北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§2.2 函数的基本性质
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021陕西渭南一模,4)已知函数f(x)=3-x+a·3x是奇函数,则f(2)= ( )
82 82 80 80
A. B.- C. D.-
9 9 9 9
80
答案 D 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即3x+a·3-x=-(3-x+a·3x),解得a=-1,则f(2)=3-2-32=- .
9
80
一题多解 由题意得f(0)=1+a·1=0,∴a=-1,经检验符合题意,∴f(x)=3-x-3x,则f(2)=3-2-32=- ,故选D.
9
2.(2021宁夏银川重点高中第一次模拟,6)已知g(x)是定义在R上的奇函数, f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,
f(-a)=2a+2,则a的值为 ( )
A.2 B.-1
C.2或-1 D.2或1
答案 C ∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,∴f(x)+f(-x)=2x2,∵f(a)=2, f(-a)=2a+2,∴4+2a=2a2,解得a=2
或-1,故选C.
3.(2021江西重点中学协作体联考,7)已知f(x)=(3) |x-1| ,则下列不等关系正确的是 ( )
5
A.f(log7)<f(log 2.5)<f(1)
2 0.5
B.f(log 2.5)<f(log7)<f(1)
0.5 2
C.f(1)<f(log 2.5)<f(log7)
0.5 2
D.f(1)<f(log7)<f(log 2.5)
2 0.5
答案 B 画出函数f(x)=(3) |x-1| 的大致图象,如图所示:
5
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函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由函数f(x)的图象可知, f(1)是最大值,∵|log7-1|=|log7-log2|
2 2 2
7
=log <2,|log 2.5-1|=|log 2.5-log 0.5|=log5>2,∴f(log7)>f(log 2.5),∴f(log 2.5)<f(log7)<f(1).故选
2 0.5 0.5 0.5 2 2 0.5 0.5 2
2
B.
1 1
4.(2021河南十所名校阶段检测,5)已知函数f(x)= - (a>0,且a≠1),则f(x)是( )
ax+1 2
A.偶函数,值域为( 1)
0,
2
B.非奇非偶函数,值域为( 1 1)
- ,
2 2
C.奇函数,值域为( 1 1)
- ,
2 2
D.奇函数,值域为( 1)
0,
2
答案 C
由题意可知函数的定义域为R.f(x)=1·1-ax
,
f(-x)=1·1-a-x =1·ax-1=-f(x),所以f(x)
2 1+ax 2 1+a-x 2 ax+1
1 1 1 1 1
是奇函数,因为ax>0,所以ax+1>1,0< <1,- < - < .故选C.
ax+1 2 1+ax 2 2
5.(2021山西孝义2月月考,5)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x-1,若f(x)>-1,则x
0 0
的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
答案 C 由题意,得f(x)在[0,+∞)上是增函数,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上是增函数,又
f(1)=1,则f(-1)=-f(1)=-1,所以f(x)>f(-1),所以x>-1,即x 的取值范围是(-1,+∞),故选C.
0 0 0
6.(2021河南新乡第二次模拟,9)已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称,且对任意的x∈R, f(x+2)=f(-
x)恒成立,当-1≤x<0时, f(x)=2x,则f(2 021)= ( )
1 1
A.-1 B.- C. D.1
2 2
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答案 B 由题意得y=f(x)是R上的奇函数,因为f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-
1
f(x+2)=f(x),即函数y=f(x)的周期为4,故f(2 021)=f(4×505+1)=f(1)=-f(-1)=-2-1=- .
2
7.(2021山西晋中二模,8)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)=g(x)-g(-x)+2,对任意的
x,x∈(-1,1),x≠x,恒有[f(x)-f(x)](x-x)>0,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为 ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A.( 1 ) B.( 1 ) C.( 1) D.( 2 )
- ,+∞ - ,0 -∞,- - ,0
4 4 4 3
答案 B 设h(x)=f(x)-2=g(x)-g(-x),则h(x)为奇函数,根据题意可得h(x)在(-1,1)上为增函数,所以不
等式f(3x+1)+f(x)>4等价于f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=h(-x),可得
{
-1<3x+1<1,
1
-1<-x<1, 解得- <x<0,故选B.
4
3x+1>-x,
8.(2021安徽安庆重点高中月考,3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,在区间[-1,0)上单调递增,且
f(x+2)=-f(x),则有 ( )
A.f(1)<f(3)<f(1) B.f(1)<f(3)<f(1)
3 2 2 3
C.f(1)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(1)
3 2 2 3
答案 A 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), f(1)=-f( 1), f(1)=-f(-1),又f(x+2)=-f(x),所以 f(3)
-
3 3 2
=f( 1 )=-f( 1).又-1<-1<-1<0,且函数f(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以f(-1)<f( 1)<f
- +2 - -
2 2 2 3 2
( 1),所以-f(-1)>-f( 1)>-f( 1),所以f(1)>f(3)>f(1),故选A.
- - -
3 2 3 2 3
解题关键 本题利用周期和奇偶性把自变量转化到同一单调区间比较大小是解题的关键.
9.(2021安徽皖南八校第二次联考,10)设正实数a,b,c满足e2a=bln b=cec=2,则a,b,c的大小关系为
( )
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A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c
答案 B 设f(x)=xex(x>0),易得f(x)在(0,+∞)上单调递增,x∈(1 )时, f(x)∈(√e ),而√e<2,
,1 ,e
2 2 2
所以c∈(1 ),bln b=ln b·eln b=cec,故ln b=c,即b=ec∈( ,e),而a=ln2<1,所以a<c<b.
,1 √e
2 2 2
10.(2021江西五市九校协作体联考,9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的
正数x,x,都有 x f (x )-x f (x ) <0,记a=f (3),b=f(1),c=-f (-2),则( )
1 2 2 1 1 2
x -x 3 2
1 2
A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b
答案 D 不妨设0<x<x,则x-x<0,
1 2 1 2
x f (x )-x f (x )
因为 2 1 1 2 <0,所以x 2 f(x 1 )-x 1 f(x 2 )>0,
x -x
1 2
即 f (x 1 ) > f (x 2 ) ,则f (x)在(0,+∞)上单调递减,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f (-x)
x x x -x
1 2
-f (x) f (x) f (x)
= = ,所以 是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
-x x x
f (-1) f (1) f (-2) f (-2) f (2) f (3)
b=-f(-1)= = ,c=- = = ,a= ,所以a<c<b,故选D.
-1 1 2 -2 2 3
思路分析 如果对任意两个不相等的正数x,x,都有 x f (x )-x f (x ) <0判断f (x)在
1 2 2 1 1 2
x -x x
1 2
f (x)
(0,+∞)上单调递减,再证明 是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据单调性判断即可.
x
二、多项选择题
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11.(2021届山东潍坊四中检测,12)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创
{1,x为有理数,
始人之一,以其名字命名的函数f(x)= 称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法
0,x为无理数
正确的是( )
A.∀x∈R,f(f(x))=1
B.函数f(x)是偶函数
C.对任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立
D.存在三个点A(x,f(x)),B(x,f(x)),C(x,f(x)),使得△ABC为等边三角形
1 1 2 2 3 3
答案 ABCD ∀x∈R,f(x)∈{0,1},
∴f(f(x))=1,A正确;
{1,-x为有理数,
f(x)的定义域为R,f(-x)=
0,-x为无理数
{1,x为有理数,
= =f(x),故f(x)为偶函数,B正确;
0,x为无理数
{1,x+T为有理数,
对任意非零有理数T,f(x+T)=
0,x+T为无理数
{1,x为有理数,
= =f(x),C正确;
0,x为无理数
易知A(√3 ),B(0,1),C( √3 )三点构成等边三角形,D正确.故选ABCD.
,0 - ,0
3 3
12.(2021届江苏扬州期中检测,11)已知函数y=f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,且f(2+x)=f(2-x),则
( )
A.f(1)=0
B.f(x)=f(x+4)
C.f(x+1)=-f(-x-1)
D.y=f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点
答案 ABD 因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(1)=0.又因为f(2+x)=f(2-x),
所以f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的周期是4,即f(x)=f(x+4),且f(1)=f(3)=f(5)=…=f(49)=0,即
f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点.
13.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则 ( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数
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答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.
∵f(x+1)为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),
∴f(-x)=-f(x+2),
又∵f(x+2)为奇函数,∴f(-x+2)=-f(x+2),
∴f(-x)=-f(x+4),∴-f(x+2)=-f(x+4),
∴f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为2的奇函数,∴f(x+4)是奇函数.
由于f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,
∴f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.
三、填空题
14.(2021八省联考,14)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
答案 sin πx(答案不唯一)
解析 由最小正周期为2,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asin ωx(A≠0),满足f(-x)=-Asin
2π
ωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T= =2,可得ω=π.故函数可以是f(x)=Asin πx(A≠0)中任一
ω
个,可取f(x)=sin πx(答案不唯一).
15.(2021北京朝阳二模,14)已知函数f(x)=3x,g(x)=|x+a|-2(a∈R).若函数y=f(g(x))是偶函数,则a=
;若函数y=g(f(x))存在两个零点,则a的一个取值是 .
答案 0;-3(第二空答案不唯一)
解析 因为f(x)是定义在R上的非奇非偶函数,又由函数y=f(g(x))是偶函数,则必有g(x)是偶函数,
从而有a=0.因为f(x)的定义域为R,值域为(0,+∞),所以函数y=g(f(x))存在两个零点等价于函数
y=g(x)存在两个正的零点,即关于x的方程|x+a|-2=0有两个正的实数解,解方程得x=-2-a,x=2-a,故
1 2
x>0且x>0,故a<-2,则a的一个取值可以是-3.(第二空答案不唯一)
1 2
16.(2021天津河东二模,15)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=x2,若对于任意的
x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是 .
答案 [√2,+∞)
解析 ∵f(x)是奇函数,且x≥0时, f(x)=x2,
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∴当x<0时, f(x)=-x2,∴f(x)={ x2,x≥0, 易知f(x)在R上单调递增,且满足2f(x)=f( x),∵不等式
√2
-x2,x<0,
f(x+t)≥2f(x)=f(√2x)在[t,t+2]上恒成立,∴x+t≥√2x在[t,t+2]上恒成立,即x≤(1+√2)t在[t,t+2]上恒成立,
∴t+2≤(1+√2)t,解得t≥√2,故答案为[√2,+∞).
17.(2021山西吕梁一模,20)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b
是奇函数.
2x+1+a
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0恒成立,求k的取值范围.
解析
(1)∵定义域为R的函数f(x)=-2x+b
是奇函数,
2x+1+a
∴f(0)=0,解得b=1.
-2-1+1 2-1
又∵f(-1)=-f(1),∴ = ,∴a=2.
1+a 4+a
(2)由(1)知f(x)=-2x+1
.任取x,x∈R且x<x,则
1 2 1 2
2x+1+2
f(x)-f(x)=-2x 1+1 --2x 2+1
1 2
2x
1
+1+2 2x
2
+1+2
=(-2x 1+1)(2x 2 +1+2)-(2x 1 +1+2)(-2x 2+1)
(2x
1
+1+2)(2x
2
+1+2)
=-2x
1
+1+2x
2
+1-2·2x 1+2·2x
2=
2x
2
+2-2x
1
+2
,
(2x
1
+1+2)(2x
2
+1+2) (2x
1
+1+2)(2x
2
+1+2)
因为x 1 <x 2 ,所以2x 1<2x 2,所以2x 2 +2>2x 1 +2,所以f(x 1 )>f(x 2 ),
所以f(x)=-2x+1 为减函数.不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0可化为t2-4t≥-(3t2-k)恒成立,即4t2-4t≥k,令
2x+1+2
y=4t2-4t=4(
t-
1) 2 -1,所以y
min
=-1.所以k≤(4t2-4t)
min
=-1,所以k≤-1,即k的取值范围为(-∞,-1].
2
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名师点睛 (1)由奇函数求参数的值,一般用f(x)=-f(-x),有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值,
例f(1)=-f(-1);(2)解抽象函数型不等式常利用函数的单调性.
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