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专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间...........................2
题型二：已知函数
在区间
上单调求参数.........................3
题型三：已知函数
在区间
上存在单调区间求参数.................5
题型四：已知函数
在区间
上不单调求参数.......................7
题型五：已知函数
在单调区间的个数.............................9
三、专项训练........................................................9
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
2、已知函数
的递增（递减）区间为
，
是
的两个根
3、已知函数
在区间
上单调
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
1
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②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数
在区间
上存在单调区间
①已知
在区间
上存在单调递增区间
，
有解.
②已知
在区间
上单调递区间减
，
有解.
5、已知函数
在区间
上不单调
，使得
（且
是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2023 上·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，
，
，
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
故选：A
2．（2023 下·陕西汉中·高二校考期中）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，
，
2
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因为
，可得
，解得
，可得
，
因此，函数
的单调递减区间为
.
故选：D.
3．（2023 下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
和
B．
C．
D．
和
【答案】D
【详解】
的定义域为
，
，令
，解得
或
，
故
的单调递增区间为
和
.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求
的单调性.
【答案】函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
【详解】由
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
题型二：已知函数
在区间
上单调求参数
1．（2023 上·广东汕头·高三统考期中）设
，若函数
在
递增，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
递增，
所以
在
上恒成立，
3
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则
，即
在
上恒成立，
由函数
单调递增得
，
又
，所以
，所以
，
所以
即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
2．（2023 上·山西晋中·高三校考阶段练习）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若函数
在区间
单调递增，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立；
又函数
在
上递减，所以
恒成立，则
故
的取值范围是
.
故选：D.
3．（2023 上·河南·高三校联考阶段练习）若函数
的图象在区间
上单调递增，则
实数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
．
由
的图象在区间
上单调递增，
可知不等式
即
在区间
上恒成立．
令
，则
，
4
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当
时，
，所以
在
上单调递减，
故要使
在
上恒成立，只需
．
由
，解得
，
故实数a 的取值范围为
，则a 的最小值为
．
故答案为：
4．（2023 上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数
在区间
上单调
递增，则a 的取值范围是： .
【答案】
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
.
故a 的取值范围是
.
故答案为：
5．（2023 下·高二课时练习）已知函数
是区间
上的单调函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，
令
，则
或
，
因为
是区间
上的单调函数，
所以
或
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型三：已知函数
在区间
上存在单调区间求参数
1．（2019 下·安徽六安·高二校联考期末）若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若函数
不存在增区间，则函数
单调递减，
此时
在区间
恒成立，
可得
，则
，可得
，
故函数存在增区间时实数
的取值范围为
．故选C.
2．（2023 下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数
在
上存在单调递增区
间，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数
，∴
，
∵函数
在
上存在单调递增区间，
，即
有解，
令
,
,∴当
时，
，
即可．
故答案为:
3．（2020 上·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数
在
上有增区间，则a
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题得
，
因为函数
在
上有增区间，
所以存在
使得
成立，
即
成立，
因为
时，
，
6
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所以
.
故答案为：
4．（2019 下·辽宁沈阳·高二校联考期中）设
.
（1）若
在
上存在单调递增区间，求
的取值范围；
【答案】（1）
；
【详解】解：（1）
，
当
时，
，
则当
时，令
，得
，
所以，当
时，
在
上存在单调递增区间；
题型四：已知函数
在区间
上不单调求参数
1．（2021 上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
在区间
上不是单调函数，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
在区间
上不是单调函数，
所以
在区间
上有解，即
在区间
上有解．
令
，则
．
当
时，
；当
时，
．
故
在
上单调递减，在
上单调递增．又因为
，
7
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且当
时，
所以
在区间
上单调递增，所以
，解得
.
故选：A
2．（2023 上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数
在
上
不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
或
【详解】因为
，所以
，
又
不是单调函数，所以函数
有极值点，即
在
上有变号零点，
则
成立，
当
时，
可化为
，显然不成立；
当
时，
，
因为
，
，所以
或
，
所以实数m 的取值范围为
或
（因为要有变号零点，故不能取等号），
经检验，
或
满足要求.
故答案为：
或
.
3．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意
，函数
在区间(t,3)上总不为
单调函数，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，若存在
，
在区间
上为单调函数，
则①
在
上恒成立，或②
在
上恒成立．
由①得
在
上恒成立，由于
，所以
，
即
在
上恒成立，由于函数
均为
上的单调递减函数，
所以
单调递减，当
时，取最大值，则
，
又存在
，所以
，
当
时，
取到最小值-5，所以
，即
；
8
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由②得
在
上恒成立，则
，即
，
所以存在
，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m 的取值范围为
或
，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为
.
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数
．若
在
内不单调，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
，得
，
当
在
内为减函数时，则
在
内恒成立，
所以
在
内恒成立，
当
在
内为增函数时，则
在
内恒成立，
所以
在
内恒成立，
令
，因为
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以
在
内的值域为
，所以
或
，
所以函数
在
内单调时，a 的取值范围是
，
故
在
上不单调时，实数a 的取值范围是
．
故答案为：
．
题型五：已知函数
在单调区间的个数
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数
恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【详解】由题意得函数
的定义域为
，
，
要使函数
恰有三个单调区间，
则
有两个不相等的实数根，∴
，解得
且
，
故实数a 的取值范围为
，
故选：C.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023 上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数
，则“
在区间
上单调递增”的
一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
在区间
上单调递增等价于
在区间
上大于等于恒成立，
即
在
上恒成立，即
，
故
是
的充分不必要条件，故D 正确.
故选：D.
2．（2023 上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数
在
具有单调性，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
当函数
在
单调递增时，
恒成立，得
，设
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以
，
因此有
，
10
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当函数
在
单调递减时，
恒成立，得
，设
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以
，
显然无论
取何实数，不等式
不能恒成立，
综上所述，a 的取值范围是
，
故选：C
3．（2023 上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）下列函数中，在区间
内不单调的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A 选项，
在
上恒成立，故
在
上单调递增，A 错误；
B 选项，
在
上恒成立，故
在
上单调递减，B 错误；
C 选项，当
时，
，
由于
在
上单调递增，在
上不单调，
故
在
上不单调，C 正确；
D 选项，由于
和
在
上单调递增，故
在
上单调递增，D 错误.
故选：C
4．（2023 上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）若函数
在区间
上是增
函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，可得
，记
，
则
，所以
在
单调递增，所以
.
故选：C
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5．（2023 下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数
在区间
内存在单调递减区间，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
由题意可知：存在
，使得
，整理得
，
且
在
上单调递减，则
，可得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
6．（2023 下·广东江门·高二校考期中）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，令
，
即
的单调递增区间为
.
故选：B
7．（2023 下·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）若函数
在区间
上单调递增，
则实数
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
函数
在区间
单调递增，
在区间
上恒成立．
在
上恒成立，
而
在区间
上单调递减，
．
故选：C
12
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二、多选题
8．（2023 下·高二单元测试）函数
的单调减区间可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意得
，
令
，解得
或
，
结合选项可知函数
的单调减区间可以为
,
,
故选:AC.
9．（2023 下·江苏南通·高二统考阶段练习）若函数
的单调递增区间为
，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A 选项，
的定义域为
，故单调递增区间不可能为
，A 错误；
B 选项，
定义域为
，
，令
，解得
，
所以
单调递增区间为
，B 正确；
C 选项，
定义域为
，
，令
，解得
或
，
所以
单调递增区间为
，
，C 错误；
D 选项，
定义域为
，
，令
，解得
，
故
单独递增区间为
，D 正确.
故选：BD
三、填空题
13
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10．（2023 上·江苏南通·高三统考期中）已知函数
的减区间为
，则
.
【答案】3
【详解】由题意可得，
，解集为
，则
.
故答案为：3
11．（2023 上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数
存在单调递减区间，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
依题意，不等式
在
上有解，等价于
在
上有解，
而
，当且仅当
时取等号，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
上不单调，则实数a 的取值范围
是 .
【答案】
【详解】
∵函数
在区间
上不单调，
∴
在区间
内有解，
则
在
内有解，
易知函数
在
上是减函数，
∴
的值域为
，
因此实数a 的取值范围为
.
14
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故答案为：
13．（2023·安徽·高二校联考竞赛）如果函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，则的值为 ．
【答案】1
【详解】由题意得，
，由
，得
，
解得
或
．
当
时，
，当
时，
，
则
在区间
上单调递增，不满足条件，舍去；
当
时，
，
当
时，
，当
时，
，满足
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，故
．
故答案为：1
四、单空题
14．（2023 上·上海·高二校考阶段练习）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值
范围为 ．
【答案】
【详解】函数
在区间
上单调递减，
在区间
上恒成立，
即
，又
，
故
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
15
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16
