-1≥0在 ,1 上恒成立,则a≥ = ,故a的取值范围是
2 2 x 2
max
[3 )
,+∞
.
2
解题关键 题中出现绝对值,利用导数判断f(x)的单调性,从而去绝对值,将问题转化为恒成立问题求解.
考法三 函数奇偶性的判断及应用
1.(2013北京文,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )
1
A.y= B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg|x|
x
1 (1) x
答案 C A中y= 是奇函数,A不正确;B中y=e-x= 是非奇非偶函数,B不正确;C中y=-x2+1是偶函数且
x e
在(0,+∞)上单调递减,C正确;D中y=lg|x|在(0,+∞)上是增函数,D不正确.故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
9x-a
2.函数f(x)= 的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b= ( )
3x
1 1
A.1 B.-1 C.- D.
2 2
9x-a
答案 D ∵f(x)= 的图象关于原点对称,
3x
∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴a=1.
∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,
∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,
∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,
10x+1
∴lg =lg(10x+1)+2bx,
10x
∴lg(10x+1)-x=lg(10x+1)+2bx,
1
∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=- ,
2
1
∴a+b= ,故选D.
2
3.(2017河北“五个一名校联盟”二模,6)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
{log (x+1),x≥0,
3 则g(f(-8))=( )
g(x),x<0,
A.-1 B.-2 C.1 D.2
{log (x+1),x≥0,
3
答案 A ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)= ∴f(-8)=-f(8)=-
g(x),x<0,
log9=-2,∴g(f(-8))=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log3=-1.故选A.
3 3
4.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=-2,函数g(x)=x3-sin x-1,若函数
y=f(x)与y=g(x)的图象相交于点P(x,y),P(x,y),…,P(x,y)(n∈N*),则(x+y)+(x+y)+…+(x+y)=( )
1 1 1 2 2 2 n n n 1 1 2 2 n n
A.-2n+2 B.-2n
C.-n+1 D.-n
答案 D 由f(x)+f(-x)=-2,得f(-x)+1=-[f(x)+1],设h(x)=f(x)+1,则y=h(x)是R上的奇函数.令φ(x)=g(x)+1,则φ(x)也
是R上的奇函数,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象相交于点P(x,y),P(x,y),…,P(x,y)(n∈N*),则函数y=h(x)与
1 1 1 2 2 2 n n n
y=φ(x)的图象相交于点Q(x,y+1),Q(x,y+1),…,Q(x,y+1)(n∈N*).由函数y=h(x)与y=φ(x)都是R上的奇函数,
1 1 1 2 2 2 n n n
n-1
知两函数图象共有奇数个交点,其中一个为原点,另外n-1个交点,恰好是 对关于原点对称的点,所以
2
(x+y+1)+(x+y+1)+…+(x+y+1)=0,故(x+y)+(x+y)+…+(x+y)=-n.
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
5.(2017青海西宁联考,9)函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:对任意x∈R,都有f(x+2)=f(2-
x),f(1+x)=-f(x),则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
答案 B ∵对任意x∈R,都有f(1+x)=-f(x),北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x),f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(1-x)=-f[1+(-x)]=f(-x).
又∵对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),
∴f(x)=f(-x).故f(x)为偶函数.
又∵只有常数函数既是奇函数又是偶函数,函数f(x)在定义域R上不是常数函数,∴函数f(x)不可能为奇函数.
故选B.
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时, f(x)=x2-4,则当x>0时, f(x)= ;不等式f(x)<0的解集
为 .
答案 -x2+4;(-2,0)∪(2,+∞)
解析 当x<0时, f(x)=x2-4,
设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=x2-4,
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x),
∴f(x)=-x2+4,
∴当x>0时, f(x)=-x2+4.
{ x>0, { x<0,
由f(x)<0得不等式组:① 或②
-x2+4<0 x2-4<0,
解不等式组①得{x|x>2},
解不等式组②得{x|-2<x<0},
由①②可知f(x)<0的解集为{x|-2<x<0或x>2}.
考法四 函数周期性的确定及应用
1.(2017浙江台州一模,3)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)= ( )
A.-2 017 B.0 C.1 D.2 017
答案 B y=f(x)是R上周期为2的周期函数,即f(x)=f(x+2),令x=-1,知f(1)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=f(-1)=0.因此f(2
017)=f(1)=0,故选B.
2.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则 f(8)=
.
答案 2-ln 2
解析 ∵x>1时, f(x+2)=f(x),
∴f(8)=f(8-3×2)=f(2),
∵2<e,
∴f(2)=-f(-2)=-(ln 2-2)=2-ln 2.
∴f(8)=2-ln 2.
3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,16)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R都有f(1+x)=f(1-
1
x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则当x∈[-2,6]时,方程f(x)=- 所有根之和为 .
2
答案 4
解析 由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函数f(x)是奇函数,
所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),从而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.
又由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,从而其图象关于直线x=-1也对称,由周期性知函数图象关于
1
直线x=2k+1,k∈Z对称.由题意知函数f(x)在区间[0,1]是增函数,其值域为[0,1],此时方程f(x)=- 无解,由对称性
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1
知函数f(x)在区间[1,2]是减函数,其值域为[0,1],此时方程f(x)=- 也无解.由函数图象关于原点对称知方程
2
1 1
f(x)=- 在区间[-2,-1]和[-1,0]上各有一根,由对称性知两根之和为-2.由周期性知方程f(x)=- 在区间[2,3]和[3,4]
2 2
1
上各有一根,由对称性知两根之和为6.由对称性知,在区间[4,6]上方程f(x)=- 无解,故在区间[-2,6]上共有4个
2
根,其和为4.
4.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x∈[-3,3)时,f(x)=
{-(x+2)2,-3≤x<-1,
则f(4)= ;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+
x,-1≤x<3,
f(2 017)= .
答案 0;337
解析 f(4)=f(-2)=0,因为f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
又因为2 017=6×336+1,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f(2 017)=336×1+1=337.
f (x)
5.已知f(x)对任意的x∈R,都有f(x-1)=f(x+1).当x∈(-2,0]时, f(x)=x+1,则当2<x≤4时, 的最大值为
x
.
1
答案
4
解析 由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),
所以f(x)是周期为2的周期函数,
当2<x≤4时,-2<x-4≤0,
因此f(x-4)=(x-4)+1=x-3,
f (x) x-3 3
所以当2<x≤4时, f(x)=x-3, = =1- ,
x x x
其在(2,4]上单调递增,
3 1
故它的最大值为f(4)=1- = .
4 4
规律总结 几种常见抽象函数的周期
f(x+a) f(x+a)
= =- f(2a-x)=f(x)
f(x+a) f(x+a)= f(x+a)=f(x
性质 1 1 且f(2b-x)=f(x)
=-f(x) f(x-a) +b)(a≠b)
(a≠b)
f (x)f (x)
周期 2|a| 2|a| 2|a| 2|a| |a-b| 2|b-a|
考法五 函数值域的求解方法
3 3
1.(2017河南安阳期中,5)已知函数f(x)的值域为 - ,
,则函数g(x)=f(x)+√1-2f (x)
的值域为( )
2 8
[1 7] [1 ]
A.
,
B.
,1
2 8 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[7 ] ( 1] [7 )
C.
,1
D.
0,
∪
,+∞
8 2 8
答案 B 设t= ,则f(x)=1(1-t2),∵f(x)∈[ 3 3],∴1≤t≤2.设y=1-t2+t=-1(t-1)2+1
√1-2f (x) - ,
2 2 8 2 2 2
(1 ),易知当t=1时,y取得最大值1,当t=2时,y取得最小值1,∴函数g(x)的值域是[1 ].故选B.
≤t≤2 ,1
2 2 2
2.(2017江西吉安一中期中,16)已知a>0且a≠1,函数f(x)=5ax+3+4log 1+x,其中-1≤x≤1,则函数f(x)的
a
ax+1 1-x 4 4
最大值与最小值之和为 .
答案 8
解析 f(x)=4+ax-1+4log 1+x,令g(x)=ax-1+4log 1+x,可知g(-x)=-g(x),故函数g(x)的图象关于原点对
a a
ax+1 1-x ax+1 1-x
称,故函数f(x)的图象关于点(0,4)对称,故函数f(x)的最大值与最小值之和为8.
1
3.已知x>1,则函数y= +x的最小值为 .
x-1
答案 3
解析 ∵x>1,∴x-1>0,
1 1 √ 1
∴y= +x= +(x-1)+1≥2 ·(x-1)+1=3,
x-1 x-1 x-1
1
当且仅当 =x-1,即x=2时“=”成立.
x-1
4.已知函数f(x)={(2-a)x+3a,x<1,
的值域为R,则实数a的取值范围是 .
log x,x≥1
2
答案 [-1,2)
解析
函数f(x)={(2-a)x+3a,x<1,
的值域为R,
log x,x≥1
2
∵y=logx是增函数,
2
∴y=(2-a)x+3a也是增函数,且(2-a)×1+3a≥log1,
2
∴2-a>0,2a+2≥0,解得-1≤a<2.
∴实数a的取值范围是[-1,2).
5.对任意两个实数x 1 ,x 2 ,定义max(x 1 ,x 2
)={x
1
,x
1
≥x
2
,
若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为
x ,x <x .
2 1 2
.
答案 -1
解析 因为f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2+x-2≥0时,解得x≥1或x≤-2.
当-2<x<1时,x2+x-2<0,即f(x)<g(x),
