文档文本内容
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际
问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0 时就不是二次函数了，
但b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
；②
；③
；④
，
其中
；⑤
.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
第1页 共9页
当
时
开口向上
当
时
开口向下
(
轴)
(0，0)
(
轴)
(0，
)
(
，0)
(
，
)
(
)
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)
的符号决定抛物线的开口方向：当
时，开口向上；当
时，开口向下；
相等，抛物线
的开口大小、形状相同.
(2)平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地，
轴记作直线
.
3.抛物线
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
≠
中，, ,
a b c 的作用：
(1)
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
，
故：①
时，对称轴为
轴；②
(即
、同号)时，对称轴在
轴左侧；③
(即
、
异号)时，对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0，
)：
①
，抛物线经过原点； ②
，与
轴交于正半轴；③
，与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：
（a≠0）.已知图象上三点或三对
、
的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：
（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成
的图象平移后所对应的函数.)
第2页 共9页
(3)“交点式”：已知图象与
轴的交点坐标
、
，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
).
要点诠释：
求抛物线
2
y
ax
bx
c
（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这
三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一元
二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元
二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的
公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题
第3页 共9页
时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过原点及点
1
1
,
2
4
，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则
该二次函数的解析式为____ ____．
【答案】
2
1
1
3
3
y
x
x
或
2
y
x
x
．
【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．
由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．
因此所求抛物线的解析式有两种．
设二次函数解析式为
2
y
ax
bx
c
．
则有
0,
1
1
1
4
4
2
0
c
a
b
c
a
b
c
，或
0,
1
1
1
,
4
4
2
0,
c
a
b
c
a
b
c
解之
1
3
1
3
0
a
b
c
，或
1,
1,
0.
a
b
c
因此所求二次函数解析式为
2
1
1
3
3
y
x
x
或
2
y
x
x
．
【点评] 此题容易出错漏解的错误．
举一反三：
【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.
求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.
【答案】∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
第4页 共9页
b
b=-2
1
2
c=-3
1 b
c
0
∴y=x2-2x-3 为所求,
∵x=1 时y=-4 ∴M(1，-4)
∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
b
b=-2
1
2
c=-3
1 b
c
0
∴y=x2-2x-3 为所求,
∵x=1 时y=-4 ，
∴M(1，-4).
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图1 所示，反比例函数
a
y
x
与正比例函数y＝(b+c)x
在同一坐标系中的大致图象可能是( )．
【答案】B；
【解析】由
2
y
ax
bx
c
的图象开口向上得a＞0，又
0
2
b
a
，∴ b＜0．
由抛物线与y 轴负半轴相交得c＜0．
∵ a＞0，∴
a
y
x
的图象在第一、三象限．
∵ b+c＜0，∴ y＝(b+c)x 的图象在第二、四象限．
同时满足
a
y
x
和
(
)
y
b
c x
图象的只有B．
【点评】由图1 得到a、b、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.
类型三、数形结合
第5页 共9页
3．如图所示是二次函数
2
y
ax
bx
c
图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x 轴一
交点为(3，0)，则由图象可知，不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是________．
【思路点拨】
根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，
观察图象可得不等式
的解集.
【答案】x＞3 或x＜-1；
【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观
察图象可知，不等式
2
0
ax
bx
c
的解集就是
2
y
ax
bx
c
函数值，y＞0 时，x 的取值范
围．当x＞3 或x＜-1 时，y＞0，因此不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为x＞3 或x＜-1．
【点评】弄清
2
0
ax
bx
c
与
2
y
ax
bx
c
的关系，利用数形结合在图象上找出不等式
2
0
ax
bx
c
的解集．
类型四、函数与方程
4．已知抛物线
c
x
x
y
2
2
1
与x 轴没有交点．
①求c 的取值范围； ②试确定直线
1
cx
y
经过的象限，并说明理由．
【答案与解析】
（1）∵抛物线与x 轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c＜0，解得c＞1
2
(2)∵c＞1
2 ，∴直线y= 1
2 x＋1 随x 的增大而增大，
∵b=1，∴直线y= 1
2 x＋1 经过第一、二、三象限.
【点评】抛物线
c
x
x
y
2
2
1
与x 轴没有交点，⊿＜0，可求c 的取值范围.
举一反三：
第6页 共9页
【变式1】无论x 为何实数，二次函数
的图象永远在x 轴的下方的条件是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】二次函数
的图象与x 轴无交点，则说明y=0 时，方程
无解，
即
．又图象永远在x 轴下方，则
． 答案：B
【变式2】对于二次函数
，我们把使函数值等于0 的实数x 叫做这个函数的零点，
则二次函数
(m 为实数)的零点的个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
【答案】当y=0 时，
，
，
即二次函数
的零点个数是2．
故选B.
类型五、分类讨论
5．已知点A(1，1)在二次函数
2
2
y
x
ax
b
的图象上．
(1)用含a 的代数式表示b；
(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
【思路点拨】
(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b2-4ac＝0 求出a．
【答案与解析】
(1)因为点A(1，1)在二次函数
2
2
y
x
ax
b
的图象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a．
(2)根据题意，方程
2
2
0
x
ax
b
有两个相等的实数根，所以
2
2
4
4
4
8
0
a
b
a
a
，
第7页 共9页
解得a＝0 或a＝2．
当a＝0 时，y＝x2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．
当a＝2 时，
2
2
4
4
(
2)
y
x
x
x
，
这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．
所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．
【点评】二次函数
2
y
ax
b
c
(
0)
a
的图象与x 轴只有一个交点时，方程
2
0
ax
bx
c
有两个相
等的实数根，所以
2
4
0
b
ac
△
．
类型六、二次函数与实际问题
6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户
实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额
x(元)之间大致满足图1 所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增大，但每台
彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足图2 所示的一次函数关系．
(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?
(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x
之间的函数关系式；
(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少?并求出总收益ω
的最大值．
【思路点拨】
(2)依题意设y＝k1x+800，z＝k2x+200．分别将(400，1200)和(200，160)代入两式求出k1、k2；
(3)由题意ω＝yz．
【答案与解析】
(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为800×200＝160 000(元)．
(2)依题意可设y＝k1x+800，z＝k2x+200，则有 400k1+800＝1200，200k2+200＝160，
解得k1＝1，
2
1
5
k
，所以y＝x+800，
1
200
5
z
x
．
(3)
2
1
1
(
800)
200
(
100)
162000
5
5
yz
x
x
x
．
政府应将每台补贴款额x 定为100 元，总收益有最大值，其最大值为162000 元．
【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式．
第8页 共9页
第9页 共9页
