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进阶2 与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
分值：34 分
1.(17 分)已知双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)的离心率为√2.
(1)求此双曲线的渐近线方程；(7 分)
(2)若经过点P(0，-1)的直线与双曲线C 的右支交于不同的两点M，N，求线段MN 的垂直平分线l 在y 轴上
的截距t 的取值范围.(10 分)
2.(17 分)如图，已知椭圆E 的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0)，P，Q 为椭圆上的两个动点，△PQF2
周长的最大值为8.
(1)求椭圆E 的标准方程；(7 分)
(2)过F2作直线l 与椭圆E 交于不同的两点M，N，求△F1MN 面积取最大值时直线l 的方程.(10 分)
答案精析
1.解 (1)双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)的离心率为√2，
a=1，可得c=√2，所以b=1，
可得双曲线C：x2-y2=1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
(2)设经过点P 的直线方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组{
x
2- y
2=1,
y =kx -1,
消去y 得(1-k2)x2+2kx-2=0，
所以{
1-k
2≠0,
x1+ x2=- 2k
1-k
2 >0,
x1 x2=-2
1-k
2 >0,
Δ= 4 k
2+8(1-k
2)>0,
解得1<k<√2.所以线段MN 的中点坐标为(
-k
1-k
2 ，-1
1-k
2)，
所以线段MN 的垂直平分线方程为
y+
1
1-k
2=-1
k(x +
k
1-k
2)，
令x=0 得截距t=
2
k
2-1>2，
即线段MN 的垂直平分线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(2，+∞).
2.解 (1)由题意知椭圆E 的左焦点F1(-1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
图1
设椭圆E 的标准方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=2a-|PF1|+2a-|QF1|+|PQ|
=4a-(|PF1|+|QF1|-|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a=8，得a=2，
易知c=1，所以b=√a
2-c
2=√3，
所以椭圆E 的标准方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)如图2，可设直线l：x=my+1，M(x1，y1)，
图2
N(x2，y2)，
由{
x =my +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,
得(3m2+4)y2+6my-9=0，
Δ=144(m2+1)>0，
y1+y2=-6m
3m
2+ 4
，y1y2=-9
3m
2+ 4
，
S△F1 MN=1
2|F1F2||y1-y2|
=√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2=12√m
2+1
3m
2+ 4
，
令t=√m
2+1(t≥1)，
则S△F1 MN= 12t
3t
2+1=
12
3t + 1
t
，
由y=3t+1
t 在[1，+∞)上单调递增，
得S△F1 MN=
12
3t + 1
t
≤3，所以S△F1 MN的最大值为3，此时m=0，直线l 的方程为x=1.
