考点07 函数的单调性与最值4 类常见考点全归纳
1.借助函数
象
图
,会用数学符号
言表达函数的
性、最
语
单调
值,理解
意
实际
义.
2.掌握函数
性的
用
单调
简单应
.
考点一 确定函数的单调性
考向1 函数单调性的判断
考向2 利用定义证明函数的单调性
考点二 函数单调性的应用
考向1 比较函数值的大小
考向2 解不等式
考向3 求参数的值(范围)
考点三 函数的最值（值域）
考向1 求函数的最值
考向2 根据函数最值求参数
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递增,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时,我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,
区间I 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 是函数y＝f(x)的最大值
M 是函数y＝f(x)的最小值
3.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则
①f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I 上单调递增.
②f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I 上单调递减.
(2)y＝x＋1
x
的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1).
(3)在区间I 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
4.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.
考点一 确定函数的单调性
考向1 函数单调性的判断
【典例1】 (多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数y＝e－x－1
x
2 在(－∞,0)上单调递减
B.若f(x),g(x)都是R 上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R 上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]
D.函数f(x)＝2
−x
2＋2x＋3的单调递增区间为[1,＋∞)
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
【典例3】(2024·唐山模拟)函数f(x)＝log1
2
(2x2－3x－2)的单调递增区间为 .
【巩固训练】
1．（2025·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
2．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）函数
的减区间是
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
考向2 利用定义证明函数的单调性
【典例】试讨论函数f(x)＝ax
x
1
−
(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
【巩固训练】
1．（2025 高一·全国·专题练习）判断函数
的单调性并证明．
2．（2025 高一·广东汕头·期中）已知函数
.
(1)函数单调性的定义证明：函数
在
上单调递增；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
3．（25-26 高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在
上的函数
满足对任意的x，
，
，当
时，
，
.
(1)证明：
为奇函数.
(2)证明：
在
上是减函数.
(3)求不等式
的解集.
解题策略：
1、函数单调性的判断方法：
（1）定义法：在定义域内的某个区间
上任取
并使得
，通过作差比较
与
的大
小来判断单调性。
具体如下：设x1，x2 (
∈a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.
②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
（2）性质法：
①当常数c>0 时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0 时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，
特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
若
③
c 为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c 的单调性相同.
④若函数
为增函数，
为增函数，
为减函数，
为减函数，则有
1）
为增函数，2）
为增函数，3）
为减函数，4）
为减函
数。
若
⑤
f(x)>0 且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0 且g(x)<0，f(x)
与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
奇
⑥
(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的
单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连
续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（4）复合函数法：对于函数
，可设内层函数为
，外层函数为
，可
以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则
函数
在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数
在区间D 上单调递减.
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
随着
的增大而增
大
随着
的增大而增
大
随着
的增大而
减小
随着
的增大而
减小
增函数
增函数
减函数
减函数
（5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)
＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.
考点二 函数单调性的应用
考向1 比较函数值的大小
【典例1】定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2 (∈－∞,0](x1≠x2),有f(x1)−f(x2)
x1−x2
<0,则( )
A.f(－2)<f(3)<f(4)
B.f(－2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(－2)
D.f(4)<f(－2)<f(3)
【典例2】（2024·天津南开·高三统考阶段练习）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数
( 为自然对数的底
数)，若
，
，
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
解题策略：
比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
【巩固训练】
1．（25-26 高三·北京·阶段练习）设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三·河北·开学考试）已知函数
，则
的大小关系为(参考数据∶
) （ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高二·陕西汉中·阶段练习）设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
考向2 解不等式
【典例1】（2024·安徽阜阳·高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数
是定义域为
的
减函数，若
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x 的取值范围是(
)
A.(－1,0)
B.(－1,＋∞)
C.(－1,1)
D.(1,＋∞)
【典例3】（2024·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在
的函数
满足：对
，
，且
，
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】（2024·山东菏泽·高三统考期末）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
或
C．
D．
解题策略：
求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为R，且
，
在
上单
调递减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数a
满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高二·浙江温州·期末）已知一函数
，其定义域为
，则满足不等式
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向3 求参数的值(范围)
【典例1】若函数f(x)＝x＋a
3
−
x
1
−
在(a,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 .
【典例2】（2024·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数
在
上
是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
是单调递增函数，则实数
的取值范围是______．
【典例4】（2024·湖北·高三校联考期中）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5】(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝{
−x
2
2
−ax−a,x<0,
e
x＋ln(x＋1),x≥0
在R 上单调递增,则a 的取值范
围是( )
A.(－∞,0]
B.[－1,0]
C.[－1,1]
D.[0,＋∞)
解题策略：
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的
升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）“
”是“函数
在区间
上单调递减”的
（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025 高二·黑龙江大庆·期末）已知函数
，对任意的
，且
，
都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 函数的最值（值域）
考向1 求函数的最值
【典例1】 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x [0
∈
，3)时，函数y＝x2－2x＋3 的值域为[2，6)
B.函数y＝2x＋1
x
3
−
的值域为R
C.函数y＝2x－❑√x
1
−的值域为[
15
8 ，＋∞)
D.函数y＝❑√x＋1＋❑√x
1
−的值域为[❑√2，＋∞)
解题策略:
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的
形式.
【巩固训练】
1．（25-26 高一·全国·单元测试）已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
2．（2025 高二·辽宁沈阳·期末）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．4
C．
D．
3．（2025 高三·湖南永州·开学考试）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
考向2 根据函数最值求参数
【典例1】【多选】（2024·高一课时练习）已知
在区间
上的最小值为
，则
可
能的取值为（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数
若
存在最小值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题策略:
解决这类问题的本质是“通过函数最值的定量条件，反向推导参数的取值或范围”，核心流程可概括为四
步：
定性质：明确函数的定义域（是否含参数限制）、函数类型（如二次函数、分式函数），判断函数的单调
性、奇偶性等性质，确定求最值的方法（如配方法、导数法、基本不等式法）；
求最值：根据函数类型，用含参数的表达式表示出函数的最值（注意区分“最大值”“最小值”，以及最
值是否在定义域内取得）；
建关系：根据题目给出的“最值等于某值”或“最值满足某不等式”，建立关于参数的方程或不等式；验
结果：求解参数后，需代入原函数验证：①最值是否符合题意（如二次函数在闭区间上的最值是否在端点
或顶点处取得）；②参数是否使定义域有效（如分式分母不为0、对数真数大于0）。
【巩固训练】
1．（2025 高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数
在区间
上的最大值为3，则实数
（ ）
A．
B．1
C．3
D．
2．（2025 高一·全国·课后作业）已知函数
在闭区间
上有最大值3，最小值2，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高二·北京大兴·期末）若函数
在区间
上有最大值，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 .
(1)
;
(2)
;
(3)
在区间
上有最大值,而且
是最大值;
(4)
与
的大小关系不确定;
(5)
在区间
上有最小值;
(6)
在区间
上的最小值是
.
2．判断下列说法是否正确，对的填“正确”，错的填“错误”.
（1）若定义在
上的函数
满足
，则函数
是
上的增函数；
（2）若定义在
上的函数
满足
，则函数
在
上不是减函数；
（3）若定义在
上的函数
在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，则函数
在
上是增函数；
（4）若定义在
上的函数
在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，则函数
在
上是增函数.
3．若
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ．
4．已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围为 .
5．已知函数f(x)＝
，若f(x)是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 .
6．函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是 .
7．证明函数
在区间
上单调递增.
8．已知函数
，求函数在区间
上的最大值和最小值.
9．已知函数
，
.
（1）求
、
的单调区间；
（2）求
、
的最小值.
10．（1）根据函数单调性的定义证明函数
在区间
上单调递增.
（2）讨论函数
在区间
上的单调性.
（3）讨论函数
在区间
上的单调性.
11．设函数
的定义域为I，区间
，记
.证明：
（1）函数
在区间D 上单调递增的充要条件是：
，都有
；
（2）函数
在区间D 上单调递减的充要条件是：
，都有
.
12．求
的单调区间,并求这个函数的最值.
13．画出函数
的图象，并根据图象写出
的单调区间.
14．求函数
在
上的最大值和最小值.
15．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
.
16．证明：函数
在区间
上是增函数.
17．讨论函数f(x)＝
在(－2，＋∞)上的单调性.
18．求下列函数的最大值和最小值：
（1）
，
；
（2）
，
．
19．求下列函数的最小值：
（1）
（2）
，
．
20．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
21．已知函数
在区间
上具有单调性，求实数a 的取值范围.
22．若函数
在区间
上单调递减，求实数
的取值范围．
