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相似三角形判定定理的证明(基础)
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.
【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交
AC 于点E,则
∠ADE=∠B，∠AED=∠C,
过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE 是平行四边形.
∴DE=CF.
∴AE:AC=DE:CB
∴
.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化
时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
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已知，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′,
,求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交
AC 于点E,则
∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
.
∵
,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两
组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.
要点三、三边成比例的两个三角形相似
已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
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证明：在△ABC 的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.
∵
，AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又
，AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、在△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，求证：△ADE∽△ABC．
【思路点拨】由BD⊥AC ，CE⊥AB 得到∠AEC=∠ADB=90° ，利用∠EAC=∠DAB 可判断
△AEC∽△ADB，则
=
，利用比例性质得
=
，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判
定方法即可得到结论．
【答案与解析】
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
而∠EAC=∠DAB，
∴△AEC∽△ADB，
∴
=
，
∴
=
，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
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【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对
应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．
举一反三
【变式】如图，△ABC 是等边三角形，点D，E 分别在BC、AC 上，且∠ADE=60°，求证：
BD•CD=AC•CE.
【答案】
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴
，
∴BD•CD=AB•CE，
即BD•CD=AC•CE；
2、已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点H 在AC 上，且线段HD⊥AB 于D，BC 的延长线与DH
的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．
【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，
∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．
【答案与解析】
证明：∵HD⊥AB 于D，
∴∠ADH=90°，
∴∠A+∠AHD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠E+∠AHD=90°，
∴∠A=∠E，
∵∠ADH=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△EBD．
【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两
组角对应相等的两个三角形相似．
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类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是边AD、CD 上的点，
，连接EF 并
延长交BC 的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．
【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得
，根据有两边对应
成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得BG 的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵ABCD 为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴
，
∵DF= DC，
∴
，
∴
，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD 为正方形，
∴ED∥BG，
∴
，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形
的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
举一反三
【变式】如图，锐角三角形ABC 中，CD，BE 分别是AB，AC 边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E 连接起来，则△AED 与△ABC 能相似吗？说说你的理由．
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【答案】
证明：（1）∵CD，BE 分别是AB，AC 边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE=AC：AB．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC．
4、已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，点P 为BC 上任意一点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC 于点F．
（1）求证：△ADF∽△BDE；
（2）求证：△DEF∽△ABC．
【思路点拨】（1）由∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC 可得到四边形AEPF 为矩形，则
AF=EP，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△BEP∽Rt△BDA，得到
=
，则
=
，利用比例性质变形得
=
，根据等角的余角相等得∠DAF=∠B，根据两组对应边的
比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ADF∽△BDE；
（2）由△ADF∽△BDE 得到∠ADF=∠BDE，
=
，变形得
=
，再由∠BDF+∠ADE=90°得到
∠DEF=90°，于是可证明△DEF∽△DBA，所以∠DEF=∠B，然后根据有两组角对应相等的两个
三角形相似得到Rt△DEF∽Rt△ABC．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF 为矩形，
∴AF=EP，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽Rt△BDA，
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∴
=
，
∴
=
，即
=
，
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDE；
（2）∵△ADF∽△BDE，
∴∠ADF=∠BDE，
=
，即
=
而∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DBA，
∴∠DEF=∠B，
∴Rt△DEF∽Rt△ABC．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的
两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
举一反三
【变式】如图，在4×3 的正方形方格中，△ABC 和△DEC 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶
点上．
（1）填空：∠ABC= °，BC=
；
（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．
【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=
；
（2）相似；
∵BC=
，EC=
=
；
∴
，
；
∴
；
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
类型三、三边成比例的两个三角形相似
5、已知：正方形的边长为1
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（1）如图①，可以算出正方形的对角线为 ，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n
个呢？
（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．
∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角
形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB 和∠BEF，所以在证明
第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
【答案与解析】
解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=
=
，
第二个图形中，对角线长=
=
，
第三个图形中，对角线长=
，
所以第n 个图形中，对角线长=
；
（2）在△BCE 中，BC=1，BE=
，EC=
，
在△BED 中，BE=
，BD=2，ED=
，
所以
，
∴△BCE∽△BED；
（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD 为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、
等腰梯形的性质来解决问题的.
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