36.突破爪型三角形的八大“妙手”
爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多
此处不再逐一列举，教材必修二53 页到54 页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于
爪型三角形处理的一些重要手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合
正余弦定理推出处理爪型三角形的一些重要结论：斯特瓦尔特定理，角平分线定理等.
一．基本原理
1.爪型三角形的几何特征
基本几何特征:如图，
.
APC
APB
例1．（2022 全国甲卷）已知
中，点
在边
上，
，
，
ABC
D
BC
120
ADB
2
AD
．当
取得最小值时，
．
2
CD
BD
AC
AB
BD
解析：设
，
，在三角形
中，
，可得：
BD
x
2
CD
x
ACD
2
2
4
4
2 2
2 cos60
b
x
x
，在三角形
中，
，可得：
2
2
4
4
4
b
x
x
ABD
2
2
4
2
2 cos120
c
x
x
2
2
2
4
c
x
x
，
要使得
最小，即
最小，
，其中
AC
AB
2
2
b
c
2
2
2
2
4
4
4
12
4
3
2
4
1
1
b
x
x
c
x
x
x
x
3
1
2 3
1
x
x
…
，此时
，当且仅当
时，即
时取等号，故答案为：
．
2
2
4
2 3
b
c
…
1
3
x
3
1
x
3
1
例2.（2021 新高考1 卷）
记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
.已知
，点
在边
上，
ABC
A
A
B
C
a
b
c
2
b
ac
D
AC
.
sin
sin
BD
ABC
a
C
（1）证明：
；
BD
b
（2）若
，求
.
2
AD
DC
cos
ABC
解析：（1）由题设，
，由正弦定理知：
，即
sin
sin
a
C
BD
ABC
sin
sin
c
b
C
ABC
，
sin
sin
C
c
ABC
b
∴
，又
，∴
，得证.
ac
BD
b
2
b
ac
BD
b
（2）由题意知：
，
2
,
,
3
3
b
b
BD
b AD
DC
∴
，同理
2
2
2
2
2
2
4
13
9
9
cos
2
4
2
3
3
b
b
b
c
c
ADB
b
b
b
2
2
2
2
2
2
10
9
9
cos
2
2
3
3
b
b
b
a
a
CDB
b
b
b
，
∵
，∴
，整理得
，又
ADB
CDB
2
2
2
2
2
2
13
10
9
9
4
2
3
3
b
b
c
a
b
b
2
2
2
11
2
3
b
a
c
，
2
b
ac
∴
，整理得
，解得
或
，由余弦定理
4
2
2
2
11
2
3
b
b
a
a
4
2
2
4
6
11
3
0
a
a b
b
2
2
1
3
a
b
2
2
3
2
a
b
知：
，当
时，
不合题意；
2
2
2
2
2
4
cos
2
3
2
a
c
b
a
ABC
ac
b
2
2
1
3
a
b
7
cos
1
6
ABC
当
时，
；综上，
.
2
2
3
2
a
b
7
cos
12
ABC
7
cos
12
ABC
2.中线公式与向量方法
若已知顶角
的大小，且
时，可利用向量共线的基本结论求得.
BAC
BC
BP
例3（广州市2023 届高三一模）在
中，内角
的对边分别为
，
ABC
A
, ,
A B C
, ,
a b c
.
2 ,2sin
3sin2
c
b
A
C
（1）求
；
sinC
（2）若
的面积为
，求
边上的中线
的长.
ABC
A
3 7
2
AB
CD
解析：（1）因为
，所以
，所以
，即
2sin
3sin2
A
C
2sin
6sin
cos
A
C
C
2
6 cos
a
c
C
，
3 cos
a
c
C
所以
，由余弦定理及
得：
，
cos
3
a
C
c
2
c
b
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
cos
2
2
2
a
b
c
a
b
b
a
b
C
ab
ab
ab
又
，所以
，即
，
cos
3
6
a
a
C
c
b
2
2
2
2
3
2
9
2
6
a
b
a
a
b
ab
b
3 2
2
a
b
，所以
.
3 2
2
2
cos
6
6
4
b
a
C
b
b
2
2
2
14
sin
1 cos
1
4
4
C
C
（2）由
，所以
，由（1）
，
2
14
3 7
4
2
1
1
sin
2
ABC
S
ab
C
ab
A
=
=
=
´
´
6 2
ab
3 2
2
a
b
所以
，因为
为
边上的中线，所以
，所以
2,
3 2
b
a
CD
AB
1
2
CD
CA
CB
2
2
2
1
2
4
CD
CA
CB
CA CB
2
2
1
2
cos
4
b
a
ab
C
1
2
4 18
2 2 3 2
4
4
，所以
，所以
边上的中线
的长为：
.
7
7
CD
AB
CD
7
例4．（湖北省七市（州）2023 届高三下学期3 月联合统一调研测试）记
的内角A，
ABC
A
B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
2 cos
2
b
C
a
c
（1）求B；
（2）设
，若点M 是边
上一点，
，且
，求
的面
9
b
AC
2AM
MC
MAB
MBA
BMC
△
积．
【详解】（1）
．
2π
3
B
（2）如图所示：
因为
，所以
，
．又
，所以
．
2AM
MC
3
AM
6
MC
MAB
MBA
3
BM
AM
在
中，由余弦定理得
，即
．①
ABC
A
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
2
2
81
a
c
ac
又
，所以
，两边平方得
，
2AM
MC
2
1
3
3
BM
BA
BC
2
2
2
4
1
4
9
9
9
BM
BA
BC
BA BC
即
，所以
．②，②－①得
，所以
2
2
4
1
4
9
cos
9
9
9
c
a
ac
B
2
2
4
2
81
a
c
ac
2
3
3
c
ac
，代入①得
，在
中，
，
a
c
3 3
a
c
BMC
△
2
2
2
2
2
3
3 3
36
BM
BC
MC
所以
是以
为直角的三角形，所以
的面积为
．
BMC
△
MBC
BMC
△
1
9 3
3 3 3
2
2
3.
为角平分线：角平分线定理
AP
如图，可设
，这样可得
.另一
CAM
BAM
)1
.......(
sin
2
1
sin
2
1
AM
AC
S
AM
AB
S
ACM
ABM
方面，设
的高为
，则
，
ABC
h
)
2
.......(
2
1
2
1
h
CM
S
h
BM
S
ACM
ABM
联立上面两式可得：
，即角平分线性质定理.
MC
BM
AC
AB
例5.（2015 全国2 卷）
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
ABC
D
BC
AD
BAC
ABD
面积的
倍．
ADC
2
（1） 求
；
sin
sin
B
C
（2） 若
=1，
=
求
和
的长.
AD
DC
2
2
BD
AC
解析：（1）
，
1
sin
2
ABD
S
AB AD
BAD
A
A
1
sin
2
ADC
S
AC AD
CAD
A
A
因为
，
，所以
，由正弦定理可得
ABD
ADC
S
S
A
A
BAD
CAD
2
AB
AC
.
sin
1
sin
2
B
AC
C
AB
（2）因为
，所以
，在
和
中，由余弦定
:
:
ABD
ADC
S
S
BD DC
A
A
2
BD
ABD
A
ADC
A
理知
，
2
2
2
2
cos
AB
AD
BD
AD BD
ADB
A
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD DC
ADC
A
故
，由（1）知
，所以
.
2
2
2
2
2
2
3
2
6
AB
AC
AD
BD
DC
2
AB
AC
1
AC
4.斯特瓦尔特定理
斯特瓦尔特定理：设
为
的
边上异于
的任一点，则有
P
ABC
BC
C
B,
.
CB
PC
BP
BC
AP
BP
AC
PC
AB
2
2
2
证明：由余弦定理，可得：
①
APC
PC
AP
PC
AP
AC
cos
2
2
2
2
②，将上述两式分别乘
后相加整
)
cos(
2
2
2
2
APC
PB
AP
PB
AP
AB
CP
BP,
理，可得.
注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即： 这个隐含
条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.
推论1.当设
为
的
边中点时，
.
P
ABC
BC
2
2
2
2
4
1
)
(
2
1
BC
AC
AB
AP
注：该结论还可由
证得.
)
(
2
1
AC
AB
AP
推论2.当设
为
的角平分线时，
.
P
BAC
PC
BP
AC
AB
AP
2
推论3.当设
满足
时，
.
P
BC
BP
2
2
2
2
)
1(
)1
(
AC
AB
BC
AP
例6. 记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
.已知
，点
在边
ABC
A
A
B
C
a
b
c
2
b
ac
D
上，
.
AC
sin
sin
BD
ABC
a
C
（1）证明：
；
BD
b
（2）若
，求
.
2
AD
DC
cos
ABC
解析：（2）由斯特瓦特定理，得
AC
DC
AC
AD
AC
AC
AD
BC
AC
DC
BA
BD
2
2
2
2
.
由
及
，得
.化简变形，得
.
b
BD
DC
AD
2
2
2
2
2
9
2
3
2
3
1
b
a
c
b
2
2
2
3
6
11
c
a
b
因为
，所以
.即
.解得
或
ac
b
2
0
3
11
6
2
2
c
ac
a
0
)
3
2
)(
3
(
c
a
c
a
a
c
3
a
c
3
2
.
当
时，
.由余弦定理，得
6
7
2
cos
2
2
2
ac
b
c
a
ABC
（不合题意，舍
a
c
3
2
2
3a
b
去）.
当
时，
.由余弦定理，得
)
(
12
7
2
cos
2
2
2
凌晨讲数学
ac
b
c
a
ABC
a
c
3
2
2
2
3
2 a
b
.
所以
.
12
7
cos
ABC
5.张角定理
在
中，D 是BC 上的一点，连结AD，那么
.
ABC
AD
BAC
AB
CAD
AC
BAD
sin
sin
sin
证明：因为
，由三角形面积公式可得
ACD
ABD
ABC
S
S
S
DAC
AC
AD
BAD
AD
AB
BAC
AC
AB
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
两边同除
，得到
AD
AC
AB
AD
BAC
AB
CAD
AC
BAD
sin
sin
sin
例7 （2018 年江苏卷）在
中，角
的对边分别为
，
，
ABC
C
B
A
,
,
c
b
a
,
,
120
ABC
的平分线交
于点
，且
，则
的最小值为________.
ABC
AC
D
1
BD
c
a
4
解 由张角定理有
，即
BC
ABD
AB
CBD
BD
ABC
sin
sin
sin
a
c
60
sin
60
sin
1
120
sin
，
整理得
.所以
)
(
9
4
5
)
1
1
)(
4
(
4
凌晨讲数学
c
a
a
c
a
c
c
a
c
a
.当且仅当
1
1
1
a
c
，即
时取得最小值
.
a
c
2
3
,
2
3
c
a
9
6.等面积思想.
设
为
的平分线，则设
，那么有等面积可得：
AM
A
CAM
BAM
，
sin
)
(
2
1
2
sin
2
1
AM
c
b
bc
S ABC
进一步可得：
，于是可以看到，倘若我们知道角
与角平分线
AM
c
b
bc
)
(
cos
2
的长度，则可得到
的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.
AM
c
b
bc
例8.（2022 成都一诊）在
中，已知角
，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点
ABC
A
2π
3
A
D，AD=2.则AB+2AC 的最小值为___________.
解析：
，依题意
是角
的角平分线，
,
,
,
2
AB
c AC
b BC
a AD
AD
A
由三角形的面积公式得
，
1
π
1
π
1
2π
2
sin
2
sin
sin
2
3
2
3
2
3
c
b
bc
化简得
，
，
2
2
c
b
bc
1
1
1
2
b
c
1
1
2
2
2
2
2
2 3
c
b
AB
AC
c
b
c
b
b
c
b
c
.当且仅当
，
2
2 3
2
6
4 2
c
b
b
c
2 ,
2
c
b c
b
b
c
时等号成立.故答案为：
2
2
2
2 ,
2
2,
2 2
2
b
b
b
b b
c
6
4 2
例9（江苏省南通市2023 届高三下学期第一次调研测试）在
中，
的对边分别
ABC
A
, ,
A B C
为
.
, , , cos
2 cos
2
cos
a b c a
B
a
C
c
b
A
（1）若
，求
的值；
3
c
a
cosB
（2）若
的平分线
交
于点
，求
长度的取值范围.
1,
b
BAC
AD
BC
D
AD
解析：（1）已知
，由正弦定理可得
cos
2 cos
2
cos
a
B
a
C
c
b
A
，
sin cos
2sin cos
2sin
sin
cos
A
B
A
C
C
B
A
sin cos
cos sin
2sin cos
2cos sin
A
B
A
B
A
C
A
C
，
，
，
， 即
，
sin
2sin
A
B
A
C
sin
2sin
C
B
2 ,
3
c
b c
a
3
2
a
b
.
2
2
2
2
2
2
3
3
13 3
4
cos
2
24
2
3
a
a
a
a
c
b
B
ac
a
a
（2）由（1）知
，由
，则
.设
，
2
c
b
1
b
2
c
BAD
，
，
，
1
1
1
2 sin2
2
sin
1
sin
2
2
2
ABC
S
AD
AD
A
4 cos
3
AD
0, 2
.
4
0, 3
AD
例
10.（2021 新高考
1 卷）在
中，
，点
在边
上，
ABC
ac
b
2
D
AC
.
C
a
ABC
BD
sin
sin
（1）证明：
；
b
BD
（2）若
，求
.
DC
AD
2
ABC
cos
解析：（1）设
的外接圆半径为R，由正弦定理，得
，
ABC
A
sin
sin
,
2
2
b
c
R
ABC
C
R
因为
，所以
，即
．又因为
，所以
sin
sin
BD
ABC
a
C
2
2
b
c
BD
a
R
R
BD b
ac
2
b
ac
．
BD
b
方法2.（等面积思想）（2）如图，已知
，则
，
2
AD
DC
2
3
ABD
ABC
S
S
△
△
即
，
2
1
2
2
1
sin
sin
2
3
3
2
b
ac
AD
A
B
BC
而
，即
，故有
，从而
．由
2
b
ac
sin
sin
ADB
ABC
ADB
ABC
ABD
C
2
b
ac
，即
，即
，即
，故
，又
，所以
，则
b
c
a
b
CA
BA
CB
BD
ACB
ABD
A
A
∽
AD
AB
AB
AC
2
b
ac
2
3
c
a
．
2
2
2
7
cos
2
12
c
a
b
ABC
ac
7.三角形相似
如图，在三角形
中，已知角
的大小，
为
边上一点.那么我们可利用初中的
ABC
A
D
BC
相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！
如下图，过点
做
的平行线交
延长线于
，则
，且由平行的性
B
AC
AD
E
CDA
BDE
~
质可知：
，于是，已知角
的大小即可得
的大小，倘若我们进一
BED
CAD
A
ABE
步指导
的长度，以及点
为
边上的具体位置，那么在
中可以解决很多问
AD
D
BC
ABE
题，下面通过例题来分析.
例11.（2022 成都一诊）在
中，已知角
，角
的平分线
与边
相交
ABC
3
2
A
A
AD
BC
于
，
，则
的最小值为________.
D
2
AD
AC
AB
2
解析：如上图，由于
，故由
可得
，再加之
为角
BED
CAD
3
2
A
3
ABE
AD
的平分线，则
，于是
为等边，则
A
3
BAE
BEA
ABE
ABE
，
最
后
由
于
，
可
得
：
2
,
c
DE
c
BE
CDA
BDE
~
.
bc
c
b
c
b
c
AD
ED
AC
BE
)
(
2
2
2
由于
，等号成立当且
2
4
6
)
2
(
)
1
1
(
2
)
2
(
2
1
2
2
2
c
b
c
b
b
c
b
c
AC
AB
仅当
.
b
c
2
注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读
者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述.
8.坐标法
例12.记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，点
在边
上，
ABC
A
A
B
C
a
b
c
2
b
ac
D
AC
.
sin
sin
BD
ABC
a
C
（1）证明：
；
BD
b
（2）若
，求
.
2
AD
DC
cos
ABC
解析：以D 为坐标原点，
所在直线为x 轴，过点D 垂直于
的直线为y 轴，
AC
AC
长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则
．由（1）知，
DC
0,0 ,
2,0 ,
1,0
D
A
C
，所以点B 在以D 为圆心，3 为半径的圆上运动．设
，
3
BD
b
AC
,
3
3
B x y
x
则
．⑤由
知，
，
2
2
9
x
y
2
b
ac
2
BA
BC
AC
即
．⑥，联立⑤⑥解得
或
（舍去），
2
2
2
2
(
2)
(
1)
9
x
y
x
y
7
4
x
7
3
2
x
，
2
95
16
y
代入⑥式得
，由余弦定理得
3 6
|
|
,
|
|
6,
3
2
a
BC
c
BA
b
2
2
2
7
cos
2
12
a
c
b
ABC
ac
．
