平行四边形的判定
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.(2013·宁波中考)如果三角形的两条边分别为4 和6,那么连接该三角形三边
中点所得三角形的周长可能是( )
A.6
B.8
C.10
D.12
2.(2013·枣庄中考)如图,△ABC 中,AB=AC=10,BC=8,
AD 平分∠BAC 交BC 于点D,点E 为AC 的中点,连接DE,
则△CDE 的周长为( )
A.20
B.12
C.14
D.13
3.如图,AB∥CD,E,F 分别为AC,BD 的中点,若AB=5,
CD=3,则EF 的长是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.(2013·烟台中考)如图,▱ABCD 的周长为36.对角线
AC,BD 相交于点O.点E 是CD 的中点.BD=12.则△DOE 的周长为 .
5.如图所示,在四边形ABCD 中,P 为对角线BD 的中点,E,F 分别为AB,CD 的中
点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE 的度数是 .
6.如图,△ABC 的周长是32,以它的三边中点为顶点组成第2
个三角形,再以第2 个三角形的三边中点为顶点组成第3 个
三角形,…,则第n 个三角形的周长为 .[来源:学|科|网]
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)已知,如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是
AB,BC,CD,DA 的中点.
求证:四边形EFGH 是平行四边形.
8.(8 分)已知,如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,FC 与BE 交于点
G.求证:GF=GC.
【拓展延伸】
9.(10 分)已知:在△ABC 中,BC>AC,动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转,且
AD=BC,连接DC.过AB,DC 的中点E,F 作直线,直线EF 与直线AD,BC 分别相交于点
M,N.
(1)如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合,取AC 的中点H,
连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF 与∠ENB 有何数
量关系?(不需证明).[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(2)当点D 旋转到图2 或图3 中的位置时,∠AMF 与∠ENB 有何数量关系?请分别
写出猜想,并任选一种情况证明.
答案解析
1.【解析】选B.设三角形的三边分别是a,b,c,令a=4,b=6 ,则2<c<10,12<三角形
的周长<20,
故6<中点三角形周长<10.
2.【解析】选C.∵AB=AC=10,BC=8,AD 平分∠BAC,
∴BD=CD=4,
∵点E 为AC 的中点,∴CE=5,DE=错误: 引用源未找到AB=5,
∴△CDE 的周长为CD+DE+EC=4+5+5=14.
3.【解析】选D.连接DE 并延长交AB 于H.
∵AB∥CD,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE.
∵E 是AC 的中点,∴AE=EC,∴△DCE≌△HAE.
∴DE=HE,DC=AH.
∵F 是BD 的中点,∴EF 是三角形DHB的中位线,
∴EF=错误: 引用源未找到BH,又∵BH=AB-AH=AB-DC=2,
∴EF=1.
【归纳整合】与中位线定理有关的辅助线作法
(1)如果有中线可将中线延长一倍.
(2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线.
(3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作中位线,或构造一个三角形,
使图形中的线段为所构造三角形的中位线.
4.【解析】∵▱ABCD的周长为36,∴BC+CD=18.
∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴O 是BD 的中点,∴OD=6,
又∵E 是CD 的中点,
∴OE 是△BCD 的中位线,
∴OE=错误: 引用源未找到BC,DE=错误: 引用源未找到CD,∴OE+DE=9,
∴△DOE 的周长=OD+OE+DE=6+9=15.
答案:15
5.【解析】因为P,E 分别是BD,AB 的中点,所以PE 是△ABD 的中位线,所以PE=错
误: 引用源未找到AD.
同理可得:PF=错误: 引用源未找到BC.
又∵AD=BC,∴PE=PF,[来源:Zxxk.Com]
即∠PFE=∠PEF=18°.
答案:18°
6.【解析】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边的边长都等于最大三
角形对应各边边长的一半,那么第二个三角形的周长=△ABC 的周长×错误: 引
用源未找到=32×错误: 引用源未找到,
第三个三角形的周长=△ABC 的周长×错误: 引用源未找到×错误: 引用源未找
到=32×错误: 引用源未找到,...,
第n 个三角形的周长=32×错误: 引用源未找到=26-n.
答案:26-n
7.【证明】连接AC.
∵E,F 分别是AB,BC 的中点,
∴EF∥AC,EF=错误: 引用源未找到AC.
同理可得GH∥AC,GH=错误: 引用源未找到AC.
∴EF∥GH 且EF=GH,
∴四边形EFGH 是平行四边形.
8.【证明】取BE 的中点H,连接FH,CH,[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∵F 是AE 的中点,∴FH∥AB,FH=错误: 引用源未找到AB,
∵CD∥AB,CD=AB,CE=错误: 引用源未找到CD,
∴CE∥FH,且CE=FH,[来源:学科网ZXXK]
∴四边形CEFH 是平行四边形,∴GF=GC.
9.【解析】(1)图1:∠AMF=∠ENB.
(2)图2:∠AMF=∠ENB;
图3:∠AMF+∠ENB=180°.
证明:如图,取AC 的中点H,
连接HE,HF.
∵F 是DC 的中点,H 是AC 的中点,
∴HF∥AD,HF=错误: 引用源未找到AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE=错误: 引用源未找到CB,∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.
