文档文本内容
1
正方形角含半角模型】题集【B】
一、角含半角和差问题
1.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的边长为，
、
分别是边
、
上的点，连接
．若
的周长是
，则
.
【答案】
将
旋转到
，
由
，
得，
，
则
，而
，
，
所以
≌
，
∴
．
【知识点】正方形中的半角模型
2. 如图，正方形
的边长为，
，则
的周长为 ．
2
【解析】
【标注】
【答案】
过
作
，交
的延长线于
，如图：
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
，
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
∴
的周长
．
∵正方形的边长为，
∴
的周长为．
故答案为：．
【知识点】正方形中的半角模型
3. 已知：四边形
为正方形，
是等腰
，
．
3
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图：当
绕点
旋转时，若边
、
分别与
、
相交于点
、
，连接
，试证明：
．
如图，当
绕点
旋转时，若边
、
分别与
、
的延长线相交于点
、
，连接
．
试写出此时三线段
、
、
的数量关系并加以证明．
若
，
，求：正方形
的边长以及
中
边上的高．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
略．
三线段
、
、
的数量关系是：
，
证明：如图，在
上取一点
，使
连接
，
易证
≌
中，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
在
和
中，
4
2
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
．
正方形
边长为，
边上的高为
．
【知识点】旋转性质综合应用
1
2
（1 ）
图
（2 ）
4.
1
（1 ）
【解析】
回答下列问题
探究发现：如图，
为等边三角形，点
为
边上的一点，
，
且
．
图
求
的度数．
与
相等吗?请说明理由
类比探究：如图，
为等腰直角三角形，
，点
为
边上的一点，
，
，
，请直接写出下列结果，
的度数．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
说明见解析．
．
∵
是等边三角形，
∴
，
，
5
2
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
∴
，
∴
．
；理由如下：
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】半角模型
5. 如图，在正方形
中，
，连接
，分别交
、
于点
、
；若
，
，则
，若
，
，则
．
6
【解析】
【标注】
【答案】 ;
，
，
，
，
．
【知识点】正方形中的半角模型；等腰直角三角形中的半角模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
7
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
的长为．
成立，理由如下：
如图，将
绕点
旋转
，由于
,
∴旋转后
点与
点对应，
点与
点对应．
由旋转可知
≌
，
∴
，
，
又
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
，
8
（3 ）
又
，
∴
．
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
作
关于直线
的对称
，
作
关于直线
的对称
，
∵
是
的高，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
延长
、
交于点
，
则四边形
是矩形，
又∵
，
∴四边形
是正方形，
由（）、（）知：
，
，
设
，则
，
∴
，
，
，
在
中，
，
解得
，
，
故
的长为．
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【标注】【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
7. 【发现证明】
如图，点
，
分别在正方形
的边
，
上，
，试判断
，
，
之
间的数量关系．
小聪把
绕点
逆时针旋转
至
，通过证明
≌
；从而发现并证明了
．
图
【类比引申】
如图，点
、
分别在正方形
的边
、
的延长线上，
，连接
，请根据小聪的发现给你的启示写出
、
、
之间的数量关系，并证明．
图
【联想拓展】
如图，如图，
，
，点
、
在边
上，且
，若
，
，求
的长．
10
（1 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明：如图
所示，
图
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合，
∵
，
∴点
、
、
在一条直线上，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
.
11
（2 ）
【标注】
∵
，
，
∴将
绕点
逆时针旋转
至
，连接
，如图
，
图
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
；
又∵
，
而
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
8. 如图，已知：正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交线段
、
于点
、
．
求证：
．
求证：
．
12
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（1 ）
【解析】
求证：
．
求证：
平分
．
求证：过点
作
，垂足为
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
延长
到
使
四边形
是正方形，
．
在
和
，
≌
，
，
．
，
，
，
在
和
中
≌
，
，
．
13
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
【标注】
，
，
．
≌
，
，
≌
．
，
．
≌
，
．
即
平分
．
≌
，
．
【知识点】半角模型
