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1
【旋转之角含半角】 题集【B】
一、角含半角和差问题
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图
、
分别在正方形
的边
、
上，且
．
求证：
．
若线段
、
的长分别是方程
的两个根，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
延长
到
，使
，连接
（如图）
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
2
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
，
．
【知识点】半角模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
3
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
的长为．
成立，理由如下：
如图，将
绕点
旋转
，由于
,
∴旋转后
点与
点对应，
点与
点对应．
由旋转可知
≌
，
∴
，
，
又
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
，
又
，
∴
．
．
∴
．
在
和
中，
，
4
（3 ）
【标注】
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
作
关于直线
的对称
，
作
关于直线
的对称
，
∵
是
的高，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
延长
、
交于点
，
则四边形
是矩形，
又∵
，
∴四边形
是正方形，
由（）、（）知：
，
，
设
，则
，
∴
，
，
，
在
中，
，
解得
，
，
故
的长为．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
3. 回答下列问题：
如图，在等腰梯形
中，
，
，点
，
分别在
，
上，若
，试探究线段
，
，
有怎样的数量关系？请直接写出
你的猜想，不用证明．
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（2 ）
（1 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
，
，点
，
分别在
，
的延长线上，若
仍然成立，请你进一步探究线段
，
，
又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
猜想的结论：
．
猜想的结论：
，证明见解析．
．理由如下：
如图，
，梯形
是等腰梯形，
，
把
绕点
顺时针旋转
的度数到
(或延长线段
，并在延长线上截
取
，连结
)，则
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
6
（2 ）
，
≌
，
，
又
．
猜想的结论：
．
在
截取
，连接
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
即
．
∵
，
∴
．
即
．
又∵
，
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
7
【标注】【知识点】SAS
【知识点】对应边
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】平行线的性质
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
4. 问题：如图（），点
、
分别在正方形
的边
、
上，
，试判断
、
、
之间的数量关系．
【发现证明】小聪把
绕点
逆时针旋转
至
，从而发现
，
请你利用图（）证明上述结论．
【类比引申】如图（），四边形
中，
，
，
，点
、
分别在边
、
上，则当
与
满足 关系
时，仍有
．
8
（3 ）
（1 ）
【解析】
【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形
．已知
米，
，
，
，道路
、
上分别
有景点
、
，且
，
米，现要在
、
之间修一条笔直道路．求
这条道路
的长（结果取整数，参考数据，
，
）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
的长约为
米．
如图（），∵
≌
，
∴
，
，
，
，
又∵四边形
为正方形，
∴
，
∴
、
、
三点共线，
又∵
，即
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
又∵
，
9
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
．
．
理由如下：如图（），延长
至
，使
，连接
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
即
．
如图，把
绕点
逆时针旋转
至
，连接
，过
作
，垂足为
．
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
米．
根据旋转的性质得到：
，
又∵
，
∴
，即点
在
的延长线上．
易得，
≌
，
∴
，
，
，
又∵
，
．
10
【标注】
故
，
∴
．
从而
．
又∵
，
∴根据上述推论有：
（米），即这条道路
的长约为
米．
【思想】类比思想
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】旋转型全等
【知识点】SAS
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【知识点】正方形的性质
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
二、角含半角平方关系
1.
【解析】
如图，在正方形
中，
，连接
，分别交
、
于点
、
；若
，
，则
，若
，
，则
．
【答案】 ;
，
，
，
11
【标注】
，
．
【知识点】正方形中的半角模型；等腰直角三角形中的半角模型
2.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
，且
，
，求
的面积 ．
【答案】
．
根据半角模型，可得
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据等高模型，
，
．
【知识点】等腰直角三角形中的半角模型
（1 ）
3. 解答下列问题：
如图，在正方形
中，
的顶点
、
分别在
、
边上，高
与正方形的边
长相等，求
的度数．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，点
、
是
边上的任意两点，且
，将
绕点
逆时针旋转
至
位置，连接
，试判断
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
如图，在第（）问的条件下，连接
分别交
、
于点
、
，若
，
，
，求
、
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
同理，
，
∴
．
．
理由：由旋转可知，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
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（3 ）
【标注】
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）知，
，
．
设
，则
，
．
在
中，
∵
，
∴
，
解得
，
（舍去），
∴
．
在
中，
．
在（）中，
，
，
∴
．
设
，则
，
即
，
∴
，
即
．
【知识点】正方形与全等综合
