文档文本内容
第 05 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：变量分离法解决恒成立问题
高频考点二：变量分离法解决能成立（有解）问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离变量法在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a范围
核心知识点：将f (x,a)与0的大小关系转化成g(x)和h(a)的大小关系
① 恒成立
② 恒成立
③ 恒成立
④ 恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数a范围
核心知识点：
将f (x,a)=0转化成h(a)=g(x)，应用导数方法绘制g(x)函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要
用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东·执信中学高二期中）函数 ，若恒有 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）设 为正实数，函数 ，若 ， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·福建宁德·高二期末）已知 ， ，若存在 ， ，使得
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·崇化中学高二期中）已知函数 ， ， ，
，使不等式 成立，则 的取值范围是______.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：变量分离法解决恒成立问题
典型例题
例题1．（2022·广东东莞·高二期中）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范
围是（ ）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知函数 ，
，若 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数 ，当 时， ，则 的取
值范围为________.
例题4．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 的最大值．
题型归类练1．（2022·河南南阳·高二期末（理））已知不等式 对任意 恒成立，则实
数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高二期末）若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意的 ，都有 成立，求实数a的取值范围．
4．（2022·广东茂名·高二期末）已知函数 .
(1)求 的图象在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 对一切 恒成立，求m的取值范围．
6．（2022·广西北海·高二期末（理））已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.高频考点二：变量分离法解决能成立（有解）问题
典型例题
例题1．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二期中（文））已知 ，若∃ ，
使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数 与 满足：存在实数 ，使得
，则称函数 为 的“友导”函数．已知函数 为函数
的“友导”函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））已知函数 在点
处的切线为 ．
（1）求函数 的解析式：
（2）若存在实数 ，使得 在 时成立，求 取值范围．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时， 的极小值为
，当 时， 有极大值．
（1）求函数 ；
（2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．题型归类练
1．（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知存在 ，使得 成立，则
实数 的取值范围是__________．
3．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知函数 ，若 ，
则实数a的取值范围是___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常
数.
（1）试确定 的值；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 有解，求 的取值范围.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
