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第 1 讲 转化与化归思想在函数中的应用
在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向
已知转化的过程。
同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是
按照平时常用的方式就是解不出来。此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原
问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。
转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。通过改变思维的
角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。
【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题
函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，
但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对
不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题：
【例1】若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式
子 进行变形： ，接着构建一个新的函数
，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。
【思维升华】
通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变
形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题
时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识
联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解答，使问题得到有效解决。
【变式1.1】（2020•新课标Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．【变式1.2】若实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【应用二】利用转化与化归思想解决函数最值问题
函数的最值问题是一类常考题型，其中比较经典的就是一次函数与二次函数的比值问题，对于这种
题比较直接和容易想到的方法是求导，但求导法在计算量上还是有点大，所以对于此类问题我们可以将
分母变形，把这种问题转化为均值不等式的问题，比如下面这道题：
【例2】当x＞﹣1时，关于代数式 ，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．不确定 C．有最大值 D．无最大值
对于本题，可以看到当 x＞﹣1 时 x+1＞0，关于代数式 可以变形为： ＝
，然后根据基本不等式可解决此题．
【思维升华】
通过本题不难发现，对于求形如一次函数/二次函数的代数式最值问题，我们可以对代数
式的分母进行适当的变形，将其转化为我们所熟悉的基本不等式求最值问题，所以解答有些
数学问题时，我们可以通过变形，利用已经所学过的定义、定理和公式等，达到从未知到已
知的转化，从而使问题得到解决。不仅对于一次函数/二次函数型代数式，我们可以用同样的
方法研究二次函数/一次函数型代数式的最值。
【变式2.1】设 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2.2】设 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【应用三】利用转化与化归思想解决函数零点问题函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，
对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到
解决，比如下面这道题：
【例3】（2018·全国Ⅰ卷）已知函数 ， ,若g(x)存在2个零点,则a的取值
范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
把函数 零点的问题,转化为方程 根的问题,进而转化为函数 的图象与
直线 的图象的交点问题，观察函数 的解析式，可以看到 是由我们熟悉的指数函数和对
数函数构成的，所以能很容易画出函数图象，接着借助函数图象便能得到我们想要的答案。
【思维升华】
通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个
函数图象的交点问题，所以对于函数零点，大部分问题的解决都离不开转化与化归和数形结
合思想，这体现了数与形的相互转化。
【变式3.1】函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3.2】若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程
的不同实根个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【应用四】利用转化与化归思想判断大小
在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先找一个中间值，比
如比较这些数和0或1的大小，接着根据小于0的数最小，其次是0-1之间的数，最大的是大于1的数，得
到最终结果，但有的时候，题目中出现的数字可能都小于 0，或都在 0-1之间，或都大于 1，例如：
， ， ，这三个数都在0-1之间，此时我们无法用之前的方式进行比大小，所以
需要对这个问题进行转化，变为我们熟悉的问题然后求解，例如下面这道小题：
【例4】（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则A． B． C． D．
本题是一道较难的比大小问题，因为题中所给的三个数 ， ， ，都在0-1之间，
不好进行比大小，所以我们可以把这三个数两两转化为同底的数，比如：由 ，根据
， 即可得到 ，即 ，接着利用同样的方法，即可确定 ， ，
的大小关系．
【思维升华】
通过本题不难发现，对于一个确定的对数比大小问题，如果无法法借助通常找中间值的
方法求解时，可以将对数转化为同底的对数，然后比较大小。但是通过本题可以发现，如何
转化是一个难点，比如这里： 为什么要乘 ，这么做的依据是什么？这就要求
我们平时在做题的过程中多积累，多试错，化生为熟、化难为易。实际上在本题中乘 ，也
是因为根据已有知识可以知道54>83,利用这一关系反推出乘 ，这也反应了转化思想中的正
难则反，如果正向走不通，可以进行倒推。
【变式4.1】已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c B． C． D．
【变式4.2】已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【应用五】利用转化与化归思想判解决恒成立问题
新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题便是考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方
程、不等式等知识为载体，渗透转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法。近几年的数学高考中频频
出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数知识密不可分。遇到恒成立问题，我们的第一想法大多
是利用分离参数或数形结合进行求解，但有的时候恒成立问题中给出的函数形式虽然并不复杂，但是变量
却不止一个，此时利用分离参数无法解决，利用数形结合不易讨论，所以我们可以将形的问题转化为数（值域）的问题，利用代数方法进行求解，比如下面这道题：
【例5】已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
在解决本题时，我们可以把恒成立问题转化为值域问题，也就是将：对任意的 ，总存在
，使得 成立，转化为 在 上值域是 在 上值域的子集，在这里
和 都是我们所熟悉的函数，所以接下来只要讨论 在不同取值时函数 和 的取值即可。
【思维升华】
通常研究恒成立问题，如果我们发现数形结合不好解决时，我们就可以把它转化为值域
问题，通过研究函数的值域，使问题得到解决，所以和函数零点问题类似，恒成立问题的解
决都离不开转化与化归和数形结合思想。同时恒成立问题形式多样，要会根据不同需要进行
转化。
【变式5.1】已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【变式5.2】若对于常数m和任意实数x，等式 恒成立，则 的周期为 .
巩固练习
1.(2022·安徽省模拟)设函数 ， ．若 在
， 有零点，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
2.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）函数 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
3.（多选题）（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）
A． 的最大值为1 B． 的值域为
C． 的最大值为2 D． 在 上单调递减
4.（2022·全国·高一课时练习）已知 ，则 的值域为______.
5.（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域．
