文档文本内容
【第30 讲：余弦定理和正弦定理】
【新高考课程标准要求】
一、知识理解与掌握
正弦定理：要求学生必须牢固掌握正弦定理的基本形式，即
（其中
为三
角形外接圆半径）。这意味着学生不仅要记住该公式，更要深入理解其内涵，知晓公式中各边
、
、
与对应角
、
、
正弦值之间的比例关系。例如，在
年新高考某卷的一道题目中，给出了三角形
的两角及一边，要求学生运用正弦定理求出另一边的长度。这就考查了学生对正弦定理基本形式的直接应
用能力，只有准确理解公式，才能迅速建立等式进行求解。
余弦定理：学生需熟练掌握余弦定理的三种表达形式，即
、
、
，以及其变形公式
、
、
。在
年某高考模拟题中，已知三角形三边长度，要求判
断三角形的形状，这就需要学生利用余弦定理的变形公式求出各角的余弦值，进而根据余弦值的正负来确
定角的大小，从而判断三角形的形状。这体现了对余弦定理理解和运用的较高要求。
二、定理应用能力
解决三角形度量问题：课程标准明确要求学生能够运用正弦定理和余弦定理解决简单的三角形度量问题，
包括求三角形的边、角、面积等。如在
年新高考全国卷的一道解答题中，给出了三角形的一些边和
角的条件，要求学生先通过正弦定理求出某个角的正弦值，再结合三角形内角和以及已知条件，利用余弦
定理求出其他边的长度，最后计算三角形的面积。这道题综合考查了学生运用正弦定理和余弦定理解决三
角形度量问题的能力，需要学生具备清晰的解题思路和较强的运算能力。
实现边角互化：学生要能够灵活运用正弦定理和余弦定理实现三角形边角关系的相互转化。在众多高考
真题和模拟题中，常常会出现一些条件既包含边又包含角的等式，此时就需要学生根据具体情况，利用正
弦定理将边化为角，或利用余弦定理将角化为边，从而简化等式，找到解题的突破口。例如，在
年
某省的高考模拟题中，已知等式
，学生需要通过正弦定理将边
、
、
转化
为
、
、
，然后利用三角函数的和角公式进行化简求解。
三、综合问题解决
与实际问题结合：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题。这要求学生具备将实际问题抽象为数学模型的能力。比如在
年的一道高考真题中，以测量建筑
物高度为背景，给出了在不同位置测量的角度和距离等条件，学生需要构建三角形模型，运用正弦定理或
余弦定理求解建筑物的高度。这类题目考查学生将数学知识应用于实际生活的能力，体现了数学的实用性。
与其他知识综合：正弦定理和余弦定理常与三角函数的其他知识（如三角函数的性质、诱导公式、两角
和与差的公式等）、平面向量等知识综合考查。在
年的一道高考模拟题中，将向量的数量积与余弦
定理相结合，已知向量
，再结合余弦定理给出的边的关系，要求学生求解三角形的相
关问题。这就要求学生具备综合运用多方面知识的能力，能够打通不同知识板块之间的联系，灵活解题。
【知识梳理】
一、正弦定理
1. 定理内容：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即
（其中
为三角形外接圆半径）。
2. 证明方法：
外接圆法：在
中，设外接圆为
。连接
并延长交
于
，连接
。因
是直径，
故
；由同弧所对圆周角相等，得
。在
中，
，即
，
故
。同理可证
，
。
3. 常见结论：
边化角：
，
，
。
（2024 年新高考某卷中，曾通过此结论将边与角的混合等式转化为纯角的等式，简化求解）
角化边：
，
，
。
（高考模拟题中，常利用此结论从角的关系推导边的关系）
比例关系：
。
（判断三角形边与角的比例关系时高频使用）
4. 微点提醒：
已知两边及其中一边的对角解三角形时，需判断解的个数：
如已知
、
、
，由
，若
则无解；若
则一解；若
，需结合“大边对大角”进一步判断。
用正弦定理求角时，注意角的范围（
），正弦函数在此区间非一一对应，需结合已知
条件确定唯一角。
二、余弦定理
1. 定理内容：任意三角形中，一边的平方等于另外两边平方和减去这两边与夹角余弦积的两倍，即
变形公式（求角）：
2. 证明方法：
向量法：在
中，
，两边取模的平方：
即
，同理可证其他两式。
3. 常见结论：
三角形形状判断：
若
，则
（直角三角形）；
若
，则
（
为锐角）；
若
，则
（
为钝角）。
（2025 年某高考模拟题中，曾通过此结论判断三边已知的三角形形状）
三边与一角的变形：
。
（求三角形周长或边长范围时，常结合此式化简）
4. 微点提醒：
用余弦定理时，务必注意“角与边的对应关系”（如
对应边
），避免代错数据。
余弦值的正负直接对应角的类型（
为锐角，
为直角，
为钝角），需准确
关联。
三、三角形面积公式
1. 核心公式及推导
基础公式：
（
为任意一边，
为
对应的高）。
推导：两个全等三角形可拼成平行四边形，平行四边形面积为
，故三角形面积为其一半。
（2023 年新高考全国卷中，曾直接考查此公式的应用）
与正弦定理结合：
推导：以
为底，高
，代入基础公式得
，同理推导其他两式。
（2024 年某省模拟题中，曾通过此公式求面积后，结合周长条件解题）
与外接圆半径结合：
（
为外接圆半径）。
推导：由
、
、
，代入
，化简得此式。
（2025 年模拟题中，曾已知
和三边，用此公式求面积）
海伦公式：
（其中
为半周长）
推导：由
和
，结合余弦定理化简得。
（2022 年高考真题中，曾用此公式求三边已知的三角形面积）
2. 常见结论：
等腰三角形（
）：
（
为顶角），或
（
为底边）。
直角三角形（
）：
（因
），且外接圆半径
，代入
可验证
此式。
3. 微点提醒：
用
时，角
必须是边
与
的夹角，避免边角对应错误。
海伦公式需先算半周长
，且需满足“三边关系”（
、
、
均为正），否则三角形不
存在。
已知面积求角时，注意多解（如
时，
或
），需结合其他条件确定唯一解。
四、常用二级结论（高频考点衍生）
1. 边角关系进阶结论
大边对大角的量化：
（由正弦定理推导）。
（2024 年新高考I 卷第11 题，用此结论快速排除错误选项）
内角和与三角函数：
，
，
（因
）。
（2025 年模拟题中，已知
，直接得
）
特殊角三角形边比：
：
；
：
；
等边三角形：
。
（2023 年新高考II 卷第15 题，用此边比快速求直角三角形边长）
2. 与面积相关的二级结论
面积与内切圆半径：
（
为半周长，
为内切圆半径）。
推导：将三角形分割为3 个以内切圆圆心为顶点的小三角形，面积和为
。
（2022 年高考全国甲卷第17 题，结合海伦公式与此结论求内切圆半径）
面积的不等关系：
（当且仅当
且
时取等号）。
推导：由
，结合基本不等式
得。
（2025 年模拟题中，已知
，用此结论求面积最大值为2）
3. 与正余弦定理结合的综合结论
余弦定理与向量数量积：
。
（2024 年新高考I 卷第19 题，已知
，
，直接得
）
正余弦定理与数列：
若
成等差数列，则
；
若
成等比数列，则
。
（2025 年模拟题中，已知
成等比且
，用此结论求
）
4. 解三角形的易错二级结论
解的个数补充判断：当
为锐角时，
则一解；
时，
两解，
一解，
无解。
（2023 年江苏模拟题，已知
，
，
，因
，故两解）
角的余弦值范围：锐角三角形中所有角的余弦值均为正，钝角三角形中仅一个角的余弦值为负（余弦
值范围
）。
（2024 年新高考II 卷第16 题，用此结论判断三角形为锐角三角形）
一、角平分线相关核心结论（高考高频）
1. 角平分线分对边成比例定理
结论：在
中，角
的平分线交
于
，则
；若
，则
，
。
应用场景：已知两边及角平分线分对边的比例，求边长或验证角平分线性质。
2. 角平分线长度公式
结论1（已知两边及夹角）：角
的平分线长
。
推导逻辑：由三角形面积关系（
），结合
推导得出。
结论2（已知三边）：角
的平分线长
（其中
为半周长）。
应用场景：直接求角平分线长度，或结合角平分线长度求三角形边长、角。
二、中线相关核心结论（高考高频）
1. 中线长度公式（阿波罗尼斯定理）
结论：在
中，
边上的中线为
（
为
中点，
），则
；同理，
边上的中线
。
推导逻辑：对
和
分别用余弦定理，结合
（邻补角余弦值相
反），消去余弦项后推导得出。
应用场景：已知三边求中线长，或已知中线长及两边求第三边。
2. 中线的范围结论
结论：在
中，
边上的中线
的取值范围为
。
推导逻辑：延长中线
至
，使
，则
为平行四边形，由平行四边形三边关系
（
），结合
推导得出。
应用场景：求中线的取值范围，或已知中线范围反推两边关系。
3. 中线与面积的关系
结论：三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（
）。
推导逻辑：两个小三角形共高（从
到
的高），且底相等（
），由面积公式
可知面积相等。
应用场景：利用面积相等关系求高、边长或验证中线性质。
【课前自测—真题体验】
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·北京·高考真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知
的面积为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
5．（2022·全国乙卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
10．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【考点一：利用正余弦定理三角形】
【例题】1．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
2．（2025·全国·二模）记
的内角
的对边分别为
，
.
(1)求A；
知识讲解与常考题型
题型分类
(2)延长
至
，使
，求
的值.
【针对训练】【多选题】3．（2025·甘肃金昌·三模）在
中，
，
，M 为BC 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．C 为钝角
【多选题】4．（2025·湖北·模拟预测）锐角三角形
中，角
所对的边分别是
，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【多选题】5．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的面积为
【解题策略】
一、正弦定理核心策略（例题后速记）
1. 边化角：遇边的齐次式（如
），直接用
化边为角，简化三角运算。
2. 角化边：角的关系复杂（如
），用
转边的关系，快速得边长比。
3. 解的个数：已知“两边及一角”（如
），先算
，再结合
范围和“大边对大
角”定解数。
二、余弦定理核心策略（例题后速记）
1. 求边/角：知“两边夹一角”或“三边”，直接代公式（求边用
，求角用
）。
2. 判形状：比
与
：相等为直角，前者大则
锐，后者大则
钝。
3. 求范围：算周长/边长范围，用
，结合基本不等式缩范围。
三、面积公式核心策略（例题后速记）
1. 选公式：知“两边夹一角”用
，知“三边”用海伦公式，知“外接圆
”用
。
2. 避坑点：用
时，确保
是
夹角；求角时遇
，需结合边的大小定
或
。
四、二级结论速用（例题后速记）
1. 边角互推：
，选填题直接用。
2. 内切圆/最值：遇内切圆
，用
（
为半周长）；求面积最大值，用
（等号条件：
且
）。
【考点二：三角形形状的判断】
【例题】1．（2025·江西·二模）已知钝角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)若
，证明：
是等腰三角形.
2．（2024·内蒙古·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，证明：
为直角三角形.
【针对训练】1．（2024·全国·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
，
．
(1)求
的面积；
(2)证明：
是钝角三角形．
2．（2023·安徽·二模）在
中，
．
(1)若
，判断
的形状；
(2)求
的最大值．
3．（2023·安徽宣城·二模）设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)判断
的形状，并说明理由；
(2)求
的最小值．
【解题策略】
一、用余弦定理：抓“边的平方关系”定角
1. 核心逻辑：通过比较“最长边的平方”与“另外两边平方和”，直接定最大角类型（最大角决定三角
形形状）。
2. 具体操作：
设最长边为
，若
→直角三角形（
）；
若
→钝角三角形（
）；
若
→锐角三角形（
）。
3. 速用场景：已知三边长度或三边的平方关系（如例题中给
，
，
，直接算
→直角三角形）。
二、用正弦定理：抓“边角对应关系”定角
1. 核心逻辑：由
，将角的关系转边的关系，或反之，再判断角的类型。
2. 具体操作：
若
→
（等腰）或
（
，直角）；
若
→用正弦定理化
，展开得
→
（等
腰）。
3. 速用场景：已知角的三角函数关系（如例题中给
，结合
，得
→直角三角形）。
三、特殊结论：抓“特征条件”秒判
1. 等腰三角形：
出现“两边相等”“两角相等”“
”（正弦定理转后得
），直接判
等腰。
2. 等边三角形：
满足“三边相等”“三角均为
”“
且
”，直接判等边。
3. 速用场景：例题中给“
且
”，结合
，得
→等边三角形。
【考点三：和三角形面积有关的问题】
【例题】1．（2025·陕西咸阳·三模）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，c＝4，求△ABC 的周长；
(3)若
，求△ABC 的面积.
2．（2025·全国·二模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)设D 为边
的中点，若
，
的面积为14，求
的长
【针对训练】1．（2025·全国·二模）
的内角
的对边分别为
(1)求A；
(2)若
的面积为
，求
的周长.
2．（2025·广西柳州·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
为BC 上一点，AD 为
的平分线，求AD.
3.（2025·福建福州·模拟预测）记
的角
的对边分别为
分别以
为边长的三个正三角
形的面积依次为
，
，
，已知
．
(1)求角B；
(2)若
，求
的周长．
【解题策略】
一、核心：选对面积公式是关键
1. 已知“一边+对应高”：直接用基础公式
（无需额外推导，代入数据即算）。
例：已知
，
边上的高
，直接得
。
2. 已知“两边+夹角”：优先用
（高频考法，结合三角函数值快速计算）。
例：已知
，
，夹角
，代入得
。
3. 已知“三边”：用海伦公式
（其中
，避免求高的复杂步
骤）。
例
：
已
知
，
，
，
先
算
，
再
得
。
4. 已知“外接圆半径
”：用
（需结合正弦定理求边或直接用已知边计算）。
例：已知
，
，
，
，代入得
。
二、进阶：结合正余弦定理补条件
1. 缺“夹角”补角：已知两边及一边对角，先用正弦定理求夹角，再算面积。
例
：
已
知
，
，
，
先
由
正
弦
定
理
得
，再求
，最后用
计算。
2. 缺“边”补边：已知一角及对边，先用正弦定理化边为角，或用余弦定理求边，再算面积。
例：已知
，
，
，用余弦定理
，结合
得
，代入余弦定理得
，解得
，再用
。
三、避坑：牢记2 个关键提醒
1. 边角对应要准：用
时，
必须是边
与边
的夹角（如已知
、
、
，则面
积应为
，而非
）。
2. 多解情况要判：由
（
）求角时，需结合“大边对大角”定
是锐角还是钝角，
避免漏算面积。
例：已知
，
，
，由
得
，再结合
得
，若
，则
，与
矛盾且不满足三边关系，故
。
四、速用：2 个高频二级结论
1. 与内切圆结合：遇内切圆半径
，用
（
为半周长），无需单独算面积。
例：已知
，
，直接得
。
2. 求面积最大值：已知两边和为定值（如
），用基本不等式
，结合
，得最大值
（当
且
时，最大值为 2）。
【考点四：解三角形中的最值与取值范围问题】
【例题】1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；求
周长的取值范围.
2．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
，
为
的外心.
(1)求
的面积；
(2)求
周长的取值范围.
【针对训练】1．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，
且
成等差数列.
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在凸四边形
中，已知
(1)若
，求
的值；
(2)求四边形
面积的最大值.
3．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆半径为
4.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
的最大值.
【解题策略】
一、用“边的关系”求范围：抓余弦定理+基本不等式
1. 核心逻辑：通过余弦定理将“角的条件”转“边的等式”，再用基本不等式（
）缩范围。
2. 具体操作：
已知一角及对边（如
，
），求
范围：由余弦定理得
，结合
，得
；再用
，代入得
，
解得
，又因三边关系
，故
。
3. 速用场景：求边长和、边长积或周长的范围（如例题中已知
，
，求
最大值，用此方
法得
）。
二、用“角的关系”求最值：抓正弦定理+三角函数性质
1. 核心逻辑：用正弦定理化“边”为“角”，将表达式转为单角三角函数（如
），再用三角函
数值域（
）求最值。
2. 具体操作：
已知
，
（外接圆半径），求
最大值：由正弦定理得
，
，又
（可由
得
），故
；展开化简得
，因
，故
，最大值为
。
3. 速用场景：求边长和、面积或三角函数表达式的最值（如例题中求
的最大值，化边为角
后得
，再化简求最值）。
三、避坑：牢记2 个关键要点
1. 角的范围要准：化角后需结合“三角形内角和为
”定角的取值范围（如
，则
），
避免三角函数值域判断错误。
2. 等号条件要验：用基本不等式时，需验证“
”是否满足三角形条件（如已知
，
，
求
最大值，当
时，
，满足三边关系，故最大值为
）。
四、速用：2 个高频结论
1. 面积最大值：已知一角
及对边
，面积最大值为
（当
时取等号）。
2. 边长和最大值：已知外接圆半径
，则
（当
为等边三角形时取等号）。
一、单选题
课后针对训练
1．（2024·安徽·模拟预测）在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则角C 的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
3．（2024·河北·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，若
的平分
线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
5．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）在
中，
，且
边上的高为
，则
（ ）
A．
的面积有最大值，且最大值为
B．
的面积有最大值，且最大值为
C．
的面积有最小值，且最小值为
D．
的面积有最小值，且最小值为
6．（2025·河北石家庄·一模）如图，在
中，已知
，D 是BC 边上的一点，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别是
，若
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西新余·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·山东枣庄·模拟预测）在
中，
，
为
内一点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2025·河北邢台·三模）
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，则下列说法正确的有
（ ）
A．若
，则
是钝角三角形
B．若
，
，
，则
的周长为
C．若
，
，则
面积的最大值为
D．若
，
，
，则
边上的中线长为
11．（2025·山西朔州·模拟预测）外接圆面积为
的
满足
，设
外接圆圆心为O，BC 的中点为
，则（ ）
A．
为等腰三角形
B．
C．
D．
的周长是
三、填空题
12．（2025·江苏南京·一模）在
中，角
的对边分别为
且
.
，
为
外一点，如图，且
，
的面积为
，则边长的值为
四、解答题
13．（2025·江西新余·模拟预测）若
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值．
14．（2025·全国·模拟预测）在
中，内角
所对应的边分别是
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长最大值．
15．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
