66.利用空间向量求最值或范围问题
本节的关键就是在前面空间角度计算的公式之上将所需问题表征成动点的函数关系来处理.
例1例如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD 与平面PBC
的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
解析：（1）证明： 在正方形
中，
，因为
平面
，
平面
ABCD
//
AD BC
AD
PBC
BC
，
PBC
所以
平面
，又因为
平面
，平面
平面
，所以
//
AD
PBC
AD
PAD
PAD
PBC
l
，
//
AD l
因为在四棱锥
中，底面
是正方形，所以
P
ABCD
ABCD
,
,
AD
DC
l
DC
且
平面
，所以
因为
，所以
平面
PD
ABCD
,
,
AD
PD
l
PD
CD
PD
D
l
；
PDC
（2）如图建立空间直角坐标系
，
D
xyz
因为
，则有
，设
1
PD
AD
(0,0,0),
(0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)
D
C
A
P
B
( ,0,1)
Q m
，则有
，设平面
的法向量为
(0,1,0),
( ,0,1),
(1,1, 1)
DC
DQ
m
PB
QCD
，则
，即
，令
，则
，所以平面
的
( , , )
n
x y z
0
0
DC n
DQ n
0
0
y
mx
z
1
x
z
m
QCD
一个法向量为
，则
根据直线的方向向
(1,0,
)
n
m
2
1 0
cos
,
3
1
n PB
m
n PB
n PB
m
量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平
面所成角的正弦值等于
2
|1
|
| cos
,
|
3
1
m
n PB
m
r uur
2
2
3
1
2
3
1
m
m
m
，当且仅当
时取等号，
2
2
3
2
3
2 |
|
3
6
1
1
1 1
3
1
3
1
3
3
m
m
m
m
1
m
所以直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
．
PB
QCD
6
3
例2. 已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分
1
1
1
ABC
A B C
1
1
AA B B
2
AB
BC
别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
AC
1
CC
1
1
A B
1
1
BF
A B
（1）证明：
；
BF
DE
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
1B D
1
1
BB C C
DFE
解析：（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，所以
1
1
1
ABC
A B C
1
BB
ABC
1
BB
AB
因为
，
，所以
，又
，所以
平面
1
1//
A B
AB
1
1
BF
A B
BF
AB
1
BB
BF
B
AB
．
1
1
BCC B
所以
两两垂直．以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴
1
,
,
BA BC BB
B
1
,
,
BA BC BB
, ,
x y z
建立空间直角坐标系，如图．
所以
，
1
1
1
0,0,0 ,
2,0,0 ,
0,2,0 ,
0,0,2 ,
2,0,2 ,
0,2,2
B
A
C
B
A
C
．由题设
（
）．
1,1,0 ,
0,2,1
E
F
,0,2
D a
0
2
a
（1）因为
，所以
0,2,1 ,
1
,1, 2
BF
DE
a
，所以
．
0
1
2 1 1
2
0
BF DE
a
BF
DE
（2）设平面
的法向量为
，因为
，
DFE
, ,
m
x y z
1,1,1 ,
1
,1, 2
EF
DE
a
所以
，即
．令
，则
0
0
m EF
m DE
0
1
2
0
x
y
z
a x
y
z
2
z
a
3,1
,2
m
a
a
因为平面
的法向量为
，设平面
与平面
的二面角的平
1
1
BCC B
2,0,0
BA
1
1
BCC B
DEF
面角为
，则
．当
时，
2
2
6
3
cos
2
2
2
14
2
2
14
m BA
m
BA
a
a
a
a
1
2
a
取最小值为
，此时
取最大值为
．
2
2
2
4
a
a
27
2
cos
3
6
所以
.
2
min
6
3
sin
1
3
3
例3．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，
为棚顶，
是棚底地面的中心，
D
O
AE
为棚底直径，
，
是棚底的内接正三角形，中间的支柱
米，从支柱
AE
AD
ABC
A
18
DO
上的
点向棚底周围拉了4 根绳子
供动物攀爬表演，有一个节目表演的
P
PA
PB
PC
PE
、
、
、
是猴子从
点沿着绳子
爬到
点，再沿着
爬到棚顶，然后从棚顶跳到
E
PE
P
PD
PA
PB
PC
、
、
中的某一根绳子上.
（1）当
点取在距离
点
米处时，证明拉绳
所在直线和平面
垂直；
P
O
3 6
PA
PBC
（2）经验表明当拉绳
所在直线和平面
所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最
PE
PBC
佳，问此时应该把
点取在什么位置.
P
解析：（1）因为
，
，所以
是正三角形，则
，易知
AE
AD
AD
DE
ADE
V
π
3
DAO
底面圆
，而
底面圆
，所以
，又在
中，
，所以
DO
O
AE
O
DO
AE
Rt AOD
A
18
DO
，因为
是正三角形，所以
，
6 3
3
DO
AO
ABC
A
3
2
6 3
3
18
2
AB
AO
且
，
，所以
，
，同理可证
2
2
9 2
AP
AO
PO
BP
AP
2
2
2
AP
BP
AB
AP
BP
，
AP
CP
又
，
平面
，所以
平面
，即拉绳
所在直线和平面
BP
PC
P
,
BP PC
PBC
PA
PBC
PA
垂直；
PBC
（2）如图，建立以
为原点的空间直角坐标系
，设
O
O
xyz
，
|
|
,(0
18),
(0,0, ),
( 3 3,9,0), (3 3,9,0),
( 6 3,0,0)
PO
x
x
P
x E
B
C
所以
(3 3, 9, ),
(3 3,9,
),
( 6 3,0,
),
EP
x PB
x PC
x
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
PBC
( , , )
n
a b c
·
3 3
9
0
·
6 3
0
n PB
a
b
cx
n PC
a
cx
a
x
，故
，设直线
和平面
所成的角为
，
3 ,
6 3
b
x c
( ,
3 , 6 3)
n
x
x
EP
PBC
则
2
2
2
2
2
| 3 3
9 3
6 3 |
6 3
sin
cos
,
108
3
108
108
4
108
x
x
x
x
EP n
x
x
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
6 3
6 3
1
=
3
108
108
4
+
+540
2 4
+540
x
x
x
x
当且仅当
，即
米时，拉绳
所在直线和平面
所成角的正弦
2
2
2
108
4x
x
3 6
PO
x
PE
PBC
值最大，故应该把
点取在距离
点
米
P
O
3 6
