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第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏､浙江､上
海､安徽､福建､江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进
行侦查，已知江西有 架侦察机，福建有 架侦察机，则不同的分派方案共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【详解】根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有 种.
故选：A.
2．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有 ， ， 三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了
一个水杯，且甲买的不是 品牌，乙买的不是 品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种 B．7种 C．12种 D．24种
【答案】C
【详解】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有 （种）．
故选：C
3．（2023春·安徽池州·高二校联考期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、
北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战
术中打击或消灭敌人的方法总数为（ ）
A．16 B．12 C．4 D．3
【答案】A
【详解】根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为
.
故选：A.
4．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从
这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．36种
【答案】A
【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意，不同的选法共有 种.
故选：A
5．（2023春·江苏南京·高二校考期中）某商场共有7个大门，东、南、西侧各有2个，北侧1个，1人到
该商场购物，则他进、出门的走法有（ ）
A．8种 B．7种 C．24种 D．49种【答案】D
【分析】根据乘法原理计算即可.
【详解】他进、出的方案有 ,
故选:D.
6．（2023·全国·高三专题练习）若 表示一个四位数，且 ，如1331，2552，则 称为四位对
称数，将这样的四位对称数由小到大排列起来，第12个四位对称数是（ ）
A．2442 B．2112 C．2332 D．2222
【答案】D
【详解】由对称数定义可知， 可取值为，2，3，4，5，6，7，8，9；当 任取9个数中的一个时， 对
应的可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个数，所以这样的四位对称数由小到大排列起来，第12个
四位对称数是2222，故选D．
本题考查了整数的十进制表示法，是一道找规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变
化，是按照什么规律变化的．对于本题而言，关键是找到 与 的取值规律．
7．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）现有天平及重量为1，2，4的砝码各一个，每一步，我们选取任
意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平
的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（ ）种.
A．15 B．13 C．11 D．10
【答案】A
【详解】根据每次放的砝码重量分类讨论，结合两个基本计数原理求解，有以下三种情况：
①第一步先放4，则4只能在左边，接下来重量为1，2的砝码顺序随意有2种，左右边随意有 种，
则共有 种放法；
②第一步先放2，2只能在左边，
若第二步放4，则4只能在左边，第三步砝码1左右边随意放，有 种放法，
若第二步放1，则砝码1左右两边随意放，有 种放法，第三步砝码4只能在左边，有1种放法，
则共有4种放法；
③第一步先放1，则1只能在左边，
若第二步放4，则4只能在左边，第三步砝码2左右边随意放，共有 种；
若第二步放2，2只能在左边，第三步砝码4只能在左边，共有1种；
则共有3种放法，
综上，有 种放法．
故选：A．
8．（2023春·江苏宿迁·高二统考期末）为了合理配置教育资源、优化教师队伍结构、促进城乡教育优质均
衡发展，科学编制校长教师交流轮岗3到5年规划和学年度交流计划，努力办好人民群众“家门口”的好
学校．省委、省政府高度重视此项工作，省教育厅出台《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的
意见》，将义务教育教师交流轮岗工作纳入了省委2023年度重点工作任务．某市教育局为切实落实此项政策，安排3名校长和3名教师到甲、乙、丙三所义务教育学校进行轮岗交流，每所学校安排一名校长，
则不同的安排方案种数是（ ）
A．720 B．162 C．81 D．33
【答案】B
【详解】先安排校长：则甲学校有3种可能，乙学校有2种可能，丙学校有1种可能，
所以不同的安排方案种数是 ；
再安排教师：每个教师均有三个学校可以选择，
所以不同的安排方案种数是 ；
综上所述：不同的安排方案种数是 .
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·河北石家庄·高二校考阶段练习）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩
画，下列说法正确的有（ ）
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法
【答案】ABC
【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中
选一副有7种不同的选法，
由分类计数原理，共有 种不同的选法，所以A正确；
对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，
根据分步计数原理，共有 种不同的选法，所以B正确；
对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有 种不同的选法；
若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有 种不同的选法；
若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有 种不同的选法，
由分类计数原理，可得共有 种不同的选法，所以C正确；
对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；
第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，
根据分步计数原理，不同挂法的种数是 种不同的选法，所以D错误.
故选：ABC.
10．（2023·江苏·高二专题练习）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（
）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】BD
【详解】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有 种不同的选法，所以该选项错误：
对B，若每种颜色选出1个球，有 种不同的选法，所以该选项正确；
对C，若要选出不同颜色的2个球，有 种不同的选法，所以该选项错误；
对D，若要不放回地依次选出2个球，有 种不同的选法，所以该选项正确.
故选：BD
三、填空题
11．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公
共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种.
【答案】14
【详解】不妨设圆周上的点依次为 ，
要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：
符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；
共计 种.
故答案为： .
12．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草
莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的
果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有 种.
【答案】11
【详解】王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重复的，所以应该先分类后分步.
第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中拿，共有 种
情况；
第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里有4种情况，共有
种情况.
根据分类加法计数原理，小华拿到两种不同水果总共有 种情况.
故答案为：11四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）某校数学课外活动小组有高一学生 人，高二学生 人，高三学生 人．
(1)选其中 人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每一年级各选 名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选出其中 人去外校参观学习，要求这 人来自不同年级，有多少种不同的选法？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若从高一学生中选，则有 种不同的选法；
若从高二学生中选，则有 种不同的选法；
若从高三学生中选，则有 种不同的选法；
所以由分类加法计数原理知，共有 种不同的选法．
（2）三个年级分别有 种， 种， 种不同选法，
由分步乘法计数原理知，共有 种不同选法．
（3）选法可分三类：一类是 人选自高一， 人选自高二，有 种选法；
第二类是 人选自高一， 人选自高三，有 种选法；
第三类是 人选自高二， 人选自高三，有 种选法，
所以共有 种不同选法．
14．（2023春·河南郑州·高二校考阶段练习）设有 幅不同的国画， 幅不同的油画， 幅不同的水彩画．
(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
【答案】(1)70
(2)59
【详解】（1）分三步完成，第一步选国画有 种，第二步选油画有 种，第三步选水彩画有 种，
根据分步计数原理得，共有 种．
（2）分三类，第一类，选国画和油画共有 种；
第二类，选国画和水彩画共有 种；
第三类，选油画和水彩画共有 种；
根据分类计数原理共有 种．
B能力提升
1．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果
树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有 种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有 种方法.
再由分类计数原理，共有 种不同的方法.
故选：C.
2．（2023春·北京·高二北大附中校考期末）某公司有 家直营店 ，现需将 箱货物运送至直营店进
行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示.
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【详解】 箱货物的分配方法和最大利润分别为： ； ；
； ； ； ；
，此时 ；，此时 ；
，此时 或 ；
综上，该公司获得最大总利润的运送方式有 种.
故选：D.
3．（2023春·江苏扬州·高三仪征中学校考阶段练习）已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合
两种可能，因此5个开关共有 种可能，在这 种可能中，电路从P到Q接通的情况有 种．
【答案】16
【详解】若电路从 到 接通，共有三种情况：
（1）若1闭合，而4不闭合时，可得分为：
①若1、2闭合，而4不闭合，则3、5可以闭合也可以不闭合，共有 种情况；
②若1、3、5闭合，而4不闭合，则2可以闭合也可以不闭合，有2种情况，
但①与②中都包含1、2、3、5都闭合，而4不闭合的情况，所以共有 种情况；
（2）若4闭合，而1不闭合时，可分为：
③若4、5闭合，而1不闭合，则2、3可以闭合也可以不闭合，有 种情况；
④若4、3、2闭合，而1不闭合，则5可以闭合也可以不闭合，有2种情况，
但③与④中，都包含4、2、3、5都闭合，而1不闭合的情况，所以共有 种情况；
（3）若1、4都闭合，共有 种情况，而其中电路不通有2、3、5都不闭合与2、5都不闭合2种
情况，则此时电路接通的情况有 种情况；
所以电路接通的情况有 种情况.
故答案为： .
4．（2023·全国·高三对口高考）对图中的图一、二、三，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色
中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，求不同涂色方法种数．
【答案】图一：180，图二：240，图三：320.
【详解】对于图一：
首先对①进行涂色，有5种方法，然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种；
对于图二：
首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有4种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种；
对于图三：
首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对③进行涂色，有4种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对④进行涂色，有4种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种；
