文档文本内容
淘宝：学思创想
专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角
条件：
+ CE=DE
证明思路：
+ 任一边相等
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
+ 任意一边相等
证明思路：
+任一边相等
例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形
中，
，
，点
从点
出发，以
的速度沿
边向点
运动，到达点
停止，同时，点
从点
出发，以
的速度沿
边向点
运动，到达点
停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，
淘宝：学思创想
与
全等．
例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m
经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线m 上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC=
，其中
为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出
证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是D、A、E 三点所在直线m 上的两
动点（D、A、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连
接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF 的形状．
例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，
CB=CA，直线ED 经过点C，过A 作AD⊥ED 于D，过B 作BE⊥ED 于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：①已知直线AB 与y 轴交于A 点，与
轴交于B 点，sin∠ABO=
，OB=4，将线段AB 绕点
B 逆时针旋转90 度，得到线段BC，过点A，C 作直线，求直线AC 的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，
已知点D 在第一象限，且是直线y=2
5 上的一点，若△APD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求
出所有符合条件的点D 的坐标．
淘宝：学思创想
例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点D 在线段BC 上运动（点D
不与点B、C 重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC 的长度为何值时，
△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，
求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF⊥AE 于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB 和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF 和△EAB 中
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线
淘宝：学思创想
段的做法吗？并说明理由．
例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，
，
，
，
，垂足分别为
，
，
，
．求
的长”，请直接写出此题答案：
的
长为________．
（2）探索证明：如图②，点
，
在
的边
、
上，
，点
，
在
内部的射
线
上，且
．求证：
．
（3）拓展应用：如图③，在
中，
，
．点
在边
上，
，点
、
在
线段
上，
．若
的面积为15，则
与
的面积之和为________．
（直接填写结果，不需要写解答过程）
例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形
（四边都相等，四个角都是直角）的顶点
作一
条直线
．（1）当
不与正方形任何一边相交时，过点
作
于点
，过点
作
于
点
如图（1），请写出
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线
的位置，使
与
边相交如图（2），其它条件不变，
，
，
的关系会
发生变化，请直接写出
，
，
的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线
的位置，使
与
边相交如图（3），其它条件不变，
，
，
的关
系又会发生变化，请直接写出
，
，
的数量关系，不必证明．
淘宝：学思创想
模型2.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形
的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也
相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
淘宝：学思创想
图1
图2
图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C 为AB 的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，
为等边三角形，点
，
分别在边
，
上，
，若
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了
如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形
，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕
，如图②．
根据以上的操作，若
，
，则线段
的长是（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在
ABC 中，∠BAC＝90°，
＝k，直线l 经过点A，BD⊥直线I，CE 上直线l，垂足分别
为D、E．求证：
＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图
淘宝：学思创想
2，将（1）中的条件做以下修改：在
ABC 中，
＝k，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；
若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，在
ABC 中，沿
ABC 的边AB、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG，
＝
＝
，AH 是BC
边上的高，延长HA 交EG 于点I．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系：
．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），
是菱形
边
上一点，
是
等腰三角形，
，
交
于点
，探究
与
的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出
的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求
与
的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若
，求
的值．
淘宝：学思创想
例4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点
是线段
上与点
，点
不重合的任意一点，在
的同侧分别以
，
，
为顶点作
，其中
与
的一边分别是射线
和射线
，
的
两边不在直线
上，我们规定这三个角互为等联角，点
为等联点，线段
为等联线．
(1)如图2，在
个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，
为端点在格点的已知线段．请
用三种不同连接格点的方法，作出以线段
为等联线、某格点
为等联点的等联角，并标出等联角，保
留作图痕迹；(2)如图3，在
中，
，
，延长
至点
，使
，作
的等
联角
和
．将
沿
折叠，使点
落在点
处，得到
，再延长
交
的延长
线于
，连接
并延长交
的延长线于
，连接
．①确定
的形状，并说明理由；
②若
，
，求等联线
和线段
的长（用含
的式子表示）．
例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂
直模型”如图①，在
中，
，
，分别过
、
向经过点
直线作垂线，垂足分别
为
、
，我们很容易发现结论：
．
（1）探究问题：如果
，其他条件不变，如图②，可得到结论；
．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线
与直线
交于点
，且两直线夹角为
，且
，请你求出直线
的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形
中，
，
，点
为
边上—个动点，连接
，将线段
绕点
顺时针旋转
，点
落在点
处，当点
在矩形
外部时，连接
，
．若
为直角三角形时，请你探究并直接写出
的长．
淘宝：学思创想
例6．（2023·江苏南京·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
淘宝：学思创想
【观察与猜想】(1)如图，在正方形
中，
，
分别是
，
上的两点，连接
，
，若
，则
的值为___________；(2)如图
，在矩形
中，
，
，
是
上的一
点，连接
，
，若
，则
的值为___________；
【类比探究】(3)如图，在四边形
中，
，
为
上一点，连接
，过
作
的
垂线交
的延长线于
，交
的延长线于
，求证：
；
【拓展延伸】(4)如图4，在
中，
，
，将
沿
翻折，
落在
处，得
到
，
为线段
上一动点，连接
，作
，交
于
，垂足为
，连接
．若
，则
的最小值为___________．
课后专项训练
1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A、B
作x 轴的垂线，垂足为D、E，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
2．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中
、
，
轴，存在第一象限的一
点
使得
是以
为斜边的等腰直角三角形，则点
的坐标（ ）．
A．
或
B．
C．
或
D．
3．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形
的顶点
分别落在
轴
轴上，
，
AB=2BC 则点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF 的顶点E 在边
CD 或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝
BE，DF＝
，则BE＝ ．
淘宝：学思创想
5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G 分别在正方形ABCD 的边AB，BC，AD 上，AF⊥EG．
若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
6．（2023·浙江九年级专题练习）如图，
为等边三角形，点D，E 分别在边AB，AC 上，
，将
沿直线DE 翻折得到
，当点F 落在边BC 上，且
时，
的值为 ．
7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=4，E 为边AD 上一个动点，连接
BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E 从A 到D 的运动过程中，点
G 的运动路径= ，△CEF 面积的最小值是 ．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B、C
淘宝：学思创想
重合），∠ADE＝∠B＝α，DE 交AC 于点E，且cos∠α＝
，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6
时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8 或
；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板
，若测得斜边
的两
端点到桌面的距离分别为
，
．（1）求证：
；（2）若
，
，求
的
长．
10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知
和
均是直角三角形，
，
，
于点
．（1）求证：
≌
；（2）若点
是
的中点，
，求
的长．
淘宝：学思创想
11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，
请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1，
是等腰直角三角形，
，AE=BD，则
_______；
②如图2，
为正三角形，
，则
________；
③如图3，正方形
的顶点B 在直线l 上，分别过点A、C 作
于E，
于F．若
，
，则
的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形
放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为
，
则点C 的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5 所示，在
中，
，
，
于E，AD⊥CE 于D，
，
，求
的长．
淘宝：学思创想
12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，
于点M，
于点N，AB 的垂直平分线
交MN 于点P，连接AP、BP．若
，求证：
．
数学应用：如图2，在
中，D 是BC 上一点，
，
，
，求
的面积．
实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实
美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3 是某地一省道与国道相交处
的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA、QB 以及
两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；
设计要求
，
，
是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．
请在图4 中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，
不要求说明理由；
13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
．(1)由图1，证明：
；
(2)当直线
绕点
旋转到图2 的位置时，请猜想出
，
，
的等量关系并说明理由；
(3)当直线
绕点
旋转到图3 的位置时，试问
，
，
又具有怎样的等量关系？请直接写出这个
等量关系（不必说明理由）．
淘宝：学思创想
14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在
中，
，
，
为直线
上一点，连接
，
过点
作
交
于点
，交
于点
，在直线
上截取
，连接
．
（1）当点
，
都在线段
上时，如图①，求证：
；
（2）当点
在线段
的延长线上，点
在线段
的延长线上时，如图②；当点
在线段
的延长线
上，点
在线段
的延长线上时，如图③，直接写出线段
，
，
之间的数量关系，不需要证明．
15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图，等腰直角
中，
，
，线段
经过点
，
过A 作
于点
，过
作
于
求证：
≌
．
（2）如图
，已知在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，点
的坐标为
，点
的坐标为
，
点
是平面直角坐标系中的一点，若
是以
为直角边的等腰直角三角形，求点
的坐标；
（3）如图，已知在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，在等腰直角
中，
，
，点
在线段
上从
向
运动运动到点
停止，以点
为直角顶点向右上方做等腰直
角
，求点
移动的距离．
淘宝：学思创想
16．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，∠DAE＝
∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC，DE 的
中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，
＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为
（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形
中，E，F 分别是边
，
上的点，连接
，
，
．
(1)若正方形
的边长为2，E 是
的中点．①如图1，当
时，求证：
；
②如图2，当
时，求
的长；(2)如图3，延长
，
交于点G，当
淘宝：学思创想
时，求证：
．
18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在
中
，
，点E 是线段
边上的一动点（不含B、C 两端点），连接
，作
，交线段
于点D．
(1)求证：
(2)设
，
，请求y 与x 之间的函数关系式．
(3)E 点在运动的过程中，
能否构成等腰三角形？若能，求出
的长；若不能，请说明理由．
19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线
与y 轴交于点A，与x
轴交于点B，
，
的面积为2．
淘宝：学思创想
(1)如图1，求直线
的解析式．(2)如图2，线段
上有一点C，直线
为
，
轴，
将
绕点B 顺时针旋转
，交
于点D，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，交直线
于点E，若
，求点E 的坐标．
20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，
，
．点E 是线段AD 上的动点
（点E 不与点A，D 重合），连接CE，过点E 作
，交AB 于点F．
(1)求证：
；(2)如图2，连接CF，过点B 作
，垂足为G，连接AG．点M 是线段BC
的中点，连接GM．①求
的最小值；②当
取最小值时，求线段DE 的长．
淘宝：学思创想
