文档文本内容
1
【旋转之角含半角】题集【A】
一、角含半角和差问题
1.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的边长为，
、
分别是边
、
上的点，连接
．若
的周长是
，则
.
【答案】
将
旋转到
，
由
，
得，
，
则
，而
，
，
所以
≌
，
∴
．
【知识点】正方形中的半角模型
2. 如图，已知：正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交线段
、
于点
、
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（1 ）
【解析】
求证：
．
求证：
．
求证：
．
求证：
平分
．
求证：过点
作
，垂足为
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
延长
到
使
四边形
是正方形，
．
在
和
，
≌
，
，
．
3
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
【标注】
，
，
，
在
和
中
≌
，
，
．
，
，
．
≌
，
，
≌
．
，
．
≌
，
．
即
平分
．
≌
，
．
【知识点】半角模型
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在正方形
中，
是
边上一点．
将
绕点
按顺时针方向旋转，使
、
重合，得到
，如图所示．观察可
知：与
相等的线段是 ，
．
图
如图，在正方形
中，
、
分别是
、
边上的点，且
，试通过旋
转的方式证明：
．
图
在（）题中，连接
分别交
、
于点
、
，你还能用旋转的思想说明
吗？
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
证明见解析．
能，证明见解析．
∵
绕点
按顺时针方向旋转，使
、
重合，得到
，
∴
，
．
故答案为：
，
．
将
绕点
按顺时针方向旋转
，则
与
重合，得到
，如图，
5
（3 ）
【标注】
则
，
，
即点
、
、
共线，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
而
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
如图，将
绕点
按顺时针方向旋转
，则
与
重合，得到
，连接
，
则
，
，
，
与（）一样可证明
，得到
，
∵
，
∴
为直角三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
6
4.
【解析】
【标注】
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
上的点，且
，
，
，则
的值为 .
【答案】
延长
到
，使
，连接
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．又
，
∴
≌
．
∴
．
∵
．
∴
．
故答案：．
【能力】推理论证能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
5. 回答下列各题：
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
上
的点，且
．求证：
．
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
上的
点，且
，（）中的结论是否仍然成立？不用证明．
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
延长线上的点，且
，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若
不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
延长
到
，使
，联结
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
又
，
∴
≌
．
∴
．
∵
．
∴
．
（）中的结论
仍然成立．
结论
不成立，应当是
．
证明：在
上截取
，使
，连接
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
≌
．
9
【标注】
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
1
2
（1 ）
图
（2 ）
6.
1
（1 ）
【解析】
回答下列问题
探究发现：如图，
为等边三角形，点
为
边上的一点，
，
且
．
图
求
的度数．
与
相等吗?请说明理由
类比探究：如图，
为等腰直角三角形，
，点
为
边上的一点，
，
，
，请直接写出下列结果，
的度数．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
说明见解析．
．
∵
是等边三角形，
10
2
（2 ）
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
∴
，
∴
．
；理由如下：
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】半角模型
7. 如图，
是正三角形，
是顶角
的等腰三角形，以
为顶点作一个
角，角的两边分别交边
、
于
、
两点，连结
，完成下列各题：
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
若
，请写出线段
、
、
之间的数量关系，不要求证明．
如图，若
与
不平行，其他条件不变，试问（）中线段
、
、
之间的数量
关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
若点
、
分别是边
、
延长线上的点，其他条件不变，请在图中画出图形，并再探究
线段
、
、
之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
成立．证明见解析．
证明见解析．
证明：①∵
是正三角形，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
则
，
12
（2 ）
（3 ）
∵
是顶角
的等腰三角形，
∴
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
是等边三角形，
，
∴
，
∴
；
成立．
延长
至
使
连结
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
，
13
【标注】
延长
至
，使
，连结
，
同（）可证：
≌
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】SAS
【知识点】半角模型
【能力】推理论证能力
【能力】分析和解决问题能力
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
8. 探索：
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
上的
点，且
．求证：
．
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
延长线上的点，且
．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若
不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
结论
不成立，应当是
．
延长
到
，使
，连接
，
∵
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
结论
不成立，
应当是
，
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【标注】
证明：在
上截取
使
，
连接
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
