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专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间.................2
题型二：已知函数
在区间
上单调求参数...............3
题型三：已知函数
在区间
上存在单调区间求参数.......5
题型四：已知函数
在区间
上不单调求参数.............7
题型五：已知函数
在单调区间的个数...................9
三、专项训练.............................................11
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
2、已知函数
的递增（递减）区间为
，
是
的两个根
3、已知函数
在区间
上单调
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数
在区间
上存在单调区间
1
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①已知
在区间
上存在单调递增区间
，
有解.
②已知
在区间
上单调递区间减
，
有解.
5、已知函数
在区间
上不单调
，使得
（且
是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若
在
和
处有极值，则函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意
且
，即可得到方程组，从而求出
、
的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为
，所以
，
由已知得
，解得
，
所以
，所以
，
由
，解得
，所以函数
的单调递增区间是
.
故选：C．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求导，再由
求解.
2
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【详解】解：因为
，
所以
，
由
，即
，
解得
，
所以函数
的单调递增区间为
，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）已知函数
，则函数
的单调增区间为
.
【答案】
【分析】根据导函数求单调区间即可.
【详解】函数
的定义域为R，
，令
，解得
，所以
函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
.
4．（2024·广西·模拟预测）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数
的定义域为
，
，
由
得
或
（因为
，故舍去），
所以
在区间
上单调递增．
故答案为：
3
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题型二：已知函数
在区间
上单调求参数
1．（23-24 高二上·福建南平·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递减，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为
恒成立问题，从而得解.
【详解】因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
，即
，则
在
上恒成立，
因为
在
上单调递减，所以
，故
.
故选：A.
2．（23-24 高二上·山西长治·期末）若函数
（
且
）在区间
上单
调递增，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，
在区间
上单调递增，转化为
在区间
上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数
（
且
）在区间
上单调递增，
得
在区间
上恒成立，
又
在区间
上恒正，只需满足
在区间
上恒成立即可，
令
，
若
，则
，则一次函数
在区间
上单调递减，不可能恒
正；
4
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若
，则
，则一次函数
在区间
单调递增，
所以只需
，即
，解得
，
故答案为：
.
3．（22-23 高二下·全国·课后作业）函数
在
上的单调递增区间为
.
【答案】
【分析】直接利用导数求递增区间即可.
【详解】由题意得
，则
，又
，
解得
，所以函数的单调递增区间为
，
故答案为：
.
4．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若函数
的图象在区间
上单调
递增，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性转化为
在区间
上恒成立，
构造函数
，利用导数求最小值即可求得
即
.
【详解】因为
，所以
．
由
的图象在区间
上单调递增，
可知不等式
即
在区间
上恒成立．
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
故要使
在
上恒成立，只需
．
由
，解得
，
5
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故实数a 的取值范围为
，则a 的最小值为
．
故答案为：
题型三：已知函数
在区间
上存在单调区间求参数
1．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递
增区间，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在
，使
成立，即存在
，使
成立，构造函数
，
，求出
的最值即可解决问题.
【详解】因为函数
在
上存在单调递增区间，
所以存在
，使
成立，即存在
，使
成立，
令
，
， 变形得
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
，
故选：D．
2．（2023 高三·全国·专题练习）若函数
存在单调递减区间，则实
数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先计算出
,由
存在单调递减区间知
在
上有解即可得
出结果.
【详解】函数
的定义域为
，且其导数为
6
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．由
存在单调递减区间知
在
上有解，即
有解．因为函数
的定义域为
，所以
．要使
有解，只需要
的最小值小于
，所以
，即
，所以实数
的取值范围是
．
故选:B．
3．（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）若函数
存在单调递减区间，则
实数
的取值范围为是 .
【答案】
【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.
【详解】
，
因为函数
存在单调递减区间，
所以存在
，使得
小于零，
所以导函数的判别式
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为是
，
故答案为：
.
4．（2024 高二·全国·专题练习）若函数
存在增区间，则实数
的取值范
围为 .
【答案】
【分析】由题意知，存在
使得
，利用参变量分离法得出
，利用基
本不等式在
时的最小值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】
，定义域为
，
，
由题意可知，存在
使得
，即
.
当
时，
，
所以，
，因此，实数
的取值范围是
.
7
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故答案为：
.
题型四：已知函数
在区间
上不单调求参数
1．（2024 高三下·全国·专题练习）若函数
在
上不是单调函
数，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将问题转化成求
或
在
上恒成立，注意到
，从
而转化成
在
上恒成立，从而求得
，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若
在
上单调函数，则
或
在
上恒成立，
由题意，
，注意到
，所以只能
恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，解得：
，
因为
在
上不是单调函数，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
2．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数
在区间
上不是单
调函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，根据导函数的正负与单调性的关系将问题转化为
在区间
上
有解，即可分类讨论求解.
【详解】函数的导数
，
若
在区间
上不是单调函数，
则
在区间
上有解，
由
在区间
上有解，
即
在区间
上有解，
8
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若
，显然不符合题意；
若
，即
，即
此时
，
若
在区间
上有解，
则
，平方得
，即
，
故实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
3．（23-24 高二上·河南许昌·期末）若函数
在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意
单调递增，且
，
所以若函数
在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，
则
，解得
.
故答案为：
.
4．（23-24 高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数
在
上不是单
调函数，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数
在
内存在极值点，根据导函数
在
上单调递
增可得出关于实数
的不等式组，解之即可.
【详解】因为
，则
，
因为函数
在
上不是单调函数，则函数
在
内存在极值点，
又因为函数
在
上是增函数，
所以，
，解得
，
9
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因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型五：已知函数
在单调区间的个数
1．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
恰有三个单调区间，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数
的定义域为
，
，
要使函数
恰有三个单调区间，
则
有两个不相等的实数根，∴
，解得
且
，
故实数a 的取值范围为
，
故选：C.
2．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）若函数
有三个单调区间，则实数
a 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
有两个不相等的实数根求得
的取值范围．
【详解】
，
由于函数
有三个单调区间，
∴
有两个不相等的实数根，∴
．
故选：C．
3．（多选）（23-24 高二下·浙江·期中）已知函数
在
上有三
个单调区间，则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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【答案】BD
【分析】将问题等价于
在
有两个不同的实数根，进一步转化为
在
有唯一不为1 的根，构造函数
，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在
上有三个单调区间，等价
在
有两
个不同的根.
，令
，则
，
即
在
有唯不为1 的一根，则有
有唯一不为1 的根，
令
，则
，故当
单调递增，
当
单调递减，且
即
，
故选：BD
4．（23-24 高三·全国·对口高考）设函数
恰有三个单调区间，试确定a 的取
值范围．
【答案】
.
【分析】根据导数与函数的单调性的关系，分
和
讨论结合条件即得.
【详解】由题可知
的定义域为R，
，
若
，则
恒成立，此时
在R 上单调递增，即只有一个单调区间，
不符题意；
若
，由
解得
，
由
解得
或
，
此时
在
上单调递增，在
与
上单调递减，共有
三个单调区间，符合题意；
所以a 的取值范围是
．
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三、专项训练
1．（2024 高二·全国·专题练习）已知函数
，则
的单调递增
区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调
递增区间．
【详解】由
得：
，即
的定义域为
；
因为
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
的单调递增区间为
．
故选：A.
2．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）已知
在
上单调递增，则
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
在
上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，
即可求得答案.
【详解】由
在
上单调递增，
得
在
上恒成立，
即
，
恒成立，而
在
上单调递增，即
，
故
，
故选：A
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
在定义域内单调递增，则实
数
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在
上恒成立，即
在
上恒成立．利用二次函数的性质求出
在
上的最大值即可得答案.
【详解】解：
的定义域为
，且
在定义域内单调递增，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
令
，
，
，
即实数
的取值范围为
．
故选：B
4．（23-24 高二下·广东清远·期中）已知函数
，则
的单调递减
区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将函数求导，求得导函数的零点，结合函数定义域，由
即可求得.
【详解】由
求导得，
，
因
，由
可得
，即
的单调递减区间是
.
故选：B.
5．（23-24 高二下·重庆·期中）若函数
在区间
上单调递增，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为
在
上恒成立，即可求参数的
取值范围.
【详解】由
得
，
当
在区间
上单调递增时，即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
对应函数
在
上单调递减，则
，故
.
故选：A
6．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）若函数
在其定义域内的一个子区
间
内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的单调区间，然后列不等式求解即可
【详解】
，故
，
且
．
由
，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增．
若
在
内不是单调函数，则
解得
，
故选：C．
7．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数
在区间
内存在单
调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
在
有解，结合参变分离，即可求得参数范围.
【详解】
，若
在区间
内存在单调递增区间，
则
在
有解，故
有解，
而
在
递增，
，故
.
故选：A.
8．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递
减，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，对任意的
，
，由参变量分离法可得
，利用导数求出
函数
在
上的值域，即可得出实数
的最小值.
【详解】由
得
，
因为函数
在区间
上单调递减，则对任意的
，
，
可得
，
令
，其中
，则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上单调递增，当
时，
，
即
，所以，
，故
的最小值为.
故选：B.
9．（多选）（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
，
若
在区间
上单调递减，则
可以取到的整数值有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】AB
15
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【分析】根据条件，将问题转化成
在区间
上恒成立，构造函数
，
求出
的最小值，即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，
由题知
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，则
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递增，所以
，故
，即
，
故选：AB.
10．（多选）（23-24 高二下·宁夏·阶段练习）已知函数
在区间
上存在
单调递减区间，则
可能的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．e
【答案】CD
【分析】求得
，根据题意，转化为即
在
有解，设
，利用导数求得函数
的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
因为函数
在区间
上存在单调递减区间，
即
在
有解，即
在
有解，
设
，可得
，
所以函数
单调递增，所以
，即
，
结合选项，可得选项C、D 符合题意.
故选：CD.
11．（23-24 高二下·陕西渭南·期中）已知函数
，若
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求得
的导函数，进而求得函数
的单调递减区
间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于
的不等式组，求解不等式组即可
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求得实数m 的取值范围.
【详解】因为
，
令
，可得
，
所以要使函数
在区间
上单调递减，
则区间
是区间
的子区间，
所以
，求解不等式组可得：
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
故答案是：
.
12．（2024 高三下·全国·专题练习）若函数
在区间
上单调
递增， 则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数
在区间
上单调递增，转化为
对
恒成立，求参数的取值范围即可.
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
对
恒成立，
即
对
恒成立，
与目标式
比较，令
，得
，
因此令
(等比例赋值法),
则
. (
时等号成立).
所以
的最小值为
.
故答案为：
13．（23-24 高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数
在
上存在单
调递增区间，则实数
的取值范围是 ．
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【答案】
【分析】函数
在
上存在单调递增区间，转化为
在
上有解，利用
二次函数的性质求实数
的取值范围．
【详解】函数
在
上存在单调递增区间，
由
，则
在
上有解．
令
，因为
，所以只需
或
，
即
或
，解得
．
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（23-24 高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
在区间[1,2]上存在单调
递增区间，则实数a 的取值范围是
【答案】
【分析】
在区间
上存在单调递增区间转换成
在
上能成立，分离参数
得
，转换成求函数
最小值，从而得实数
的取值范围.
【详解】因为
，
，
，
若
在
上存在单调递增区间，则
在
上有解，
即
在
上有解，
，
又
，
，则
的取值范围是：
.
故答案为：
.
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