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2.6 幂函数与一元二次函数
1
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2
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3
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考点一 幂函数的三要素
【例1-1】（2024 河南周口）已知函数
为幂函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意有
，可得
，其定义域为R，
且
，则函数
为奇函数，
所以
.
故选：A.
【例1-2】（2024 福建龙岩·期末）若幂函数
的图象过点
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，依题意可得
，解得
，所以
，
所以
的定义域为
，值域为
，且
，
对于函数
，则
，解得
，
即函数
的定义域是
.
故选：B
【例1-3】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）下列函数中，与函数
的值域相同的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4
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【解析】因为幂函数
的值域为
，
对于A，指数复合函数
的值域为
，故A 错误；
对于B，对数复合函数
的值域为
，故B 正确；
对于C，幂函数
的值域为
，故C 错误；
对于D，反比例函数
的值域为
，故D 错误.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州）若函数
是幂函数，且满足
，则
的值为 .
【答案】16
【解析】设
，由
可得
可得
.故
，则
.
故答案为：16
2．（2024 山西吕梁）已知幂函数
的图象过点
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是幂函数，
设
，将
代入解析式，
得
，解得
，故
，则
，
故
，解得
故选：B
3（2024 湖北）函数
的定义域是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
则有
，解得
且
，因此
的定义域是
．
故选：B.
4．（2024 湖北恩施·阶段练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数
的定义域和值域相同的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域和值域均为
，
函数
的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数
的定义域为
，值域为R，不满足要求；
函数
的定义域为R，值域为
，不满足要求；
函数
的定义域和值域均为
，满足要求；
故选：D．
考点二 幂函数的图像
【例2-1】（2024·四川南充·二模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6
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【解析】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，又
在
上函数是下凸递增，故不符合题意，
故C 错误；
对于D：函数
的定义域为
，又
为奇函数，且
在
上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D
【例2-2】（2024 海南省）幂函数
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【解析】根据幂函数
的性质可知，在第一象限内的图像，当
时，图像递增，
且
越大，图像递增速度越快，由此可判断
是曲线
，
是曲线
；
当
时，图像递减，且
越大，图像越陡，由此可判断
是曲线
，
是曲线
；综上所述幂函数
，
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
，
，
，
.
故选：D.
【例2-3】（2024 广东茂名）若幂函数
的图象经过第三象限，则
的值可以是（ ）
7
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A．-2
B．2
C．
D．3
【答案】D
【解析】A：当
时，
，图像为：
故A 错误；
B：当
时，
，图像为：
故B 错误；
C：当
时，
，图像为：
故C 错误；
D：当
时，
，图像为：
故D 正确；故选：D
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【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知幂函数
的图象经过点
，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设幂函数
，则
，即
，解得
，即
，
的定义域是
，
，函数为偶函数，
由
，则
在
上递增且越来越慢.
故选：A.
2．（2024 海南省直辖县级单位·开学考试）如图的曲线是幂函数
在第一象限内的图象.已知
分别取
四个值，与曲线
相应的
依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由幂函数的单调性可知曲线
相应的
应为
.
故选：A
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数
在
上的图象分别是下降，急速上
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升，缓慢上升，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知
.故选：B.
考点三 幂函数的性质
【例3-1】（2024 湖南长沙·阶段练习）已知幂函数
是偶函数，且
在
上是减函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】B
【解析】因为
是幂函数，所以
，解得
或
，
又
在
上是减函数，则
，即
，所以
，此时
,易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
【例3-2】（2024 广东深圳·期末）（多选）已知函数
为幂函数，则下列结论正确的为
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为单调递增函数
D．
的值域为
【答案】AC
【解析】由
为幂函数可得
，解得
，所以
，故A 正确，C 正确；
由于
，故
为奇函数，故B 错误；
的值域为
，D 错误，故选：AC.
【一隅三反】
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1．（2024 山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间
上单调递减的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
为偶函数，不符合题意；
对于B，
为奇函数，且在区间
上单调递减，符合题意；
对于C，
为偶函数，不符合题意；
对于D，
为奇函数，且在区间
上单调递增，不符合题意．
故选：B．
2．（2024 浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数
的图像关于y 轴对称，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】因为幂函数
的图像关于y 轴对称，
所以函数
为偶函数，则
，即
，
又
，由幂函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，
所以
，故B 正确，A 错误；
因为
，
在
上单调递减，且函数
为偶函数
则
，故D 正确，C 错误.
故选：BD
3．（2024 贵州）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
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A．幂函数的图象都通过点
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称
C．函数
恒过定点
D．函数
在整个定义域内是单调递减的
【答案】BC
【解析】对于A，幂函数
不过
，故A 错误；
对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称，故B 正确；
对于C，令
，则
，
所以函数
恒过定点
，故C 正确；
对于D，函数
的单调减区间为
，
当
时，
，当
时，
，故D 错误.
故选：BC.
4．（2023·吉林长春·模拟预测）（多选）已知幂函数
图像经过点
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】将点
代入函数
得：
，则
.
所以
，显然
在定义域
上为减函数，所以A 错误；
，所以
为偶函数，所以B 正确；
当
时，
，即
，所以C 错误；
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当若
时，
假设
，整理得
，化简得，
，
即证明
成立，
利用基本不等式，
，因为
，故等号不成立，
成立；
即
成立，所以D 正确.
故选：BD.
考点四 幂函数性质的应用
【例4-1】（2024 江苏苏州·阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵指数函数
在
上单调递增，且
，∴
，即
.
∵幂函数
在
上单调递增，且
，∴
，即
，∴
.故选：A.
【例4-2】（2024 江西新余）若幂函数
图象过点
，且
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解析】把
代入
可得：
，易得：
，则
，
显然函数
的定义域为R，由
知
为偶函数.
且
，由
，
因
故
，即
，故函数
在
上为增函数.
由
，将两边平方整理可得：
，
解得：
或
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·河北）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于幂函数
在
上单调递增，又
，
，
，
，所以
，则
.故选：D.
2．（2024 宁夏吴忠）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因
为开口向下的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减，且
，因此函数
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在R 上单调递减，则
，即
，
解得
或
，所以实数
的取值范围是
。故选：D
3．（2024·湖南常德）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】函数
，在
上单调递增，∴
，故A 错误；
函数
，在
上单调递减，
，函数
，在
上单调递增，
，
，故B 正确；
函数
单调递减，
，故C 正确；
，故D 错误，
故选：BC．
考点五 一元二次函数的单调性
【例5-1】（2024 浙江）设函数
在区间
上是减函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的对称轴方程为：
，
因为函数
在区间
上是减函数，所以
，解得
，故选：B
【例5-2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解析】设函数
，
则函数
是由二次函数
与指数函数
复合而成的.
当
时，由于函数
单调递减，
而二次函数
的图象开口向上，在区间
上不可能单调递减，
则函数
在区间
上不可能单调递增，故不满足题意；
当
时，函数
单调递增，要使函数
在区间
上单调递增，
则二次函数
在区间
上单调递增，又其对称轴为
，故
，
所以
.故选：C.
【例5-3】（2024·全国·模拟预测）若函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
则
或
或
或
解得
或
，
即实数m 得取值范围为
.
故选：C．
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【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知
，则函数
在
上是增函数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
对称轴为
，而
，函数开口向上，
所以
的增区间为
，故在
上是增函数有
，
综上，
对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为
，而
的面积为1，故在
上是增函数的概率为
.
故选：D
2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数
满足对任意的实数
，且
，
都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】因为对任意的实数
，且
，都有
成立，
所以，对任意的实数
，且
，
，即函数
是
上的减函数．
因为
，
令
，
，要使
在
上单调递减，
所以，
在
上单调递增．
另一方面，函数
为减函数，
所以，
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
．
故选：D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）若函数
在
上单调，则实数
的值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】BD
【解析】①当
，即
时，
，所以
的对称
轴为
，则
的图象如下：
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结合图象可知，要使函数
在
上单调，则
或
，解得：
或
，即
或
；
②当
，即
或
，令
，则
的对称轴为
，则
的
图象如下：
结合图象可知，要使函数
在
上单调，
则
，或
，或
，或
解得：
，或
，
综上：
或
；
故选：BD
考点六 一元二次恒（能）成立
【例6-1】（2023·福建厦门·二模）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，得
，与题意矛盾，
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当
时，则
，解得
，
综上所述，
，
所以不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.
故选：A.
【例6-2】（2024·甘肃）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不等式
在区间
内有解，仅需
即可，
令
，因为
的对称轴为
，
，
，
所以由一元二次函数的图像和性质的得
，
所以
，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】①当
时，不等式化为
，解得：
，符合题意；
②当
时，
为开口方向向上的二次函数，
只需
，即
；
③当
时，
为开口方向向下的二次函数，
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则必存在实数
，使得
成立；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：C.
2．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
恒成立，
当
时，则
，解得
，
综上所述，不等式
恒成立时，
，
所以选项中“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是
.
故选：D.
3．（2024 河南）设a 为实数，若关于x 的不等式
在区间
上有实数解，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，因为
，故
在区间
上有实数解，则
，又
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
，故
.故
在区间
上有实数解则
.故选：A
考点七 三个一元二次的关系
【例7】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列
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说法正确的是（ ）
A．
B．关于x 的不等式
的解集是
C．
D．关于x 的不等式
的解集为
或
【答案】ABD
【解析】由关于x 的不等式
的解集为
或
，
知
和3 是方程
的两个实根，且
，故A 正确；
根据根与系数的关系知：
，
所以
，
选项B：不等式
化简为
，解得：
，
即不等式
的解集是
，故B 正确；
选项C：由于
，故
，故C 不正确；
选项D：不等式
化简为：
，
解得：
或
，故D 正确；
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024 江苏南京·期末）（多选）已知关于
的不等式
的解集是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3 是方程
的两个根，且
，
，
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A：由以上可知
，故A 正确；
B：当
时，代入方程可得
，故B 正确；
C：因为
，不等式
的解集是
，故将
代入不等式左边为
，故
C 错误；
D：原不等式可变为
，且
，约分可得
，解集为
或
，故D 正
确；
故选：ABD
2．（2023 山东威海）（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中
正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
【答案】BD
【解析】不等式
的解集为
，则
是方程
的根，且
，
则
，即
，A 错误；
不等式
化为
，解得
，即不等式
的解集是
，B 正确；
，C 错误；
不等式
化为
，即
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
，D 正确.
故选：BD
3．（2024 湖南长沙·期末）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，或
，则
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
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C．
D．不等式
的解集是
，或
【答案】AD
【解析】由关于
的不等式
解集为
或
，
知-3 和2 是方程
的两个实根，且
，故A 正确；
根据根与系数的关系知：
，
，
选项B：不等式
化简为
，解得：
，
即不等式
的解集是
，故B 不正确；
选项C：由于
，故
，故C 不正确；
选项D：不等式
化简为：
，
解得：
或
，故D 正确；
故选：AD.
考点八 解含参一元二次不等式
【例8-1】（2024 广东阳江）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：
，
当
时，可知
，对应的方程的两根为1，
，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：
.
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故选：A.
【例8-2】（2024 贵州毕节）若关于
的不等式
的解集中恰有2 个整数，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
当
时，不等式的解集为
，不符合题意舍去，
当
时，不等式的解集为
，此时若有2 个整数解，则需
，
当
时，不等式的解集为
，此时若有2 个整数解，则需
，
综上：实数
的取值范围为
或
，
故选:A．
【例8-3】（2024 吉林白山）解关于x 的不等式：
(1)
（2）
（3）
<0
【答案】答案见解析
【解析】（1）不等式
可化为
，
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，不等式化为
，其解集为
；
当
时，不等式化为
，
（ⅰ）当
，即
时，不等式的解集为
；
（ⅱ）当
，即
时，不等式的解集为
；
（ⅲ）当
，即
时，不等式的解集为
.
（2）不等式
，
当
时，
，
25
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当
时，不等式可化为
，而
，解得
，
当
时，不等式可化为
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
或
，
当
，即
时，
或
，
所以，当
时，原不等式的解集为
，
当
时，原不等式的解集为
，
当
时，原不等式的解集为
，
当
时，原不等式的解集为
.
(3)不等式
，
①当
时，即
时，不等式的解集为
，
②当
时，即
或
时，
由
，解得
或
，
所以不等式的解集为
，
综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
或
时，不等式的解集为
．
【一隅三反】
1．（2024 天津红桥）若关于x 的不等式
只有一个整数解，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】
，即
当
时，则不等式解集为
，不符合题意；
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当
时，则不等式解集为
，不符合题意；
当
时，
若
时，不等式解集为
，不符合题意；
若
时，不等式解集为
，故只需满足
，解得
；
若
时，不等式解集为
，不合题意；
综上：
.
故答案为：
2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于实数
的不等式：
(1)
．（2）
．(3)
【答案】答案见解析
【解析】（1）易知方程
的
，
由
得
，解得
，
当
时，
的解集为
，
当
时，
的解集为
，
当
时，
的解集为
．
（2）对方程
，当
时，即
时,不等式的解集为
当
时，即
或
时,
的根为
，
不等式的解集为
；
综上可得，
时,不等式的解集为
，
或
时，不等式的解集为
.
27
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（3）当
时，不等式等价于
，即
；
当
时，原不等式化为
，
当
时，即
时，解得
或
；
当
时，即
时，原不等式即为
，解得
；
当
时，即
时，解得
或
．
当
时，原不等式化为
， 解得
．
综上所述，当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为R；
当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
考点九 一元二次根的相关问题
【例9-1】（2024 北京·期中）如果关于
的一元二次方程
有两个不同的正数实数根，那么
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为关于
的一元二次方程
有两个不同的正数实数根，
则有
，故选：A
【例9-2】（2024 浙江·阶段练习）若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，
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且
．则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数
，依题意，
的两个不等实根
满足
，
而函数
图象开口向上，因此
，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.故答案为：
【一隅三反】
1．（2024 山西太原·阶段练习）（多选）已知关于
的方程
，则（ ）.
A．当
时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BC
【解析】对于A 选项：当
时，
，此时
，
此时方程没有实数根，故A 选项错误；
对于B 选项：方程无实数根的充要条件是
，即
，
所以方程无实数根的一个充分条件是
的子集，显然
符合，故B 选项正确；
对于C 选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得：
，故C 选项正确;
对于D 选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得：
，故D 选项错误;
故选：BC.
故答案为：1（也可取2，3）．
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知方程
的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数
的取值范围 .
29
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【答案】
【解析】设
，
因为方程
的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
3．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实数解，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，因为方程
在区间
上有两个不相等的实数解，
所以
，即
，解得
，所以
的取值范围是
．故选：A．
4．（2024 山东菏泽·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若关于x 的方程
的一根比1 大且另一根比1 小，则a 的取值范围是
B．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数k 的取值范围是
C．若关于x 的不等式
的解集是
，则关于x 的不等式
的解集是
或
D．若
，则
的最小值为
【答案】ACD
30
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【解析】对于A，二次函数
，开口向上，
若关于x 的方程
的一根比1 大且另一根比1 小，
则
，解得
，故A 正确；
对于B，若关于x 的不等式
在
上恒成立，
则只需
，即
在
上恒成立即可，
则实数k 的取值范围是
，故B 错误；
对于C，若关于x 的不等式
的解集是
，则
，
所以关于x 的不等式
或
，故C 正确；‘
对于D，若
，则
，解得
，等号成立当且仅当
，
所以
，等号成立当且仅当
，故D 正确.故选：ACD.
一．单选题
1．（2024 江西抚州）若命题“
”为假命题，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意命题“
”为真命题，
所以当且仅当
，
解得
，即m 的取值范围是
.
故选：C.
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2．（2024·北京西城·一模）已知函数
，若
存在最小值，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，故当
时，
有最小值为
；
时，
单调递减，所以
，
由题意
存在最小值，则
，解得
，即的最大值为
.
故选：A
3．（2024 湖南长沙·开学考试）四个数
，
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上单调递增，故
；
由于
在
上单调递减，故
，
由于
在
上单调递减，故
，
故
，
故选：D
4．（2024 江苏南京·期末）已知幂函数
的图象过点
，则函数
的单调递增区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】设
，因为
的图象过点
，
所以
，解得
，即
，
可得
在
上单调递减，
则函数
，
由
，解得
或
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：A.
5．（2024 广东深圳·阶段练习）已知函数
是定义域上的偶函数，在区间
上单调递增，且对任意
、
均有
成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，因为
的定义域为
，
又
，则
是定义域上的偶函数，
当
时，
显然单调递增，
又
，满足题意，故A 正确；
对于B，因为幂函数
是奇函数，而非偶函数，故B 错误；
对于C，对于
，有
，
而
，显然两者不相等，故C 错误；
对于D，对于
定义域为
，有
，
33
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，显然两者不相等，故D 错误；
故选：A.
6．（2024 辽宁沈阳）已知关于x 的方程
有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由题意可得
，解得
或
，
设两个为
，
，由两根为正根可得
，解得
，综上知，
.
故两个根的倒数和为
，
，
，
，故
，
，故两个根的倒数和的最小值是
.故选：B
7．（2024 湖北黄冈·期中）设集合
或
，集合
，若
中恰有
两个整数，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知，方程
的两根异号，且两根之积为
.
设
，
，
①若
中恰有两个整数为
，，则
，解得
；
②若
中恰有两个整数为
，
，
则
且
，
；
③若
中有两个整数为
，
，
34
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则
且
，
；综上可得
故选：B
8．（2024 四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用
到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔
（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数
，存在实数
，使得
，我们就
称该函数为“不动点”函数，实数
为该函数的不动点.已知函数
在区间
上恰有
两个不同的不动点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
在区间
上恰有两个不同的不动点，
即
在区间
上恰有两个解，
即
在区间
上恰有两个零点，
所以
或者
，
解得：
或
，
故选：C
二．多选题
9．（2024 辽宁抚顺）（多选）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
35
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C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】设幂函数
，函数
的图像经过点
，则
，
，
，
，所以
，即
；
由
，所以函数
为偶函数，所以B 正确；
分析函数解析式可知：
时，随着
的增大，
也增大，
也增大，
所以
时，
单调递增；
又
为偶函数，所以
时，
单调递减，所以A 错误；
时，
单调递增，又
，所以
时，
，C 正确；
大致画出函数图像如下，
为点
与点
两点中点的纵坐标，
为
时的函数值，
观察图象可知选项D 正确.
故选：BCD
10．（2024·山东潍坊）已知函数
（
且
）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析
式对应正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由图可得
，即
，
单调递减过点
，故A 正确；
为偶函数，在
上单调递减，在
上单调递增，故B 正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；
故选：ABD.
11．（2023 福建·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
的最小值为1
B．若
，
，且
，则
的最小值为1
C．若关于
的不等式
的解集为
，则
D．关于
的不等式
的解集为
【答案】AC
【解析】对于A，因为
，当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，所以
的最大值为1，故B 错
误；
37
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对于C，因为
的解集为
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
所以，当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
，
故D 错误.
故选：AC
三．填空题
12．（2024 北京·期中）下列命题：
①定义在
上的奇函数
必满足
；
②
既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与
轴相交；
④函数
在
上是减函数.其中真命题有 ．
（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.
【答案】①
【解析】对于① ，因
是定义在
上的奇函数，则
，则
，故①是真命题；
对于② ，由
化简得
，显然有
，即
是偶函数，故②
是假命题；
对于③ ，偶函数的定义域应该关于原点对称，但是
是不一定有定义，则其图象不一定与
轴相交，故③
是假命题；
对于④ ，因函数
的定义域是
，若取
，则
，由
可知④为假命题.
故答案为：① .
13．（2024 福建）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当
时，
38
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若
，可得
；
若
，
，函数
的值域不可能为
；
②当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递增，
若函数
的值域为
，只需
，可得
．
由上知，实数a 的取值范围为
．
故答案为：
14．（2024 江苏苏州·阶段练习）若命题“
”为假命题，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
【解析】命题“
”的否定为：“
”
命题“
”为假命题等价于命题“
”为真命题；
当
时，
，成立；
当
时，结合一元二次函数的图象可得：
，解得
，
综上，实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
四．解答题
39
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15．（2024 安徽芜湖·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
．
(1)求
和
的值；
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意知
和是方程
的两个根且
，
由根与系数的关系得
，解得
；
（2）由
、
，不等式可化为
，
即
，则该不等式对应方程的实数根为
和
．
当
时，
，解得
，即不等式的解集为
，
当
时，
，不等式的解集为空集，
当
时，
，解得
，即不等式的解集为
，
综上：当
时，解集为
，
当
时，解集为空集，
当
时，解集为
．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知二次函数
（
，
为实数）
(1)若函数图象过点
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若函数图象过点
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意，
，即
，
40
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由
，
恒成立，得
，
即
，整理得
，
解得
.
所以实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知，
，
由
，得
，即
，
依题意，
对
恒成立，
令
，
则对
，
恒成立，于是
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
．
17．（2024 陕西咸阳）已知函数
.
(1)当
时，求
的解集；
(2)是否存在实数
，使得不等式
对满足
的所有
恒成立？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）
时，函数
，
41
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不等式
即为
，
即
，
解得
，
∴不等式
的解集为
.
（2）设
，
，
根据题意知，
在
上恒成立，
①当
时，解得
，
若
，则
在
上单调递增，
则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递减，
则
，不符合题意；
②当
，即
时，
的图像为开口向下的抛物线，
要使
在
上恒成立，需
，
即
，解得
或
，
又∵
，∴此时无解；
③当
，即
或
时，
的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为
，
（i）当
，即
时，
在
上单调递增，
∴
，解得
或
，
∵
，
，∴此时无解；
42
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（ii）当
，即
或
时，
在
上单调递减，在
上单调
递增，
∴
，此时无解；
（iii）当
，即
时，
在
上单调递减，
∴
，解得
或
，
∵
，
，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数
.
18．（2024 浙江台州）已知函数
，
，
(1)当
时，解不等式
；
(2)若任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当
时，
，
所以
，所以
，所以
的解集为
.
（2）若对任意
，都有
成立，即
在
恒成立，
解法一：设
，
，对称轴
，由题意，只须
，
①当
，即
时，
在
上单调递增，所以
，符合题意，所以
；
43
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②当
，即
时，
在
上单调递城，在
单调递增，
所以
，解得
且
，
所以
.
综上，
.
解法二：不等式可化为
，即
，设
，
，
由题意，只须
，
，
当且仅当
即
时等号成立，则
，
所以
，即
.
（3）若对任意
，存在
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，
，对称轴
，
在
递减，在
递增，
，
，
，对称轴
，
①
即
时，
在
递增，
恒成立；
②
即
时，
在
递减，在
递增，
，
，所以
，故
；
③
即
时，
在
递减，
，
，
所以
，解得
，综上：
.
44
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19．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把
（其中
，
）称为一元n 次多
项式方程．代数基本定理：任何复系数一元
次多项式方程（即
，
，
，…，
为实数）在复数
集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元
次多项式方程在复数集内有且仅有n 个复数根
（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元
次多项式在复数集内一定可
以分解因式，转化为n 个一元一次多项式的积．即
，
其中k，
，
，
，
，……，
为方程
的根．进一
步可以推出：在实系数范围内（即
，
，
，…，
为实数），方程
的有实
数根，则多项式
必可分解因式．例如：观察可知，
是方程
的一个根，
则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
．
(1)解方程：
；
(2)设
，其中
，
，
，
，且
．
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时，
．
【答案】(1)
，
，
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【解析】（1）观察可知：
是方程
的一个根；
45
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所以
，
由待定系数法可知，
，解得
，
，
；
所以
，即
或
，
则方程的根为
，
，
．
（2）（i）由
可知，
是方程
的一个根；
所以
，
即
，
对照系数得
，
，
，
，
故
，
，
；
所以
．
（ii）令
，即
，
点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点，
等价于
是方程
的最小正实根；
由（i）知：
是方程
的一个正实根，
且
，
设
，由
，
，
，
可知
为开口向上的二次函数；
又因为
，则
一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又
，可得
，
46
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所以
；
当
时，
，
由二次函数单调性可知
，即
是方程
的最小正实根．
47
