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2.8 零点定理
1
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2
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考点一 零点
【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数
的零点是（ ）
A．2
B．
C．-2
D．2 或-1
【答案】A
【解析】由题意令
，因为
，所以
，即
.
故选：A.
【例1-2】（2023·广东茂名·一模）e 是自然对数的底数，
的零点为 .
【答案】
/
【解析】由
得
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
，取等号，
令
，
，
令
解得
；令
解得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，所以
，
所以要使
，只能
，
，所以
零点为
，故答案为:
.
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·模拟预测）函数
的零点为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，得
，则
．故选：A
3
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2．（2023·吉林·模拟预测）已知
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是函数
的一个零点，所以
，即
，故
，
则
．故选：D．
3．（2024·陕西西安·一模）函数
的零点为（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
【答案】C
【解析】由题意可得：
，解得
，故
的定义域为
，
令
，得
，则
，解得
或
，
又∵
，所以
．故选：C.
考点二 零点区间
【例2】（2023·河北·模拟预测）已知函数
有一个零点
，则
属于下列哪个区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知
在
上单调递增，
∵
，
，
，
又
，∴
，即在
上存在
使得
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·海南）函数
的零点所在的区间是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知函数
在
上单调递增，
又
，
，
由函数的零点存在定理可知，函数
的零点所在的一个区间是
．
故选：C
2．（2024 山东济南·期中）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
均为增函数，所以
为定义域上的增函数，
,根据零点存在定理,
零点在区间
内.故选：C
3．（2024·江西）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，
对A，
，
，故A 错误；
对B，
，由选项A 知
，所以
，故B 正确；
对C，
，由选项B 知，
，故C 错误；
对D，
，由选项C 知，
，故D 错误.
故选：B.
考点三 根据零点区间求参
5
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【例3】（2023·山西阳泉·三模）函数
在区间
存在零点．则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
在
上单调递增，
在
上单调递增，得函数
在
区间
上单调递增，
因为函数
在区间
存在零点，
所以
，即
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若函数
在区间
上存在零点，
由函数
在
的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
2．（2024 陕西汉中·期末）若函数
在区间
上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得
在区间
上恒成立，
所以函数
在区间
上为增函数，
所以
，
，
可得
.
故选：C.
3．（2024 浙江杭州）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知：函数
单调递增，若 一个零点在区间
内，则需：
，
即
，解得
，
故选：C.
考点四 零点的个数
【例4-1】（2024·重庆·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【解析】由题意可知：要研究函数
的零点个数，只需研究函数
，
的图像交点个数即
可.画出函数
，
的图像，
因为
时，
，
时，
，
时，
，
可知当
和
时，图像各有一个交点，
时，必有一个交点，
且交点为
，
及第二象限的点C.
2
2y
x
1
x
1
2
y
y
3
x
1
2
y
y
5
x
1
2
y
y
1
3
x
3
5
x
0
x
2,4
A
4,16
B
7
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故选：D
【例4-2】（2024·山西·模拟预测）方程
的实数根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】设
，
．在同一直角坐标系内画出
与
的大致图象，
当
时，
；当
时，
．
根据图象可得两个函数共有11 个交点．
故选：C．
【例4-3】（2024·全国·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
的
零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】依题意，作出函数
与
的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时
有两个零点；
8
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又函数
是定义域为
的奇函数，故当
时，
也有两个零点，
函数
是定义域为
的奇函数，所以
，即
也是函数
的1 个零点，
综上所述，
共有5 个零点．
故选：D．
【例4-4】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点个数
为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【解析】依题意，函数
零点的个数，即为方程
解的个数，
令
，则
，当
时，
，令
，
，
函数
在
上单调递增，于是函数
在
上单调递增，
又
，
，则存在
，使得
；
当
时，
，解得
或
，
作函数
的大致图象，如图：
又
，则
，
当
时，
，由
的图象知，方程
有两个解；
当
时，
，由
的图象知，方程
有两个解；
9
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当
，
时，
，由
的图象知，方程
有一个解，
综上所述，函数
的零点个数为5.
故选：B
【一隅三反】
1．（2024 海南海口·阶段练习）已知函数
，若b 是a 与c 的等比中项，则
的零点个数为
（ ）
A．0
B．0 或1
C．2
D．0 或1 或2
【答案】A
【解析】由b 是a 与c 的等比中项，得
，
，
方程
的判别式
，因此方程
无实根，
所以
的零点个数为0.故选：A
2．（2023·河南·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，因此函数
的零点即为函数
与
的图象交点横
坐标，在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象有唯一公共点，
所以函数
的零点个数为1.故选：B
3．（2024·四川雅安·一模）已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10
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【答案】C
【解析】
设
，设
，则
.
又
，所以1 是函数
的一个零点；
因为
，
，所以，
.
又
，
，所以，
.
根据零点的存在定理，可知，
，使得
，即
是函数
的一个零点；
因为
，
，所以，
.
又
，
，所以，
.
根据零点的存在定理，可知，
，使得
，即
是函数
的一个零点.
结合函数图象以及
的增长速度可知，当
或
时，函数
没有零点.
综上所述，函数
的零点为1，
，
，共3 个零点.故选：C.
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，对任意
，都有
，
当
时，
，则
在
上的零点个数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．21
【答案】D
【解析】因为
，令
，得到
，
11
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所以
，从而有
，又函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
，所以函数
的周期为
，
令
，则
，又当
时，
，
所以
，得到
，
故
，又
，所以
在
上的图像如图，
又当
时，由
，得到
，当
，由
，得到
，即
，
又
，所以
，
，
，
又由
，得到
，即
，
所以
，
再结合图像知，
在
上的零点个数为21 个，
故选：D.
5．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知方程
的解个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】易知
不是方程
的解，所以方程
等价于
，
构造函数
，
12
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，所以
在
上单调递增，
又
，所以方程
在区间
上有且仅有一个解，
，所以方程
在区间
上有且仅有一个解，
所以方程
的解的个数为
，即方程
的解个数为
.
故选：C.
考点五 根据零点个数求参
【例5-1】（2024·四川巴中·一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值集
合为（ ）
A．
B．
或
.
C．
D．
或
.
【答案】D
【解析】由函数
，
若
，可得
，令
，即
，解得
，符合题意；
若
，令
，即
，可得
，
当
时，即
，解得
，此时
，解得
，符合题意；
当
时，即
且
，则满足
，
解得
且
，
若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
13
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若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
综上可得，实数
的取值范围为
或
.
故选：D.
【例5-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
在
有且仅有两个零点，且
，则
图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
在
有且仅有两个零点，
得
，解得
，则
，
又
，而
，当
时，
，
，
由
，得
，当
时，
，
即函数
在
有3 个零点，不符合题意，
因此
是函数
图象的一条对称轴，即
，解得
，
当
时，
，当
时，
，均不符合题意；
当
时，
，得
，则
图象的对称轴为
.
故选：C
【例5-3】．（2024·辽宁·一模）已知函数
，若关于
的方程
有五个不等
的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
14
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【解析】由
，
当
时
，函数在
上单调递减，且
，
，当
时
，
当
时
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
可得
的大致图象如下所示：
令
，则
化为
，
当
时
无解，则
无解；
当
时
，解得
，由图可知
有两解，即
有两解；
当
时
有一解且
，又
有一个解，即
有一解；
当
时
有两个解，即
、
，
又
有一个解，
有两个解，所以
共有三个解；
当
时
有三个解，即
，
，
，
无解，
有三个解，
有两个解，
所以
共有五个解；
15
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当
时
有两个解，即
，
，
有三个解，
有两个解，
所以
共有五个解；
综上可得
的取值范围是
.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若存在m 使得关于x 的方程
有两不同的根，则
t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得函数
在
，
上为增函数，
当
时，
，当
时，
，
若存在m 使得关于x 的方程
有两不同的根，只需
，
解得
或
，所以t 的取值范围为
.
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．若
有5
个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
16
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C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知当
时，
，
令
可得：
；令
可得：
；，
故
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，且当
时，
，
当
趋近于负无穷时，
趋近于0；
当
时，
图象的对称轴为直线
，
．
故作出
的大致图象如图所示．
令
，数形结合可知要使
有5 个零点，
需使方程
有2 个不同的实数根
，
且
，
或
．
①若
，
，则
，不成立，舍去．
②若
，
，则
，解得
．
当
时，方程为
，解得
或
，不符合方程2 个根的取值范围，舍去．
故实数
的取值范围为
．
故选：A．
17
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3．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若函数
有两个不同的零点，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
当
时，
．
当
时
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
．
作出函数
的大致图象，如图所示，
由图象可知，
是函数
的零点，要使函数
有两个不同的零点，则方程
有两个不相等的实数根，等价于
有1 个非零实数根.
由图可知
或
或
，即
.
故选：C．
18
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4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，则
的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知函数
在区间
上有且仅有一个零点，
故函数的最小正周期
,
又
，则
，而
，
当
时，即
时，需有
，即
，此时
；
当
时，即
时，
，此时函数在
上无零点，不合题意；
当
时，即
时，需有
，即
，此时
；
当
时，即
时，
，此时函数在
上有一零点
，符合题意；
当
时，即
时，需有
，即
，此时
；
综合上述，得
的取值范围为
，
故答案为：
5．（2024 全国·模拟预测）已知函数
，若函数
仅有1 个零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】令
，则
，作出函数
的大致图象如图所示，
当
时，
，
观察可知，当
或
时，函数
的图象与直线
仅有一个交点，
∴实数
的取值范围为
.
19
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故答案为：
6．（2024·陕西西安·一模）
，若
有两个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】易知函数
在R 上增函数，函数
在
上减函数，
所以，当
时，
，当
时，
，
于是函数
的值域为
，
又函数
的在
上单调递增，在
上单调递减，
函数图象如图所示：
设
，由
可知，
，则
.
因为
有两个零点，所以
，即
，
于是
，则方程
，即
有两个零点，
所以，由
的图象可知，使方程
有两个零点，
20
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则满足
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
7（2024 广东珠海·阶段练习）已知函数
求使方程
的实数解个数为3 时
取值范
围 ．
【答案】
【解析】当
时，函数
在
是递减，函数值集合为
，
在
上递增，函数值集合为
，当
时，
是增函数，函数值集合为R，
方程
的实数解个数，即为函数
与直线
的交点个数，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，
观察图象，当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，
所以方程
的实数解个数为3 时
取值范围是
.
故答案为：
考点六 比较零点的大小
【例6】（2024·安徽）已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c 则a，
b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
21
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【答案】D
【解析】由
得
，
，
由
得
，由
得
.
在同一平面直角坐标系中画出
、
、
的图象，
由图象知
，
，
.
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，即
，
由题意可知：
为
与
的交点横坐标；
为
与
的交点横坐标；
为
与
的交点横坐标；
在同一平面直角坐标系中作出
的图象，
22
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由图可得：
.
故选：D.
2．（2024·江西·模拟预测）已知函数
，
，
的零点分别是a，
b，c，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知条件得
的零点可以看成
与
的交点的横坐标，
的零点可以看成
与
的交点的横坐标，
的零点可以看成
与
的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出
，
，
，
的函数图象，如下图所示,
可知
，
故选：
.
3．（2014·山东·一模）已知函数
，
，
的零点分别为
，
，
，
则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
23
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【解析】函数
，
，
的零点，即为
与
，
，
的交点，
作出
与
，
，
的图象，
如图所示，可知
故选：C
4．（2024·湖南）若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】做出函数
的图象，
根据图象可得，
.
故选：B.
考点七 零点之和
【例7-1】（2024 山东枣庄·期末）已知
，则
的零点之和为（ ）
24
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
则
，所以
，
即
，
所以
或
，
解得：
或
，
因为
，所以
，
或
，
所以
的零点之和为
，
故选：C.
【例7-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，则直线
与
的图象的所有
交点的横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，
令
，
，
则函数
的定义域为
，其最小正周期为
，
，
所以，函数
的图象关于点
对称，
函数
的定义域为
，
对任意的
，
，
25
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所以，函数
的图象也关于点
对称，
因为函数
、
在
上均为增函数，
则函数
在
上也为增函数，如下图所示：
由图可知，函数
、
的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点
对称，
因此，直线
与
的图象的所有交点的横坐标之和为
.
故选：C.
【例7-3】（2024·黑龙江佳木斯）已知函数
，则函数
的所有零点之和为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】
，
令
，则
，
令
，
因为
，
，
所以函数
得图象关于
对称，
26
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因为
，所以函数
在
上递增，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以函数
在
上增长得速度越来越快，
，
，
如图，作出函数
的图象，
由图可知，函数
的图象有三个交点，设这三个交点依次为
，
则
，
所以函数
有三个交点
，且
，
即函数
的所有零点之和为3.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·江西萍乡 ）已知函数
，则
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
时，由
得
，
时，由
得
或
，
27
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所以四个零点和为
．故选：D．
2．（2023·江西·模拟预测）函数
在区间
上的零点设为
…，
，
则
（ ）
A．6
B．18
C．12
D．16
【答案】B
【解析】由
得
，即
，
∵
与
均关于点
对称，
由图可知，两函数有个交点，不妨设为
，
根据对称性得
，
故函数
在
上所有零点之和为
．
故选B．
3 ．（2024· 四川自贡· 一模）定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
28
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，则函数
在
上所有零点的和为（ ）
A．16
B．32
C．36
D．48
【答案】A
【解析】依题意，
是定义在
上的奇函数，图象关于原点对称，
由于
，所以
的图象关于
对称，
，
所以
是周期为
的周期函数.
令
，得
，
函数
的图象关于
对称，
的图象也关于点
对称，
画出函数
和
的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有
个交点，且交点关于
对称，
所以
所有零点和为
.
故选：A
考点八 零点的取值范围
【例8-1】（2024 河北衡水）设方程
有两个不等的实根
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
29
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【解析】根据对数函数的定义域可知：
，不妨设
由
得
，则
①，
②，②-①得
，
故选D.
【例8-2】（2023·上海嘉定·三模）已知函数
，若满足
（
、
、互不相等），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象，如图所示：
不妨设
，
因为
，
由函数的性质得
，
，即
，
所以
，
故选：D
【例8-3】（2024·陕西西安·一模）已知函数
，若存在实数
30
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满足
，则错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
故
的图象如图所示，
考虑直线
与
图象的交点，
则
，且
，
，故BD 正确.
由
可得
即
，
整理得到
，故C 正确.
又
，
由
可得
，但
，故
，
故
，故A 错误.
故选：A.
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·湖南·阶段练习）设方程
的两根为
，
，则（ ）
A．
，
B．
31
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C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，由
得
，
如图画出函数
和
的图象，两个函数有2 个交点，
令
，则
，
，
，
由
，
得
，
，故A 错；
由
，得
，
由
，
，得
，
即
，所以
，故C 对，B 错，
由
，
，所以
，D 错误.
故选：C
2．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数
，函数
有三个不同的零
点
，
，
，则
的取值范围是（ ）
32
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出函数
的图象如图，
不妨设
，则
有三个不同的根，则
，
当
时，
，得
，则
，
当
时，
，
，则
，
设
（
），则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：C．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，若方程
有四个根
，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
当
时，
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合为
，
33
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当
时，
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合为
，
方程
的根是直线
与函数
图象交点的横坐标，
方程
有四个根
，即直线
与函数
图象有4 个交点，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
观察图象知，
，
，AD 正确；
显然
，而
，则
，即
，
，
，B 正确；
显然
，
，C 错误.
故选：C
4．（2024·四川南充·模拟预测）函数
的零点为
，函数
的零点为
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，
，
，
令
，则
，
又因为
与
互为反函数，
34
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所以
、
分别与
的的交点关于
对称，
所以
，即：
，
又因为
，
，
所以由零点存在性定理可知，
，
又因为
，即
，
所以
，
对于A 项，因为
，
，
所以
，故A 项错误；
对于B 项，因为
，所以
，
又因为
，
，
所以
，故B 项正确；
对于C 项，因为
，
，所以
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，
，
，
所以
，故D 项错误.
故选：B.
5．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，且
35
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，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
，
，
又函数
对称轴为
，
在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，
因为方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
即
与
有四个交点，所以
，
由图可知
，
又
，
关于
对称，即
，
又
，且
，
即
，则
，
所以
，则
；
所以
，
令
，
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，
即
．
36
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故选：D．
6．（2024·福建漳州）已知函数
，若函数
恰有5 个零
点
，且
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，此时，
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
可得
在
上单调递减且恒负，在
上单调递增且恒负，且
，
当
时，
，作出
的大致图象如图所示，
函数
恰有5 个零点
，
等价于方程
有5 个不同的实数根，
解得：
或
，
，该方程有5 个根，
且
，则
，
，
当
时，
，
37
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，故
，
所以
；
当
时，
，
，故
，
所以
，
综上：
的取值范围是：
.
故选：B.
考点九 二分法
【例9-1】（2024 山西）若
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【答案】C
【解析】根据二分法，结合表中数据，
38
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由于
所以方程
的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
【例9-2】（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
不是单调函数，
，不能用二分法求零点；
是单调函数，
，能用二分法求零点；
不是单调函数，
，不能用二分法求零点；
不是单调函数，
，不能用二分法求零点.
故选：B
【例9-3】（2024·黑龙江）用二分法求函数
的一个零点，根据参考数据，可得函数
的一
个零点的近似解（精确到
）为（参考数据：
）
A．2.4
B．2.5
C．2.6
D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024 山西·阶段练习）若
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如
下表：
39
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那么方程
的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【答案】C
【解析】根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程
的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
2．（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
不是单调函数，
，不能用二分法求零点；
是单调函数，
，能用二分法求零点；
不是单调函数，
，不能用二分法求零点；
不是单调函数，
，不能用二分法求零点.
故选：B
3．（2024·黑龙江哈尔滨）用二分法求函数
的一个零点，根据参考数据，可得函数
的一
个零点的近似解（精确到
）为（参考数据：
）
A．2.4
B．2.5
C．2.6
D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
40
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故选：C．
一．单选题
1．（2024 黑龙江）用二分法求函数
的一个零点，根据参考数据，可得函数
的一个零点
的近似解（精确到
）为（参考数据：
）
A．2.4
B．2.5
C．2.6
D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
2．（2024·广东·模拟预测）函数
在开区间
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：
，
，
令
，则
或
，
41
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即：
或
或
，
如图所示：
由图像可知，
函数
共8 个零点.
法二：因为
，
由
，得
，或
，
所以
，或
，即
，或
，
，
因为
，
所以
，或
共个零点.
故选：D
3．（2024 湖南长沙 ）函数
在区间
上所有零点的和等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】因为
，
42
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令
，则
，
则函数的零点就是函数
的图象和函数
的图象在
交点的横坐标，
可得
和
的函数图象都关于直线
对称，
则交点也关于直线
对称，画出两个函数的图象，如图所示.
观察图象可知，函数
的图象和函数
的图象在
上有8 个交点，
即
有8 个零点，且关于直线
对称，
故所有零点的和为
.
故选：D
4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设
，函数
的零点分别为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分别令
，
则
，
则
分别为函数
与函数
图象交点的横坐标，
分别作出函数
的图象，如图所示，
43
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由图可知，
.
故选：A.
5．（2024·河北·模拟预测）函数
在区间
内所有零点的和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，
由
，得
或
或
（不符合题意，舍去），
函数
是偶函数，在
上的所有零点关于数0 对称，它们的和为0，
正弦函数
的周期为
，方程
在
的两根和为
，
在
上的两根和为
，因此
在
上
的两根和构成首项为
，末项为
的等差数列，共有
项，所有根的和为
.
故选：B
6．（2024 湖南邵阳）已知函数
，若函数
有6 个不同的零点，且最
小的零点为
，则这6 个零点之和为（ ）
A．7
B．6
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
的图象，经过翻折变换，可得函数
的图象，
再经过向右平移1 个单位，可得
的图象，
44
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最终经过翻折变换，可得
的图象，如下图：
则函数
的图象关于直线
对称，
求函数
的零点，等价于解
，
由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则
或
，
，
根据函数
的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线
对称，
所以这6 个零点之和为
，
故选：B.
7．（2023·陕西安康·模拟预测）已知
，若函数
有两个不同的零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，令
，得
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
故当
时，
有最大值，
而
，
45
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由此可知当
时，
，当
时，
，
若函数
有两个不同的零点，
结合零点存在定理可知
的最大值
，
又
，所以
，所以
，
解得
，所以
，即
的取值范围是
.
故选：B.
8．（23-24 高一上·福建厦门·阶段练习）设函数
若关于
的方程
有四个实根
，则
的最小值为（ ）
A．
B．23
C．
D．24
【答案】B
【解析】做出函数
的图象如图所示，
由图可知，当
时，
的对称轴为
，
所以
，
若关于
的方程
有四个实根
，
46
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则
，
由
，可得
或
，
所以
，又因为
，
所以
，故
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B
二．多选题
9．（2024 云南玉溪）已知函数
的所有零点从小到大依次记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】令
，
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20 个交点，故
，则A 正确，B 错误；
又函数
的图象都关于
对称，则
，
故
，则C 正确，
错误，
故选：AC
47
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10．（2024·福建三明）已知函数
在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可
以为（ ）
A．－1
B．2
C．3
D．4
【答案】ABC
【解析】
，设
则在
上，
与
有相同的零点.
故函数
在区间
内没有零点,即
在区间
内没有零点
当
时，
在区间
上恒成立,则
在区间
上单调递增.
所以
，显然
在区间
内没有零点.
当
时, 令
，得
，令
，得
所以
在区间
上单调递减增.在区间
上单调递增.
所以
设
，则
所以
在
上单调递减,且
所以存在
，使得
要使得
在区间
内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的
的范围是
由选项可知：选项ABC 可使得
在区间
内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
48
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11．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数
，若函数
恰好有4 个不
同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当
时，
在
上单调递减，则
；
当
时，
在
上单调递增，则
；
若函数
恰好有4 个不同的零点，
令
，则
有两个零点，可得：
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，可得
；
可得
和
均有两个不同的实根，
即
与
、
均有两个交点，
不论与
的大小关系，则
，且
，解得
，
综上所述：实数的取值范围为
.
且
，故A、D 错误，B、C 正确.
故选：BC.
f x
f x
0,
y
f x
49
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三．填空题
12．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，则
．
【答案】2
【解析】由
，
得
，
函数
与
互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数
，
，
的图象，
如图所示，则
，
，由反函数性质知A，B 关于
对称，
则
，
.
故答案为：
.
13．（2024·陕西西安）函数
的所有零点之和为 .
【答案】
【解析】由
，可得
，令
，
可得函数
与
的图象都关于直线
的对称，
在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图所示，
由图象可得，函数
与
的图象有6 个公共点，
其横坐标依次为
，
这6 个点两两关于直线
的对称，所以
，
所以
，
50
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即函数
的所有零点之和为
.
故答案为：
.
14．（2024 湖南长沙·阶段练习）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】画出函数
的图象，如图所示：
方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
由
时，
，则
与
的中点横坐标为
，即：
，
当
时，由于
在
上是减函数，在
上是增函数，
又因为
，
，则
，有
，
51
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，又
，
，
在
上递增，故取值范围是
．
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024·陕西）已知函数
．
(1)求
及函数
的定义域；
(2)求函数
的零点．
【答案】(1)
，定义域为
(2)
【解析】（1）依题意
，
所以
，由
得
，
解得
，所以
的定义域为
.
（2）
，
则
，所以
的定义域为
，
令
得
，
所以
，
，则
.
16（2024 安徽）已知函数
.
(1)讨论
的单调性;
52
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(2)若关于
的方程
有三个不同的实根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
(2)
【解析】（1）当
时，由
单调递增，知
在
上单调递增；
当
时，有
，所以
在
上单调递增；
当
时，
是二次函数，最小值点是
，故
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象与直线
的图象，如图所示，
由图可知若关于
的方程
有三个不同的实根，
当且仅当
的取值范围是
.
17．（2024·湖南·二模）已函数
，其图象的对称中心为
.
(1)求
的值；
(2)判断函数
的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）因为函数
的图象关于点
中心对称，故
为奇函数，
从而有
，即
，
，
53
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，
所以
，解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
①当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有一个零点；
②当
时，
，
，
有两个正根，不妨设
，则
，
函数
在
单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有一个零点；
③当
时，
，
令
，解得
或
，
有两个零点；
④当
时，
，
，
有一个正根和一个负根，不妨设
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有三个零点；
54
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综上，当
时，函数
有三个零点；
当
时，函数
有两个零点；
当
时，函数
有一个零点.
18．（2024·安徽）已知函数
（其中
）为偶函数.
(1)求实数
的值；
(2)讨论函数
的零点情况.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）函数
是偶函数且定义域为
，
所以有
，
因为
，所以
；
（2）函数
的零点情况等价于
方程
的解的情况，
即
令
，则
①当
时，
，此时方程
无解；
②当
时，函数
开口向上，且恒过定点
，
则只有一解，此时方程
只有一解；
③当
时，函数
开口向下，且恒过定点
，
函数的对称轴
，此时方程
无解.
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综上，当
时函数
无零点，当
时函数
有一个零点.
19．（2024·河南）已知函数
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，且
，记
.
(1)求
的最小值；
(2)解关于
的不等式
；
(3)设
，若
的图象与
的图象有2 个交点，求
的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【解析】（1）由题意知，
，
由
，得
，即
，
两式相加，得
，所以
.
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
.
（2）因为
，所以
为偶函数，
因为
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
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由
，得
，
两边平方并整理得
，解得
，
故不等式
的解集为
.
（3）由题意知，方程
有2 个不同的实数解，
即方程
有2 个不同的实数解.
设
，则
，即
有2 个不同的正根.
，解得
，故
的取值范围为
.
57
