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专题01 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
题型一： 导数的概念.......................................................................................................................3
题型二： 导数的运算.......................................................................................................................5
题型三： 导数的几何意义——求切线方程..................................................................................8
题型四： 导数的几何意义——求切点坐标................................................................................12
题型五： 导数的几何意义——求参数的值................................................................................14
题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数................................................................16
题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线................................................................18
题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围................................................................20
知识点一、导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称
y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化
率)，记作f ′( x 0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝lim ＝lim .
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x0 处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点
P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f
′( x 0)．相应的切线方程为y －
y 0＝
f ′( x 0)( x －
x 0)．
(3)导函数的概念：当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x 变化时，y＝f ′(x)就
是x 的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即
f ′(x)＝y′＝lim .
知识点二、导数的运算
知识点总结
1
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(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f (x)＝c(c 为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f ′(x)＝αx
α － 1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x
f ′(x)＝－
si n _x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝a x l n _a
f (x)＝ex
f ′(x)＝e x
f (x)＝logax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝
f (x)＝ln x
f ′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
运算法则
和差
[f (x)±g(x)]′＝f ′( x )±
g ′( x )
积
[f (x)g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g ′( x ) ，
特别地，[cf (x)]′＝cf
′( x )
商
′＝
(g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y 可以表示成x 的函数，
那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f ( g ( x )) ．它的导数与函数y
2
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＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y ′ x＝
y ′ u· u ′ x.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的
导数的乘积．
题型一：导数的概念
【要点讲解】 求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数
,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|
f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【例1】（2023 春•儋州校级月考）已知函数
，则
A．3
B．5
C．7
D．6
【解答】解：根据题意，
，则
（3）
，又
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•民勤县校级月考）已知
，则
A．
B．
C．1
D．4
【解答】解：因为
，
所以
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•江西月考）若
，则
例题精讲
3
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A．1
B．2
C．
D．
【解答】解：
，
则
，解得
．
故选：
．
【例2】（2023 春•青岛期中）质点
按规律
做直线运动（位移单位：
，
时间单位：
，则质点
在
时的瞬时速度为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
则
，
故
（5）
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•江西月考）已知函数
，当自变量
由1 变到1.1 时，
的平均变化率为
A．1
B．1.1
C．2
D．2.1
【解答】解：由题意得
，故△
（1）
，
故
，
即当自变量
由1 变到1.1 时，
的平均变化率为2.1．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•驻马店月考）已知某质点的位移
与时间
的关系式是
，则质点在
时的瞬时速度为
A．
B．
C．
D．
4
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【解答】解：因为质点的位移
与时间
的关系式是
，
所以
，
故质点在
时的瞬时速度为
．
故选：
．
题型二：导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
【例3】（2023 春•天祝县校级月考）函数
的导函数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
选项，
，故
错误；
对于
选项，
，故
正确；
5
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对于
选项，
，故
错误；
对于
选项，
，故
错误．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•高新区校级月考）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
则
．
故选：
．
【例4】（2023 春•深圳校级月考）已知函数
（2），其中
是
的导函数，则
（2）
A．12
B．20
C．10
D．24
【解答】解：
（2），
则
，
令
，
则
（2）
，
故
，
（2）
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•葫芦岛月考）已知函数
（1）
，则
（1）
6
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A．
B．4
C．
D．2
【解答】解：
，所以
（1）
（1），解得
（1）
，
则
，故
（1）
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•濮阳期末）已知函数
，则
（2）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，函数定义域为
，
可得
，
则
（2）
．
故选：
．
【例5】（2023 春•河池月考）已知
，若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
令
，即
，所以
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•梅河口市校级月考）设
，若
，则
A．1
B．
C．3
D．
【解答】解：
，
，解得：
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•定远县校级期中）设
，若
在
处的导数
7
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，则
的值为
A．0
B．
C．3
D．6
【解答】解：
，
，解得
．
故选：
．
题型三：导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P 的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
【例6】（2023 春•武功县期中）函数
的图象如图所示，则下列关系正确的是
A．
（2）
（3）
（3）
（2）
B．
（2）
（3）
（2）
（3）
C．
（3）
（3）
（2）
（2）
D．
（3）
（2）
（3）
（2）
8
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【解答】解：由函数
的图象可知：
当
时，
单调递增，且当
时，
，
（2），
（3），
（3）
（2）
，
由此可知
，
直线的斜率逐渐减小，
单调递减，
（2）
（3），
为凸函数，
（3）
（2）
（2），
（3）
（3）
（2）
（2），
故选：
．
【变式训练1】（2023•麒麟区校级模拟）已知函数
与
的部分图象如图所示，则
A．
B．
C．
（3）
（3）
D．
（3）
（3）
【解答】解：根据题意，由函数的图象，
9
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函数
与
在区间
，
上单调递增，则有
，
，
、
错误；
在
处，
和
都是增函数，但
的图象更陡，则
的切线斜率小于
的切线斜率，即
（3）
（3），
错误，
正确．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•通州区期中）已知函数
的图象如图所示，则下列结论正确的
是
A．
（3）
（2）
（1）
B．
（1）
（2）
（3）
C．
（1）
（2）
（3）
D．
（3）
（2）
（1）
【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故
（3）
（2）
（1）．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•恩阳区 期中）
的图象如图所示，下列数值的排序正确
的是
10
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A．
（2）
（3）
（3）
（2）B．
（3）
（3）
（2）
（2）
C．
（3）
（2）
（3）
（2）D．
（3）
（2）
（3）
（2）
【解答】解：设
，
（2），
，
（3）为
的图象上两点，
则
（3）为函数
在
处切线的斜率，
（2）为函数
在
处切线的斜率，
，
函数
为增函数，但增加的越来越慢，
则
（3）
（3）
（2）
（2）．
故选：
．
【例7】（2022 秋•衡水月考）已知函数
，则曲线
在点
，
11
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（1）处的切线方程为
．
【解答】解：
，
，
（1）
，
（1）
，
曲线
在点
处的切线方程为：
，即
，
故答案为：
．
【变式训练1】（2022•辽宁三模）已知函数
的图象经过坐标原点，则曲
线
在点
，
处的切线方程是
．
【解答】解：
，
，
，
，
，
所求切线方程为
，即
．
故答案为：
．
【变式训练2】（2021 春•昌邑市校级月考）曲线
，在点
处的切线方程为
．
【解答】解：由
，
则
，
所以
，
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所以在点
处的切线方程为
，
即
，
故答案为：
．
【变式训练3】（2021 春•石首市校级月考）已知曲线
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求过点
并与曲线
相切的直线方程．
【解答】解：（1）
当
时，
点
处的切线方程为：
即：
（2）设切点坐标为
则直线斜率
，
而
，
整理得到：
解得
，
，
当
时：
，直线方程为
；
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当
时，
，直线方程为
当
时，
，直线方程为
题型四：导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从
而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方
程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
【例8】（2023 春•海淀区校级期中）若曲线
的一条切线的斜率为4，则切点的横坐
标为
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：设切点的横坐标为
，
则由题意可得：
．
故选：
．
【变式训练1】（2021 秋•开封期末）如图，函数的图象在
点处的切线方程是
，
若点
的横坐标是5，则
（5）
（5）
A．
B．1
C．2
D．0
【解答】解：
函数
的图象在点
处的切线方程是
，
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（5）
，
（5）
，
（5）
（5）
，
故选：
．
【变式训练2】（2020•沈阳三模）过点
作曲线
的切线，则切点坐
标为
．
【解答】解：因为
，
所以
，设切点为
，
，
，根据题意可得
，
，
即切点坐标
．
故答案为：
．
【变式训练3】（2023•鹰潭一模）已知曲线
在点
，
处的瞬时变化率
为
，则点
的坐标为
．
【解答】解：
，
，
令
，则
，
，
点
的坐标是
，
故答案为：
．
题型五：导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法
15
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利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不
等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
【例9】（2023 春•扬中市校级月考）点
在曲线
上移动，设点
处切线
的倾斜角为
，则角
的范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，则
，且
，
，
角
的范围是：
．
故选：
．
【变式训练1】（2022•呼和浩特模拟）若过点
可以作三条直线与曲线
相
切，则
的取值范围是
A．
，
B．
C．
D．
【解答】解：设切点为
，
，过点
的切线方程为
，
代入点
坐标化简为
，即这个方程有三个不等根即可，
令
，
求导得到
，
令
，得
，或
，
令
，得
，
16
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函数在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，
故得到
，即
故选：
．
【变式训练2】（2021 春•临渭区期末）设点
是曲线
上的任意一点，点
处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是
A．
B．
，
，
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
故选：
．
【变式训练3】（2022•新高考Ⅰ）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则
的取
值范围是
，
，
．
【解答】解：
，设切点坐标为
，
，
切线的斜率
，
切线方程为
，
又
切线过原点，
，
整理得：
，
切线存在两条，
方程有两个不等实根，
17
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△
，解得
或
，
即
的取值范围是
，
，
，
故答案为：
，
，
．
【变式训练4】若曲线
为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则
值可以是
A．
B．
C．0
D．1
【解答】解：
，设切点坐标为
，
，
切线的斜率
，
切线方程为
，
又
切线过原点，
，
整理得：
，
切线存在两条，
方程有两个不等实根，
△
，解得
或
，
即
的取值范围是
，
，
，所以
正确；
故选：
．
题型六：公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k 等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
18
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【例10】（2023•广东模拟）曲线
与
的公共切线的条数为
2
．
【解答】解：设曲线
上的切点为
，则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
由
得
，
则
，
所以
，
所以曲线
上的切点为
，
，
所以切线方程为
，
所以
，
所以
，
在同一坐标系中作出曲线
和
的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
【变式训练1】（2023 秋•镇江期末）曲线
与曲线
公切线（切线相同）
的条数为
1
．
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【解答】解：设与曲线
和曲线
相切的切点分别为
，
，
则
，
，
，
由
，
，
即有
，
即
，
，
即为
，
，
令
，则有
，
令
，
，
递增，
（2）
，
（3）
，
由零点存在定理可得
有且只有一个实根，
即有
唯一，
唯一，
则有公切线的条数为1．
故答案为：1．
题型七：公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
【例11】（2023 秋• 岳阳楼区校级月考）已知
为自然对数的底数），
，直线是
与
的公切线，则直线的方程为
或
．
【解答】解：根据题意，设直线
与
相切于点
，与
相切于点
20
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，
对于
，其导数为
，
则有
，
则直线的方程为
，即
，
对于
，其导数为
，
则有
，
则直线的方程为
，即
，
直线是
与
的公切线，
则
，
变形可得：
，
则
或0，
当
时，直线的方程为
，
当
时，直线的方程为
；
故直线的方程为
或
；
故答案为：
或
．
【变式训练1】（2023 春•涪城区校级期中）若
与
两个函数的图
象有一条与直线
平行的公共切线，则
0
．
【解答】解：
，
，
如图所示，设公切线与
相切于
，
，与
相切于
，
，则有以下关系：
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，求得
，
故公切线方程为
，所以
，
即
，
．
故答案为：0．
【变式训练2】（2020 春•丽江期末）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
．
【解答】解：根据题意，设
与
的切点为
，
，
与
的切点为
，
；
对于
，其导数
，则切线的斜率
，
切线的方程为
，即
；
对于
，其导数
，
则切线的斜率
，
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切线的方程为
，
即
；
又由直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
则有
，且
；
若
，则
，
则
；解可得
，
；
则
；
故答案为：
．
题型八：公切线问题的求法——求参数的值或范围
【例12】（2023 春•靖江市校级月考）已知曲线
与曲线
存在公共切线，则
实数
的取值范围为
，
．
【解答】解：由
，得
，由
，得
，
设直线分别与
、
切于
，
、
，
，
则直线的方程为
，
，
即
，
．
23
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，可得
．
令
，则
，
则当
时，
，
单调递增，
当
，
时，
，
单调递减．
．
又当
时，
，当
时，
，
，
，可得
，
．
故答案为：
，
．
【变式训练1】（2023•唐山三模）已知曲线
与
有公共切线，则实数
的取值范围为
．
【解答】解：设公切线与曲线
和
的切点分别为
，
，
，其中
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
对于
有
，则
上的切线方程为
，即
，
24
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所以
，有
，即
，
令
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，故
，即
．
正实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式训练2】（2022 秋•安徽月考）若函数
与
的图象存在公共
切线，则实数
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得，
，
．
设公切线与
的图象切于点
，
与
的图象切于点
，
，
，
，
25
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，
，
．
设
，则
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
实数
的最大值为
，
故选：
．
【变式训练3】（2022 秋•淅川县校级月考）若函数
与
的图象存
在公共切线，则实数
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，
，得
，
，
设公切线与
的图象切于点
，与曲线
切于点
，
，
，得
，
，可得
，
，
，
26
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设
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递
减，
，可得实数
的最大值为
．
故选：
．
一．选择题（共6 小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为
．假设
“绿巨人”开出站一段时间内，速度
与行驶时间
的关系为
，则出
站后“绿巨人”速度首次达到
时加速度为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当
时，由
，解得
或
（舍去），
因为
，则
，
当
时，
，
故选：
．
2．一质点做直线运动，其位移
与时间的关系为
，设其在
，
内的平均
速度为
，在
时的瞬时速度为
，则
A．
B．
C．
D．
课后练习
27
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【解答】解：由题意可知
，
，
，
，
故选：
．
3．若函数
在
处的导数为2，则
A．2
B．1
C．
D．6
【解答】解：由题意可知
（1）
，
则
（1）
．
故选：
．
4．已知函数
，当自变量
由1 变到1.1 时，
的平均变化率为
A．1
B．1.1
C．2
D．2.1
【解答】解：由题意得
，故△
（1）
，
故
，
即当自变量
由1 变到1.1 时，
的平均变化率为2.1．
故选：
．
5．已知函数
的部分图象如图所示，且
是
的导函数，则
28
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A．
（1）
（2）
B．
（2）
（1）
C．
（2）
（1）
D．
（2）
（1）
【解答】解：由函数图象可知，当
时，函数
匀速递增，
故
是一个大于0 的常数，
当
时，函数
递减，且递减幅度越来越快，
，且
单调递减，
则
（2）
（1）
，
故选：
．
6 ．一个质点
沿直线运动，位移
（单位：
与时间
（单位：
之间的关系
，则质点
在
时的瞬时速度为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
质点
在
时的瞬时速度为
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0 到
范围内路程的变化情况，下列说法正确的是
29
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A．在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在
时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0 到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解答】解：在0 到
范围内，甲、乙的平均速度都为
，故选项
错误；
在
时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故选项
错误；
在
到
范围内，
，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项
正确；
在0 到
范围内，甲的平均速度为
，乙的平均速度为
，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项
正确．
故选：
．
8．在
附近，取△
，下列函数中平均变化率为负数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，平均变化率为1，故
错误；
对于
，平均变化率为
，故
错误；
对于
，平均变化率为
，故
正确；
30
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对于
，平均变化率为
，故
正确．
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深
，上口宽
，若以
的匀速往杯中注水，当水深为
时，酒杯中水升高的瞬时变化率
．
【解答】解：由题意，如图，设时刻水面高为
，水面圆半径是
，
由图知
可得
，此时水的体积为
，
又由题设条件知，此时的水量为
，
故有
，
故有
，
，
又当
时，此时
，
故
时，
，
当水深为
时，水升高的瞬时变化率
，
故答案为：
．
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10．函数
在
，
处的切线与直线
垂直，则实数
的值
为
．
【解答】解：
，
，
在
，
处的切线斜率为3，直线
的斜率为
，
在
，
处的切线与直线
垂直，
，解得
．
故答案为：
．
11．曲线
的一条切线经过点
，则该切线的斜率为
．
【解答】解：因为
，
所以
，
设切点为
，
则
，所以
，解得
，
所以
，即切线的斜率为
．
故答案为：
．
12．2022 年2 月，第24 届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9 金4
银2 铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次
32
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滑雪训练中滑行的路程（单位：
与时间（单位：
之间的关系为
，则
当
时，该运动员的滑雪瞬时速度为
13.5
．
【解答】解：
，
，
则当
时，该运动员的滑雪瞬时速度为
，
故答案为：13.5．
四．解答题（共3 小题）
13．已知质点按照规律
（距离单位：
，时间单位：
运动，求：
（1）质点开始运动后
内的平均速度；
（2）质点在
到
内的平均速度；
（3）质点在
时的瞬时速度．
【解答】解：（1）
时，
，
所以平均速度
；
（2）
时，
，
所以
到
内的平均速度
；
（3）因为
，
所以在
时的瞬时速度为：
．
14．求函数
在区间
，
上的平均变化率．
【解答】解：函数
在区间
，
上的平均变化率
．
33
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