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第3 节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
考试要求 1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与
差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在
联系，并会简单应用.
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β ；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β ；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β ；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α
＋
φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__α cos
__α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝.
[常用结论与微点提醒]
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
tan2α＝.
3.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β 都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β 都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(必修一P223T2)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
答案
解析 sin(α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
3.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝______.
答案
解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝.
4.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝______.
答案
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝.
考点一 公式的基本应用
例1 (1)若cos α＝－，α 是第三象限的角，则sin＝( )
A.
B.－
C.－
D.
答案 B
解析 ∵α 是第三象限角，
∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin
＝×＋×＝－.
(2)(2023·长沙测试)若＝，则cos 2α 的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 A
解析 由＝得tan＝，
所以tan α＝tan
＝＝＝2，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.
(3)已知点P(x，2)是角α 终边上一点，且cos α＝－，则cos＝________.
答案 －
解析 因为点P(x，2)是角α 终边上一点，
则有cos α＝＝＝－，
解得x＝－1，
则sin α＝＝，
因此，cos＝coscos α－sin sin α
＝×－×＝－.
感悟提升 三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.
例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1 (1)计算：＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 B
解析 ＝
＝＝.
(2)(多选)(2024·海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝＝tan ，则( )
A.tan α＝
B.cos α＝
C.tan β＝4
D.cos β＝
答案 BD
解析 因为sin α＝tan αcos α＝，
所以cos α＝，又α∈(π，2π)，
所以sin α＝－，tan α＝－，故A 错误，B 正确.
tan ＝－，所以tan β＝＝－4，
cos β＝＝＝，故C 错误，D 正确.
考点二 公式的逆用及变形
例2 (1)(2024·吉林五校联考)已知sin＋cos α＝，则sin＝( )
A.
B.
C.
D.－
答案 C
解析 由题得sin＋cos α＝sin αcos －cos αsin ＋cos α＝sin α＋cos α
＝sin＝.
令t＝α＋，则α＝t－，sin t＝，
所以sin＝sin
＝sin＝cos 2t＝1－2sin2t＝.
(2)在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B 的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 在△ABC 中，∵C＝120°，∴tan C＝－.
∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C＝.
∴tan A＋tan B＝(1－tan Atan B).
又∵tan A＋tan B＝，
∴tan Atan B＝.
(3)－＝________.
答案 4
解析 原式＝
＝
＝.
＝＝4.
感悟提升 三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用
公式.
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特
殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式.
(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以
知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得
sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)·sin β，
整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，
所以tan(α－β)＝－1，故选C.
(2)sin2＋sin2－sin2α 等于( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 C
解析 原式＝
＋－sin2α
＝1－·－sin2α
＝1－cos 2αcos －sin2α
＝1－－＝.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.
答案
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝.
考点三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为sin θ＋sin＝
sin＋sin＝
sincos －cossin ＋
sincos ＋cossin
＝2sincos ＝sin＝1，
所以sin＝.
(2)已知α，β 为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin(2α＋β)的值为________.
答案 －
解析 因为0<α<，sin α＝，
所以cos α＝＝＝.
因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝
＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)
＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)
＝×＋×＝－.
感悟提升 角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角
与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α
－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
训练3 (1)(2024·重庆质检)已知角α，β 满足tan α＝，2sin β＝sin(2α＋β)，则tan
β＝( )
A.
B.
C.1
D.2
答案 B
解析 2sin β＝sin(2α＋β)
＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β，
所以sin β(2－cos 2α)＝sin 2αcos β，
则tan β＝＝＝＝.
(2)(2024·河北部分名校联考)若锐角α，β 满足sin(α－β)＝，cos＝，则cos＝
________.
答案
解析 因为0<α<，0<β<，
则－<α－β<，<α＋<，
由sin(α－β)>0，cos>0 可得
0<α－β<，<α＋<，
所以cos(α－β)＝＝，
sin＝＝，
所以cos＝cos
＝coscos(α－β)＋sinsin(α－β)
＝×＋×＝.
万能公式
(1)sin α＝，(2)cos α＝，
(3)tan α＝.
上述三个公式统称为万能公式.
例 已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________.
答案
解析 ∵tan ＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cos α＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)
＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝×＋×＝.
训练 (2024·济宁质检)已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.则tan α＝
________，sin＝________.
答案 －
解析 ∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，
解得tan α＝－或tan α＝，
∵α∈，∴tan α＝－.
∵sin 2α＝＝－，
cos 2α＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝－×＋×＝.
【A 级 基础巩固】
1.(2024·惠州调研)cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝( )
A.
B.
C.－
D.－
答案 D
解析 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°
＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－.
2.(2024·宜宾诊断)在平面直角坐标系xOy 中，已知角α 的终边上一点P 的坐标为
(－1，2)，角β 的终边与角α 的终边关于x 轴对称，则tan＝( )
A.－
B.
C.－3
D.3
答案 C
解析 因为角α 的终边上一点P 的坐标为(－1，2)，角β 的终边与角α 的终边关
于x 轴对称，
所以点(－1，－2)是角β 的终边上的点，
所以tan β＝2，
所以tan＝＝＝－3.
3.等于( )
A.1
B.
C.
D.
答案 B
解析 ＝＝
＝＝.
4.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝( )
A.
B.1
C.2
D.
答案 C
解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
5.(多选)(2023·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则( )
A.tan α＝－
B.sin 2α＝
C.cos 2α＝
D.tan 2α＝－
答案 AC
解析 cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)
＝sin2α＝，
因为α∈，
所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝，
tan 2α＝＝－.
6.(2024·南通模拟)4sin 40°－tan 40°的值为( )
A.
B.
C.
D.2－1
答案 A
解析 4sin 40°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝＝＝.
7.已知α∈，cos2＝，则sin＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由已知可得cos
＝2cos2－1＝2×－1＝，
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin＝，
∴sin＝sin
＝sin·cos －cos·sin
＝.
8.cos4－sin4＝________.
答案
解析 原式＝
＝cos2－sin2＝cos ＝.
9.(2024·郑州调研)log2sin 15°－log\f(1,2cos 345°＝________.
答案 －2
解析 因为cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°，
所以log2sin 15°－log\f(1,2cos 345°
＝log2sin 15°＋log2cos 15°
＝log2(sin 15°cos 15°)
＝log2＝log2＝－2.
10.(2024·秦皇岛模拟)已知α 为锐角，且tan α＋tan＝，则＝________.
答案 －3
解析 由tan α＋tan＝，
得tan α＋＝，
即3tan2α－5tan α－2＝0，
解得tan α＝2 或tan α＝－，
因为α 为锐角，所以tan α＝2，
故＝
＝＝＝－3.
11.已知α，β 均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
求：(1)sin(α－β)的值；
(2)cos β 的值.
解 (1)因为α，β∈，所以－＜α－β＜.
又因为tan(α－β)＝－＜0，
所以－＜α－β＜0，
且sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得cos(α－β)＝.
因为α 为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
12.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值.
解 (1)f(π)＝2cos
＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，
所以cos α＝＝＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos
＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin
＝2××＋2××＝.
【B 级 能力提升】
13.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos 等于( )
A.
B.－
C.
D.
答案 C
解析 cos＝cos
＝coscos＋
sinsin.
∵0<α<，则<＋α<，
∴sin＝.
又－<β<0，则<－<，
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.
14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α 的顶点是坐标原点，始边为x 轴的非
负半轴，终边与单位圆O 交于点A(x1，y1)，将角α 的终边绕原点逆时针方向旋转，
交单位圆O 于点B(x2，y2).
(1)若x1＝，求x2的值；
(2)分别过点A，B 向x 轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD 的面积
分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α 的大小.
解 (1)由已知得cos α＝x1＝，
sin α＝＝＝，
所以x2＝cos＝cos αcos －sin αsin
＝×－×＝.
(2)根据条件知S1＝sin αcos α＝sin 2α，
S2＝－sincos＝－sin.
因为S1＝2S2，
所以sin 2α＝－2sin＝－2
＝sin 2α－cos 2α，
于是cos 2α＝0，
因为<α<，所以<2α<π，
所以2α＝，解得α＝.
