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专题01 集合与常用逻辑用语
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 元素集
合之间的关系
（5 年几考）
2024 上海卷
2023 全国新高考Ⅱ卷T2
2022 全国乙卷(理)T1
集合的交并补运算是高考中的重
点高频考点，主要还是以基本不
等式作为背景，应注重特殊符
号，根号，对数，分式不等式。
考点2 集合之
间的交并补运
算
（5 年几考）
2024 全国Ⅰ卷 全国甲卷 北京卷
2023 新高考Ⅰ卷T1，全国乙卷T2，全国甲卷
T1
2022 全国乙卷文T1，全国甲卷T3，新高考Ι 卷
T1，新高考Ⅱ卷T1
2021 乙卷T2，甲卷T1，新高考Ⅰ卷T1 ,新高考
Ⅱ卷T2
考点3 充要条
件的判定
2024 天津卷
2023 全国甲卷T7
2021 全国乙卷T3，全国甲卷T7
充分必要条件作为使用工具一般
与数列三角函数，以及函数相结
合难度不大，但是易错
考点4 命题的
判定及应用
2024 新高考Ⅱ卷 2021 全国卷 2020 全国卷
主要原命题与命题的否定，以函
数与不等式作为背景
考点01 元素、集合之间的关系
1．（2024·上海·高考真题）设全集
，集合
，则
．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求
.
【详解】由题设有
，
1
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故答案为：
2．（2023·全国·统考高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
3．（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出集合
,然后逐项验证即可
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误
故选:
考点02 集合之间交并补运算
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
2．（2024·全国·高考甲卷文）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合
的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
2
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于是
.
故选：C
3．（2024·全国·高考甲卷理）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
4．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得
.
故选：C.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
6．（2023·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
的值，然后计算
即可.
【详解】由题意可得
，则
.
故选：A.
7．（2023·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，
故选：A.
8．（2023·全国·统考高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
9．（2022·全国·统考高考真题）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为
，
，所以
．
故选：A.
10．（2022·全国·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为
，
，所以
．
故选：A.
11．（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，
，所以
,
所以
.故选：D.
12．（2021·全国·统考高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
故选：A.
13．（2021·全国·统考高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可得
，由此可得出结论.
【详解】任取
，则
，其中
，所以，
，故
，
因此，
.
故选：C.
14．（2021·全国·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5
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【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：B.
15．（2021·全国·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为
，所以
,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
16．（2020·全国·统考高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得
，得到结果.
【详解】由
解得
，
所以
，
又因为
，所以
，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
17．（2020·全国·统考高考真题）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的
值.
【详解】求解二次不等式
可得：
，
求解一次不等式
可得：
.
6
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由于
，故：
，解得：
.
故选：B.
18．（2020·全国·统考高考真题）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A．
B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2}
D．{–2，2}
【答案】D
【分析】解绝对值不等式化简集合
的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为
，
或
，
所以
.
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
19．（2020·全国·统考高考真题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
（ ）
A．{−2，3}
B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3}
D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
20．（2020·全国·统考高考真题）已知集合
，
，则A∩B 中元素的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】采用列举法列举出
中元素的即可.
【详解】由题意，
，故
中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
21．（2020·全国·统考高考真题）已知集合
，
，则
中元素的
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
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【分析】采用列举法列举出
中元素的即可.
【详解】由题意，
中的元素满足
，且
，
由
，得
，
所以满足
的有
，
故
中元素的个数为4.
故选：C.
考点03 充要条件的判定
1．（2024·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
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因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2021·全国·统考高考真题）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当
时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当
是递增数列时，必有
成立即可说
9
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明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
5．（2020·北京·统考高考真题）已知
，则“存在
使得
”是“
”
的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在
使得
时，
若
为偶数，则
；
若
为奇数，则
；
(2)当
时，
或
，
，即
或
，
亦即存在
使得
．
所以，“存在
使得
”是“
”的充要条件.故选：C.
考点04 命题的判定及应用
1．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知命题
﹔命题
﹐
，则下列命题中为真
命题的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦函数的有界性确定命题
的真假性，由指数函数的知识确定命题
的真假性，由此确定正
确选项.
【详解】由于
，所以命题
为真命题；
由于
在
上为增函数，
，所以
，所以命题
为真命题；
所以
为真命题，
、
、
为假命题.
故选：A．
二、填空题
3．（2020·全国·统考高考真题）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
②
③
④
【答案】①③④
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题
的真假；利用三点共线可判断命题
的真假；利用异
面直线可判断命题
的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
的真假.再利用复合命题的真假可得出结
论.
【详解】对于命题
，可设与
相交，这两条直线确定的平面为
；
若
与相交，则交点
在平面
内，
同理，
与
的交点
也在平面
内，
所以，
，即
，命题
为真命题；
对于命题
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题
为假命题；
对于命题
，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题
为假命题；
11
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对于命题
，若直线
平面
，
则
垂直于平面
内所有直线，
直线
平面
，
直线
直线，
命题
为真命题.
综上可知，
，
为真命题，
，
为假命题，
为真命题，
为假命题，
为真命题，
为真命题.
故答案为：①③④.
4．（2020·全国·统考高考真题）关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y 轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的
定义可判断命题③的正误；取
可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，
，
，则
，
所以，函数
的图象不关于
轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以，函数
的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
，
，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，命题③正确；
12
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对于命题④，当
时，
，则
，
命题④错误.故答案为：②③.
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