文档文本内容
1
【正方形角含半角模型】题集【A】
1.
【解析】
【标注】
如图，点
、
分别是正方形
的边
、
上的点，
，连接
，则
、
、
之间的数量关系是 ．连结
，交
、
于点
、
，则
、
、
满足的
数量关系是 ．
【答案】
;
，
【知识点】正方形中的半角模型；等腰直角三角形中的半角模型
2.
【解析】
在
中，
，
，
、
分别是
上两点，若
，
，
，求
．
【答案】
如图，将
顺时针旋转
得
，
∴
≌
，
连接
，
∵
，
，
∴
，
，
．
又∵
，
∴
，
又∵
，
2
【标注】
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
又∵
，
∴
，
即
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形中的半角模型；直接用勾股求边长
3.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，且
，
，求
的面积 ．
【答案】
．
根据半角模型，可得
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
3
【标注】
根据等高模型，
，
．
【知识点】等腰直角三角形中的半角模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
在正方形
中，
是
边上一点．
将
绕点
按顺时针方向旋转，使
、
重合，得到
，如图所示．观察可
知：与
相等的线段是 ，
．
图
如图，在正方形
中，
、
分别是
、
边上的点，且
，试通过旋
转的方式证明：
．
图
在（）题中，连接
分别交
、
于点
、
，你还能用旋转的思想说明
吗？
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
证明见解析．
能，证明见解析．
∵
绕点
按顺时针方向旋转，使
、
重合，得到
，
4
（2 ）
（3 ）
∴
，
．
故答案为：
，
．
将
绕点
按顺时针方向旋转
，则
与
重合，得到
，如图，
则
，
，
即点
、
、
共线，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
而
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
如图，将
绕点
按顺时针方向旋转
，则
与
重合，得到
，连接
，
则
，
，
，
与（）一样可证明
，得到
，
∵
，
∴
为直角三角形，
∴
，
5
【标注】
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 解答下列问题：
如图，在正方形
中，
的顶点
、
分别在
、
边上，高
与正方形的边
长相等，求
的度数．
如图，在
中，
，
，点
、
是
边上的任意两点，且
，将
绕点
逆时针旋转
至
位置，连接
，试判断
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
如图，在第（）问的条件下，连接
分别交
、
于点
、
，若
，
，
，求
、
的长．
【答案】（1 ）
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
．
，
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
同理，
，
∴
．
．
理由：由旋转可知，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）知，
，
．
设
，则
，
．
在
中，
∵
，
∴
，
解得
，
（舍去），
∴
．
在
中，
．
在（）中，
，
，
7
【标注】
∴
．
设
，则
，
即
，
∴
，
即
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
6. 已知：正方形
中（图），
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
，
（或它们的延长线）于点
，
．
图
当
绕点
旋转到
时（图），线段
，
和
之间有怎样的数量关
系？写出猜想，并加以证明．
图
当
绕点
旋转到图的位置时，线段
，
和
之间又有怎样的数量关系？证
明你的猜想．
图
8
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
若正方形的边长为，当点
运动到
边的中点处时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
，证明见解析．
．
．
证明：如图，把
绕点
顺时针旋转
，得到
，则可证得
、
、
三点
共线．
图
∴
，
又∵
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
；
．
证明：如图，在线段
上截取
，
图
在
和
中，
9
（3 ）
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
如图．
∵正方形的边长为，
点
运动到
边的中点处，
∴
．
根据（）可知，
，
设
，则
，
∴
．
在
中，
∵
，
∴
．
解得
．
∴
．
【知识点】半角模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等
问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．
如图，
与
均为等腰直角三角形，
与
交于点
，
与
交于点
．
以点
为中心，将
逆时针旋转
，画出旋转后的
．
在（）的基础上，证明
．
如图，在四边形
中，
，
，
平分
，若
，
，则对角线
的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过
程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
10
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
证明见解析．
．
旋转后的
如图所示：
连接
，
∵
与
为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
是由
旋转得到的，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
中，根据勾股定理得：
，
∴
．
如图，将
顺时针旋转
到
，连接
，
则
是等腰直角三角形，
，
∵
，
∴
，
，
，
均在同一直线上，
11
【标注】
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】半角模型
