文档文本内容
第 02 讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新I卷，第8题,5分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022年新Ⅱ卷，第6题,5分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021年新I卷，第6题,5分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考知识讲解
1. 正弦的和差公式
2. 余弦的和差公式
3. 正切的和差公式
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：，
6. 正切的倍角公式
7. 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
8. 和差化积与积化和差公式
9. 推导公式
10.辅助角公式
， ，其中 ，
考点一、 两角和与差的三角函数综合应用
1．（福建·高考真题） 等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2．（江西·高考真题）若tanα＝3，tanβ＝ ，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南昭通·统考模拟预测） 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
5．（2004·上海·高考真题）若 ，则 .
6．（2023·山东德州·三模）若 为锐角，且 ，则 ．
考点 二 、 倍角公式的综合应用1．（2021·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏·统考高考真题）已知 = ，则 的值是 .
3．（2021·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2021·北京·统考高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南·校联考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·统考高考真题）若 ，则 ，
．5．（2020·浙江·统考高考真题）已知 ，则 ； ．
考点 三 、 半角公式的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）已知 ，求 的值．
1．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知 ，若 是第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）若 ， 是第三象限的角，则 ＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
3．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅
用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的
数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 为半圆 上一点， ，垂足为 ，记 ，则由
可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．考点 四 、 辅助角公式的综合应用
1．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
2．（2021·全国·统考高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
3．（2020·北京·统考高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为
．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数 的最小值为 ，则常数 的一
个取值为 .（写出一个即可）
3．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知 则函数 的最大值为
.
4．（2023·浙江宁波·统考一模）若 ，则 ．
考点 五 、 三角恒等变换的综合应用
1．（2023·吉林延边·统考二模）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏·校联考模拟预测）若 ，则 （ ）A．0 B． C．1 D．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 为第二象限角， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知 为锐角，且
，则 .
1．（2023·山西吕梁·统考三模）已知 ，则 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北·校联考一模）函数 的最小值为 .
【基础过关】
一、单选题1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设 ，则 等于（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
2．（2023·山东威海·统考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A．4 B．6 C． D．
4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A．-3 B． C． D．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角 ， 满足 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．1二、填空题
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 .
10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若 ，则 的值为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角 ， 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川·模拟预测）设 ， ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州遵义·统考三模）已知锐角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
5．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若 ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江苏无锡·校联考三模）设 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知锐角 ， ， 满足 ，则（ ）
A． ， 可能是方程 的两根
B．若 ，则
C．
D．
三、填空题
9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）若函数 的最小值为 ，则常数 的
一个取值为 .
10．（2023·云南保山·统考二模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点 在
角 的终边上，则 .
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题） 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（安徽·高考真题）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
5．（全国·高考真题）函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．6．（湖北·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
8．（2021·全国·统考高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（上海·高考真题）函数 的最小正周期为
10．（2004·全国·高考真题）函数 的最大值为 ．
