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直角三角形全等判定（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角
形全等.
【要点梳理】
【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角
边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定
理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写
成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊
条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两
个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全
等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三
角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理
由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（3）两直角边对应相等； （ ）
（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.
【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
举一反三：
【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例2】
【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
【答案】（1）√；
（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB＝DB，AE 和DF 是其中一边上的高，AE＝DF
（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB＝AB，AD＝AC，AE 为第三边上的高，
【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】
2、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.
【答案与解析】
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴在Rt△ADE 与Rt△CBF 中
.
AD
BC
DE
BF
＝
，
＝
∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）
∴AE＝CF，DE＝BF
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE
在Rt△CDE 与Rt△ABF 中，
DE
BF
DEC
BFA
EC
FA
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）
∴∠DCE＝∠BAF
∴AB∥DC.
【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样
从已知和结论向中间推进，从而证出题目.
3、（2016 春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC，
∠1=∠2．
（1）Rt△ADE 与Rt△BEC 全等吗？并说明理由；
（2）△CDE 是不是直角三角形？并说明理由．
2
1
A
D
B
C
E
【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC 得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE 是
直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE 是直角三角形．
【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找
条件．
举一反三：
【变式】（2015 春•澧县校级期中）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC 与BD
相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC 是何种三角形？证明你的结论．
【答案】证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC 和△DCB 都是直角三角形，
在Rt△ABC 和Rt△DCB 中，
4
5
3
2
1
A
D
B
C
E
,
.
AC
BD
BC
BC
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC 是等腰三角形. 理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DCB，
∴OB=OC
∴△OBC 是等腰三角形.
4、如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF⊥AE，垂足为
F，过B 作BD⊥BC 交CF 的延长线于D.
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm ，求BD 的长.
【答案与解析】
（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，
∴△CDB≌△AEC（HL）
∴BD＝EC＝1
2 BC＝1
2 AC，且AC＝12．
∴BD＝6cm ．
【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个
三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，
看缺什么条件，再去证什么条件.
