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专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：求直线方程......................................................................2
题型二：求离心率..........................................................................3
题型三：求弦中点的轨迹方程.......................................................4
题型四：求曲线方程......................................................................6
题型五：处理存在性问题...............................................................7
题型六：确定参数的取值范围.......................................................9
题型七：定值问题........................................................................11
三、专项训练.....................................................................................13
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后
根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
1
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x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1；
y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两
点，
为坐标原点，以
，
为邻边作平行四边形
，点
恰好在
上．若线段
的中点
在直线
上，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4 的椭圆
（
，
，
）被直线方程
截得的弦的中点横坐标为
，则椭圆的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2
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3．（23-24 高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为
，其右焦点为
，过点
的直线交椭圆与
，
两点．若
的中点坐标为
，则椭圆的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线
交于
、
两点，若弦
的
中点为
，则直线的方程为 .
5．（2024 高三·全国·专题练习）以
为中点的双曲线
的弦所在直线的方程
为 .
6．（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线
，过点
的直线交抛
物线
于
两点，若
为
的中点，则直线
的方程为 .
题型二：求离心率
1．（2023 高三·全国·专题练习）设
是椭圆
上不关于坐标轴对称
的两点，
是线段
的中点，
是坐标原点，若直线
与直线
的斜率之积为
，
则椭圆
的离心率为 .
2．（23-24 高二上·云南昭通·期末）斜率为
的直线与椭圆
交于A，B
两点，
为线段
的中点，则椭圆的离心率为 ．
3．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线
与椭圆
相
交于
两点，且线段
的中点在直线
上，则此椭圆的离心率为 ．
4．（2024·福建厦门·二模）不与x 轴重合的直线l 过点N（
,0）（xN≠0），双曲线C：
（a＞0，b＞0）上存在两点A、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
．若
，则C 的离心率为 ．
5．（23-24 高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分
3
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别为
，
，过
作直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点，设P 为线段AB 的
中点，若
，则双曲线的离心率为 ．
6．（23-24 高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:
的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L 与双曲线C 的渐近线相交
于AB 两点，且点AB 在x 轴的上方，AB 两个点到x 轴的距离之和为
，若
，
则双曲线的离心率
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024 高三下·全国·专题练习）求证：椭圆
中斜率为的平行弦的中点轨迹必
过椭圆中心.
2．（2024 高三·全国·专题练习）设椭圆方程为
，过点
的直线交椭圆于
点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨
迹方程．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离
4
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之和为
，过点
的直线
与曲线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
4．（23-24 高二·全国·课后作业）已知椭圆
．
(1)过椭圆的左焦点
引椭圆的割线，求截得的弦的中点
的轨迹方程；
(2)求斜率为2 的平行弦的中点
的轨迹方程；
5．（23-24 高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离之和为
，过点
的直线
与曲线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
5
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6．（2024 高三下·全国·专题练习）已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且
位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点）.直线
在绕着定点转动的过程中，
求弦
中点
的轨迹方程.
7．（23-24 高二上·全国·课前预习）已知抛物线
，过点
作一条直线交抛物线
于
，
两点，试求弦
的中点轨迹方程.
题型四：求曲线方程
1．（23-24 高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C 的中心为坐标原点，一个焦点为
，
过F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若
的中点为
，则椭圆C 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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2．（23-24 高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦
点，过
的直线与
相交于
，
两点，且
的中点为
，则
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，
直线
与其相交于M，N 两点，若MN 中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4 ．（2024 高三下· 江苏· 专题练习）已知O 为坐标原点，点
在椭圆C ：
上，直线l：
与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M，直
线OM 的斜率为
，则C 的方程为 .
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆
与直线
交于
两
点，且线段
的中点为
，则椭圆
的方程为 .
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两
点在抛物线上，且满足
，
.若线段
中点的纵坐标为4，则抛物线
的方程为 .
7
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题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知
，直线不过原点
且不平行
于坐标轴，与
有两个交点
，线段
中点为
.
（1）若
，点
在椭圆
上，
分别为椭圆的两个焦点，求
的取值范
围；
（2）若过点
，射线
与椭圆
交于点
，四边形
能否为平行四边形？若
能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
2．（23-24 高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
面积的最大值为
，周长为6.
（1）求椭圆
的方程，并求椭圆
的离心率；
（2）已知直线：
与椭圆
交于不同的两点
，若在
轴上存在点
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，使得
与
中点的连线与直线垂直，求实数
的取值范围
3．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线
.
(1)若离心率为
，求b 的值，
的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若
，是否存在被点
平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存
在，请说明理由．
4．（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M 与椭圆
有相同的焦
点，且M 与圆
相切．
(1)求M 的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l 与M 交于A，B 两点，且弦AB 的中点为
？若存在，求l
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的斜率；若不存在，请说明理由.
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24 高二上·安徽合肥·期末）设圆
与两圆
中的
一个内切，另一个外切．
(1)求圆心
的轨迹
的方程；
(2)已知直线
与轨迹
交于不同的两点
，且线段
的中点在圆
上，求实数
的值．
2．（23-24 高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 和圆
：
内切，且与圆
：
外切，记动圆P 的圆心轨迹为
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E．
(1)求轨迹E 的方程；
(2)若直线l：
与E 交于不同的两点M、N，线段MN 的中点记为A，且线段
MN 的垂直平分线过定点
，求k 的取值范围．
3．（23-24 高二上·河南·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆C 交于P，Q 两点，点M 是线段PQ 的中点，直线
过点M，且与直线l 垂直.记直线
与y 轴的交点为N，求
的取值范围.
4．（23-24 高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
，右顶点
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为
．
（）求双曲线
的方程；
（
）若直线
与双曲线
交于不同的两点
，
，且线段
的垂
直平分线过点
，求实数
的取值范围．
题型七：定值问题
1．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知椭圆
的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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2．（23-24 高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆
的焦距为4，且离心
率为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线
与椭圆C 交于不同的两点M，N，且线段MN 的中点P 在圆
上，求m 的值．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆
与两圆
中的一个内
切，另一个外切.
(1)求圆心
的轨迹
的方程；
(2)已知直线
与轨迹
交于不同的两点
，且线段
的中点在圆
上，求实数
的值.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l 过点A(1,-2)和点B，B 在第一象
限，
.
（1）求点B 的坐标；
（2）若直线与双曲线
相交于E,F 两点，且线段EF 的中点坐标为
，求a 的值.
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5．（2024·全国·模拟预测）已知长为
的线段
的中点为原点
，圆
经过
两点
且与直线
相切，圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
且互相垂直的直线
分别与曲线
交于点
和点
，且
，四边形
的面积为
，求实数
的值.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24 高二上·安徽六安·期末）已知椭圆
的右焦点为
，
过点
的直线交椭圆
于
两点，若
的中点坐标为
，则椭圆
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆
，
是椭圆
的一条弦
的中点，点
在直线
上，则椭圆的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·山西太原·期末）在椭圆
中，以点
为中点的弦所在的
直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2 的直线与椭圆
交
于
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点，若
的斜率为
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线
与双曲线
交
于
两点，点
是弦
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
6．（23-24 高三下·全国·阶段练习）设直线
与双曲线
分别交于
两点，若线段
的中点横坐标是
，则该双曲线的离
心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．
7．（23-24 高二上·天津和平·期末）直线l 与双曲线
交于A，B 两点，线段AB 的
中点为点
，则直线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知椭圆
的右焦点为
，离心率
为
，过点
的直线交椭圆于
两点，若
的中点为
，则直线的斜率为
．
9．（23-24 高二上·北京平谷·期末）已知圆
内有一点
，经
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过点
的直线与圆
交于
两点，当弦
恰被点
平分时，直线的方程为 .
10．（2024 高二·全国）
与
的左支交于
两点，直线过
及
中点，则在
轴上截距范围为 ．
11．（23-24 高二上·广西河池·阶段练习）过点
的直线l 与双曲线
交于A、
B 两点，若M 恰好是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为 ．
三、解答题
12．（23-24 高二下·北京·开学考试）已知椭圆
的离心率
，椭圆
上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点
，且与椭圆相交于不同的
两点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标
，求直线的方程.
13．（23-24 高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：
的左、右焦
点分别为
，
，斜率为2 的直线l 与E 的一条渐近线垂直，且交E 于A，B 两点，
.
(1)求E 的方程；
(2)设点P 为线段AB 的中点，求直线OP 的方程.
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14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，点
在
抛物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
17
