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§2.11 函数的零点与方程的解
课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法
求方程的近似解.
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)
在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间
，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.( )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.( )
2.下列函数图象与x 轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
3.函数f(x)＝ln x－1
x 的零点所在的大致区间是( )
A.(
1
e ，1)
B.(1，2)
C.(2，e)
D.(2，3)
4.设f(x)＝|x2－2x|，则函数y＝f(x)－2 024 的所有零点之和为 .
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而
是方程f(x)＝0 的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)若连续函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2025·南昌统考)已知函数f(x)＝ln x＋x－2
x ，则f(x)的零点所在的区间为( )
A.(
1
2 ，1)
B.(1，2)
C.(2，e)
D.(e，3)
(2)在用二分法求方程x2＝3 的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，
1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 .
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若
有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的零点所在的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
(2)用二分法求函数f(x)＝ex－x－2 的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：
f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是( )
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1 作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125 作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)＝{
x
2-1, x ≤0,
x -2＋ln x , x>0的零点个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)(2025·绵阳模拟)若定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，已知
函数g(x)＝{
|lg x|, x>0,
e
x , x ≤0, 则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数为( )
A.14
B.13
C.12
D.11
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2 (1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1 的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)函数f(x)＝√36- x
2·cos x 的零点个数为 .
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)和
y＝g(x)恰有一个交点，则a 等于( )
A.－1
B.1
2
C.1
D.2
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 已知函数f(x)＝3x－2＋ax
x
.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，则实数a 的取值范围是
.
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
跟踪训练3 (1)(2025·深圳模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋3)＋4x＋a 在(－1，1)内有零点，则实数a 的取值
范围是( )
A.(－6，3)
B.(－∞，－6)∪(3，＋∞)
C.[－6，3]
D.(－∞，－6]∪[3，＋∞)
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝{
x
2＋2 x -3, x ≤0,
-2＋ln x , x>0,
令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)
B.当h(x)有3 个零点时，k∈(－4，－3]
C.当k＝－2 时，h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1 个零点
嵌套函数的零点
对于嵌套函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数
y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
典例 (1)若函数f(x)={
1+ ln x，x>0，
x
2+ 4 x +3，x ≤0，则函数g(x)=f(f(x))的零点的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)={
- x
2- 4 x -2，x ≤0，
|ln x|，x>0，
若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m 有5 个不同的零
点，则实数m 的值可能是( )
A.-5
B.-6
C.-7
D.-8
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x)＝0 (2)零点 x 轴
(3)f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0
2.f(a)f(b)<0 一分为二 零点
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.C [根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足
f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C 选项中的图象在零点附近不满足
f(a)f(b)<0，所以C 选项不能用二分法求图中函数零点近似值.]
3.B [f(x)＝ln x－1
x 的定义域为(0，＋∞)，
又y＝ln x 与y＝－1
x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝ln x－1
x 在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－1
2>0，
所以f(1)f(2)<0，
根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－1
x 的零点所在的大致区间为(1，2).]
4.2
解析 由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示，
根据图象可知y＝f(x)－2 024 共有2 个零点，且2 个零点关于直线x＝1 对称，
所以零点之和为2.
探究核心题型
例1 (1)B [显然函数f(x)＝ln x＋x－2
x 在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，
f(2)＝ln 2＋2－1＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以零点所在的区间为(1，2).]
(2)7
解析 设至少需要计算n 次，则n 满足1.8-1.7
2
n
<0.001，即2n>100，由于26＝64，27＝128，故要达到精确
度要求至少需要计算7 次.
跟踪训练1 (1)B [函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的定义域为[0，＋∞)，
函数y＝x
1
2在[0，＋∞)上单调递增，函数y＝2－x在[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
由f(1)＝1－1
2－1＝－1
2<0，f(2)＝√2－1
4 －1＝√2－1.25>0，
所以函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的零点所在的区间是(1，2).]
(2)C [由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因为|1.125
－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f (
1.125＋1.25
2
)＝f(1.187 5)的值.]
例2 (1)D [当x≤0 时，x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0 时，f(x)＝x－2＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，
即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.]
(2)B [因为f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为2 的周期函数，
因为当x∈[－1，1]时，
f(x)＝1－x2，则y＝f(x)，
y＝g(x)＝{
|lg x|, x>0,
e
x , x ≤0
的图象如图，
当x≤0 时，g(x)∈(0，1]且单调递增，当0<x<1 时，
g(x)∈(0，＋∞)且单调递减，
当x>1 时，g(x)∈(0，＋∞)且单调递增，
又f(－6)＝f(0)＝1>g(－6)，
f(1)＝g(1)＝0，
f(6)＝f(0)＝1>g(6)，
f(0)＝g(0)＝1，
函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在[－6，6]内的交点个数，
由图知，函数h(x)在区间[－6，6]内的零点共有13 个.]
跟踪训练2 (1)C [函数f(x)＝3x|log2x|－1 的零点，
即3x|log2x|－1＝0 的解，
即|log2x|＝(
1
3)
x
的解，
即y＝|log2x|与y＝(
1
3)
x
图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝(
1
3)
x
有2 个交点，即函数f(x)的零点个数为2.]
(2)6
解析 令36－x2≥0，
解得－6≤x≤6，
所以f(x)的定义域为[－6，6].
令f(x)＝0 得36－x2＝0 或cos x＝0，
由36－x2＝0 得x＝±6，
由cos x＝0 得x＝π
2 ＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6，6]，所以x 的取值为－3 π
2 ，－π
2 ，π
2 ，3 π
2 .
故f(x)共有6 个零点.
例3 D [令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)
＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.]
例4 (1，8)
解析 令f(x)＝3x－2＋ax
x
＝0，
可得a＝3x－2
x ，
令g(x)＝3x－2
x ，其中x∈(1，2)，
由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，
则实数a 的取值范围即为函数g(x)在(1，2)上的值域.
由于函数y＝3x，y＝－2
x 在区间(1，2)上均单调递增，所以函数g(x)在(1，2)上单调递增.
又因为g(1)＝1，g(2)＝8，
所以函数g(x)在(1，2)上的值域为(1，8).
因此实数a 的取值范围是(1，8).
跟踪训练3 (1)A [y＝log2(x＋3)在(－1，1)上单调递增，y＝4x＋a 是增函数，所以f(x)在(－1，1)上单调
递增.
因为f(x)在(－1，1)内有零点，
所以{
f (-1)＝1- 4＋a<0,
f (1)＝2＋4＋a>0,
解得－6<a<3.]
(2)BD [函数f(x)
＝{
x
2＋2 x -3, x ≤0,
-2＋ln x , x>0,
结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(0，＋∞)，A 选项错误；
h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k 交点的横坐标，由图象可知，当h(x)有3 个零点时，k∈(－4，
－3]，B 选项正确；
解方程可知，当k＝－2 时，h(x)有两个零点，－1－√2和1，所有零点之和为－√2，C 选项错误；
当k∈(－∞，－4)时，函数y＝f(x)的图象和直线y＝k 有1 个交点，即h(x)有1 个零点，D 选项正确.]
微拓展
典例 (1)C [当x>0 时，
由1＋ln x＝0，得x＝1
e ，
当x≤0 时，由x2＋4x＋3＝0，
得x＝－1 或x＝－3，
所以f(x)的零点为－3，－1，1
e ，
令t＝f(x)，则t∈R，f(t)＝0 的根分别为t1＝－3，t2＝－1，t3＝1
e ，
结合f(x)的图象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)＝f(f(x))的零点个
数为6.]
(2)CD [令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0，
即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0，
解得f(x)＝1 或f(x)＝m
3 ，
如图，画出函数f(x)的图象，
当f(x)＝1 时，直线y＝1 与y＝f(x)的图象有4 个交点，
所以直线y＝m
3 与y＝f(x)的图象只能有1 个交点，则m
3 <－2，
得m<－6，
结合选项可知，m 的值可能是－7 或－8.]
