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第 06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题..................................1
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题..................................2
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）................3
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）................4
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）..........5
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）................6
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）..............7
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 7
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 8
高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）.......10
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（2024·陕西·模拟预测）已知 ：向量 与 的夹角为锐角．若 是假命题，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， 为互相垂直的单位向量， ， ，且 与
的夹角为锐角，则实数 的取值范围为 ．
例题 3．（2024 高一·全国·专题练习）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量．若 ，
，其中 ，若 ， 的夹角为锐角，求 的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知平面向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取
值范围是 ．
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知 与 的夹角为 .
(1)求 在 方向上的投影向量;
(2)求 的值;
(3)若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知 ， 与 的夹角为 ，若向量 与
的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ．
例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 .
(1)求 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值；
(3)若 与 夹角为钝角，求实数k的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）设两个向量 ， 满足 ， ， ， 之间的夹角为
，若向量 与向量 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设两个向量 满足 ，
(1)求 在 上的投影向量（用坐标表示）；
(2)若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值
为（ ）
A．4 B．2 C． D．5
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）向量 满足 ， ， ，则
的最大值为 .
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）在 中， ， ， 为 的中点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）若 、 是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，向量 满
足 ，则 的最大值是 ．
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量 与 的夹角为 .我们把数量 叫
做向量 与 的叉乘 的模，记作 ，即 .
(1)若向量 ， ，求 ；
(2)若平行四边形 的面积为4，求 ；(3)若 ， ，求 的最小值.
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知向量 满足： 为单位向量，且 和 相互
垂直，又对任意 不等式 恒成立，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量 、 垂直，且 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A．34 B．26 C．24 D．14
例题3．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知平面向量 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C． D．3
练透核心考点
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量 满足 ， ，则
的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上两点，点
，且 ，则线段 的长的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知平面向量 ， ， 满足： ， ，
，则 ，且 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱长为2的正方体 中， 为 中点， 在平
面 内，且满足 .则点 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例题2．（23-24高三·浙江·开学考试） 均为单位向量，且它们的夹角为45°，设 ， 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24·浙江温州·模拟预测）已知平面向量 满足 ，则 的取值范围是
．
练透核心考点
1．（23-24高三上·重庆九龙坡·期中）已知 ， ， ， ，则
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知 五个点，满足： ，
，则 的最小值为 ．
3．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）△QAB是边长为6的正三角形，点C满足 ，且
， ， ，则 的取值范围是 .
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（23-24高三上·陕西西安·期中）在直角 中， ，点M是 外接圆上
任意一点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例题2．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知等边 的边长为 ， 分别是 的中点，则；若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知 中， ， ， 的对边 ， ， 成等比数列，
，延长 至点 ，使 .求：
(1) 的大小；
(2) 的取值范围.
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形 的边长为2，对称中心为 ，以 为圆心作
半径为1的圆，点 为圆 上任意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图， 是边长2的正方形， 为半圆弧 上的动点（含端
点）则 的取值范围为 ．练透核心考点
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中， ， ， ，若以C为圆心的
圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·一模）已知 是半径为1的球面上不同的三点，则 的最小值为
.
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·全国·期末）在边长为2的正方形 中，动点P，Q在线段 上，且
，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
例题2．（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中， ，若点M在线段AD上运动，则
的取值范围为 ．
例题3．（23-24高一下·天津红桥·阶段练习）如图， 在四边形 中， ， ， ，
(1)求 的值；(2)若 求实数λ的值；
(3)在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点， 且 求 的最小值.
练透核心考点
1．（多选）（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）已知梯形ABCD中， ， ， ，
， ，点P，Q在线段BC上移动，且 ，则 的值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·天津河西·一模）在 中，D是AC边的中点， ， ， ，则
；设M为平面上一点，且 ，其中 ，则 的最小值为 ．
3．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）如图，已知 是边长为 的正方形 的中心，质点 从点
出发沿 方向，同时质点 也从点 出发沿 方向在该正方形上运动，直
至它们首次相遇为止．已知质点 的速度为 ，质点 的速度为 ．
(1)请将 表示为时间 （单位： ）的函数______；
(2)求 的最小值．高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字： ，
，两式相减得 我们把这个等式
称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据
上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
例题2．（23-24高一下·贵州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道① ；
② .由①-②得 ，我们把最后推出
的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图
所示的四边形 中， ， 为 中点.
(1)若 ，求 的面积；(2)若 ，求 的值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： ，我们称为极化恒等
式.在△ 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
2．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道① ；
② .由①-②得 ，我们把最后推出
的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图
所示的四边形 中， ， 为 中点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 为平面 内一点，求 的最小值.
